Lykilatriði

Lykilatriði

10.2 Notið margföldunarreglur veldisvísa

• Veldisritháttur

  Þetta er lesið sem $a$ í $m^{\mathrm{ta}}$ veldi.

  
• Margfeldisregla fyrir veldi Ef
  $a$ er rauntala og $m,n$ eru talningartölur, þá er 𝑎 𝑚 · 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑚 + 𝑛 .
  $$a^m·a^n=a^{m+n}$$
  . Þegar margfölduð eru veldi með sama veldisstofn eru veldisvísarnir lagðir saman.
  • Ef 𝑎 $a$a er rauntala og 𝑚 , 𝑛 m , n eru talningartölur, þá er 𝑎 $m,n$𝑚 · 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑚 + 𝑛 . a m · a n = a m + n .
    $$a^m·a^n=a^{m+n}$$
    $$a^m·a^n=a^{m+n}$$
  • Til að margfalda veldi með sama veldisstofn skal leggja veldisvísana saman.
• Reglan um veldi af veldi Ef 𝑎 a er rauntala og 𝑚 , 𝑛 m ,
  n $a$eru talningartölur, þá er ( 𝑎 𝑚 ) 𝑛 = 𝑎 $m,n$𝑚 ⋅ 𝑛 . ( a m ) n = a m ⋅ n .
  $${\left(a^m\right)}^n=a^{m\cdot n}$$
  • Ef 𝑎 aa er rauntala og 𝑚 , 𝑛 m , n eru talningartölur, þá er ( m , n𝑎 𝑚 ) 𝑛 = 𝑎 𝑚 ⋅ 𝑛 . ( a m ) n = a m ⋅ n . ( a m ) n = a m ⋅ n
    $${\left(a^m\right)}^n=a^{m\cdot n}$$
• Reglan um margfeldi í veldi Ef 𝑎 a og 𝑏 b eru rauntölur og 𝑚 m er núll eða jákvæð heiltala, þá er
  ( $a$𝑎 $b$⁢ 𝑏 ) 𝑚 = 𝑎 𝑚 ⁢ 𝑏 𝑚 . $m$( a ⁢ b ) m = a m ⁢ b m .
  $${(ab)}^m=a^m{b}^m$$
  • Ef 𝑎 aa og 𝑏 bb eru rauntölur og 𝑚 m er núll eða jákvæð heiltala, þá er ( 𝑎 ⁢ 𝑏 ) m𝑚 = 𝑎 𝑚 ⁢ 𝑏 𝑚 . ( a ⁢ b ) m = a m ⁢ b m .( a ⁢ b ) m = a m ⁢ b m
    $${(ab)}^m=a^m{b}^m$$

10.3 Margfalda margliður

• Notið FOIL-aðferðina til að margfalda tvo tvíliði. Skref

  1. Margfaldið fremstu liðina. Skref 2.
  Margfaldið ytri liðina. Skref 3.
  Margfaldið innri liðina. Skref 4.
  Margfaldið öftustu liðina. Skref 5.
  Sameinið samkynja liði ef þess er kostur.

  Skref 1. Margfaldið fremstu liðina.
  Skref 2. Margfaldið ytri liðina.
  Skref 3. Margfaldið innri liðina.
  Skref 4. Margfaldið öftustu liðina.
  Skref 5. Sameinið samkynja liði ef þess er kostur.

• Margfalda tvo tvíliði: Til að margfalda tvíliði má
  nota dreifiregluna, FOIL-aðferðina eða lóðréttu aðferðina.
  • Dreifiregla
  • FOIL-aðferðina
  • lóðréttu aðferðina
• Margfalda þrílið með tvílið: Til að margfalda þrílið með tvílið má
  nota dreifiregluna eða lóðréttu aðferðina.
  • Dreifireglu
  • lóðréttu aðferðina

10.4 Deila einliðum

• Reglan um jafngild brot Ef 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 a , b , c eru núll eða jákvæðar heiltölur og 𝑏 ≠ 0 , 𝑐 ≠ 0 , b ≠ 0 , c ≠ 0 , þá
  er 𝑎 𝑏 $a,b,c$= 𝑎 · 𝑐 𝑏 · 𝑐 a n d 𝑎 · 𝑐 𝑏 · 𝑐 = 𝑎 𝑏 . a/b = a · c/b · c og a · c/b $b\ne 0,c\ne 0,$· c = a/b .
  $$\frac{a}{b}=\frac{a·c}{b·c}\text{og}\frac{a·c}{b·c}=\frac{a}{b}$$
  • Ef 𝑎 , 𝑏 , a , b , c𝑐 a , b , c eru núll eða jákvæðar heiltölur og 𝑏 ≠ 0 , 𝑐 ≠ 0 , b ≠ 0 , c ≠ 0 , þá er 𝑎 𝑏 = 𝑎 · 𝑐 𝑏 · 𝑐 a n d 𝑎 · 𝑐 𝑏 · 𝑐 = 𝑎 𝑏 . a/b = a · c/b · b ≠ 0 , c ≠ 0 ,c og a · c/b · c = a/b . a/b = a · c/b · c og a · c/b · c = a/b
    $$\frac{a}{b}=\frac{a·c}{b·c}\text{og}\frac{a·c}{b·c}=\frac{a}{b}$$
• Núllveldi Ef
  $a$ er tala önnur en núll, þá er $a^0=1.$ Sérhver tala önnur en núll í núllta veldi er $1.$
  • Ef $a$ er tala önnur en núll, þá er $a^0=1.$
  • Sérhver tala önnur en núll í núllta veldi er $1.$
• Kvótaregla fyrir veldi Ef 𝑎 a er rauntala, 𝑎 ≠ 0 , a ≠ 0 , og 𝑚 , 𝑛 m , n eru núll eða jákvæðar heiltölur, þá er 𝑎 𝑚 𝑎 𝑛 =
  𝑎 𝑚 − $a$𝑛 , 𝑚 > 𝑛 a n d 𝑎 𝑚 𝑎 𝑛 = 1 𝑎 𝑛 − 𝑚 , $a\ne 0,$𝑛 > 𝑚 . $m,n$a m/a n = a m − n , m > n og a m/a n = 1/a n − m , n > m .
  $$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},m>n\text{og}\frac{a^m}{a^n}=\frac{1}{a^{n-m}},n>m$$
  • Ef 𝑎 a er arauntala, 𝑎 ≠ 0 , a ≠ 0 , og 𝑚 , 𝑛 m , n eru núll eða jákvæðar heiltölur, þá er 𝑎 𝑚 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑚 − a ≠ 0 ,𝑛 , 𝑚 > 𝑛 a m , nn d 𝑎 𝑚 𝑎 𝑛 = 1 𝑎 𝑛 − 𝑚 , 𝑛 > 𝑚 . a m/a n = a m − n , m > n og a m/a n = 1/a n − m , n > m . a m/a n = a m − n , m > n og a m/a n = 1/a n − m , n > m
    $$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},m>n\text{og}\frac{a^m}{a^n}=\frac{1}{a^{n-m}},n>m$$
• Reglan um kvóta í veldi Ef
  $a$ og $b$ eru rauntölur, $b\ne 0,$ og $m$ er talningartala, þá er ( 𝑎 𝑏 ) 𝑚 = 𝑎 𝑚 𝑏 𝑚 .
  $${\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m}$$
  . Þegar brot er hafið í veldi eru bæði teljari og nefnari hafnir í það veldi.
  • Ef 𝑎 $a$a og $b$𝑏 b eru rauntölur, 𝑏 ≠ 0 , b ≠ 0 , og 𝑚 m $b\ne 0,$er talningartala, $m$þá er ( 𝑎 𝑏 ) 𝑚 = 𝑎 𝑚 𝑏 𝑚 . ( a/b ) m = a m/b m .
    $${\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m}$$
    $${\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m}$$
  • Til að hefja brot í veldi skal hefja bæði teljarann og nefnarann í það veldi.

10.5 Heilir veldisvísar og staðalform

• Samantekt á veldisreglum Ef
  $a,b$ eru rauntölur og $m,n$ eru heiltölur, þá gildir:
  $$\begin{array}{cccc}\mathbf{\text{Margfeldisregla fyrir veldi}}\hfill & & & a^m·a^n=a^{m+n}\hfill \\ \mathbf{\text{Reglan um veldi af veldi}}\hfill & & & {\left(a^m\right)}^n=a^{m·n}\hfill \\ \mathbf{\text{Reglan um margfeldi í veldi}}\hfill & & & {(ab)}^m=a^m{b}^m\hfill \\ \mathbf{\text{Kvótaregla fyrir veldi}}\hfill & & & \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},a\ne 0\hfill \\ \mathbf{\text{Núllveldisregla}}\hfill & & & a^0=1,a\ne 0\hfill \\ \mathbf{\text{Reglan um kvóta í veldi}}\hfill & & & {\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m},b\ne 0\hfill \\ \mathbf{\text{Skilgreining neikvæðs veldisvísis}}\hfill & & & a^{-n}=\frac{1}{a^n}\hfill \end{array}$$
  • Ef a , b eru rauntölur og m , n eru heiltölur, þá gildir: Margfeldisregla fyrir veldi a m · a n = a m + n Reglan um veldi af veldi ( a m ) n = a m · n Reglan um margfeldi í veldi ( a ⁢ b ) m = a m ⁢ b m Kvótaregla fyrir veldi a m/a n = a m − n , a ≠ 0 Núllveldisregla a 0 = 1 , ⁢ a ≠ 0 Reglan um kvóta í veldi ( a/b ) m = a m/b m , b ≠ 0 Skilgreining neikvæðs veldisvísis a − n = 1/a n
    $$\begin{array}{cccc}\mathbf{\text{Margfeldisregla fyrir veldi}}\hfill & & & a^m·a^n=a^{m+n}\hfill \\ \mathbf{\text{Reglan um veldi af veldi}}\hfill & & & {\left(a^m\right)}^n=a^{m·n}\hfill \\ \mathbf{\text{Reglan um margfeldi í veldi}}\hfill & & & {(ab)}^m=a^m{b}^m\hfill \\ \mathbf{\text{Kvótaregla fyrir veldi}}\hfill & & & \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},a\ne 0\hfill \\ \mathbf{\text{Núllveldisregla}}\hfill & & & a^0=1,a\ne 0\hfill \\ \mathbf{\text{Reglan um kvóta í veldi}}\hfill & & & {\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m},b\ne 0\hfill \\ \mathbf{\text{Skilgreining neikvæðs veldisvísis}}\hfill & & & a^{-n}=\frac{1}{a^n}\hfill \end{array}$$
• Breytið úr tugabrotsrithætti í staðalform: Aðferð: Skref 1. Færið tugabrotskommuna þannig að
  fyrri þátturinn verði stærri en eða jafn 1 en minni en 10. Skref 2. Teljið hve mörg sæti, $n$, tugabrotskomman var færð um. Skref 3. Skrifið
  töluna sem margfeldi með veldi af 10. Ef upphaflega talan
  er stærri en 1 verður veldið af 10 jafnt 1 0 𝑛 . ${10}^n$ . Ef upphaflega talan er milli 0 og 1 verður veldið af 10 jafnt 1 0 - 𝑛 . ${10}^{-n}$
  . Skref 4. Sannreynið.
  1. Skref 1. Færið tugabrotskommuna þannig að fyrri þátturinn verði stærri en eða jafn 1 en minni en 10.
  2. Skref 2. Teljið hve mörg sæti, $n$ , tugabrotskomman var færð um.
  3. Skref 3.
     Skrifið töluna sem margfeldi með veldi af 10. Ef upphaflega

     talan er stærri en 1 verður veldið af 10 jafnt 1 0 𝑛 . ${10}^n$ . Ef upphaflega talan er milli 0 og 1 verður veldið af 10 jafnt 1 0 - 𝑛 . ${10}^{-n}$ .
     • Ef upphaflega talan er stærri en 1 verður veldið af 10 jafnt 1 0 𝑛 . ${10}^n$ .
     • Ef upphaflega talan er milli 0 og 1 verður veldið af 10 jafnt 1 0 - 𝑛 . ${10}^{-n}$ .
  4. Skref 4. Sannreynið.
• Breytið úr staðalformi í tugabrotsform: Aðferð: Skref 1.
  Finnið veldisvísinn $n$á þættinum 10. Skref 2.
  Færið tugabrotskommuna um $n$ sæti og bætið við núllum eftir
  þörfum. Ef veldisvísirinn er jákvæður skal færa tugabrotskommuna um $n$ sæti til hægri. Ef veldisvísirinn er neikvæður skal færa tugabrotskommuna um $\left|n\right|$ sæti til vinstri. Skref
  3. Sannreynið.
  1. Skref 1. Finnið veldisvísinn $n$ á þættinum 10.
  2. Skref
     2. Færið tugabrotskommu $n$ a

     um $n$ sæti og bætið við núllum eftir þörfum. Ef veldisvísirinn er jákvæður skal færa tugabrotskommuna um n sæti til hægri. Ef veldisvísirinn er neikvæður skal færa tugabrotskommuna um $\left|n\right|$ sæti til vinstri.
     • Ef veldisvísirinn er jákvæður skal færa tugabrotskommuna um $n$ sæti til hægri.
     • Ef veldisvísirinn er neikvæður skal færa tugabrotskommuna um $\left|n\right|$ sæti til vinstri.
  3. Skref 3. Sannreynið.

10.6 Inngangur að þáttun margliða

• Finnið stærsta samdeili. Skref 1.
  Frumþáttið hvern stuðul og skrifið allar breytur með veldisvísum í liðaðri framsetningu. Skref 2. Skráið alla þætti og raðið sameiginlegum þáttum í sömu dálka. Dragið hring um sameiginlegu þættina í hverjum dálki. Skref 3. Færið niður þættina sem allar stæðurnar eiga sameiginlega. Skref 4. Margfaldið þættina.
  1. Skref 1. Frumþáttið hvern stuðul. Skrifið allar breytur með veldisvísum í liðaðri framsetningu.
  2. Skref 2. Skráið alla þætti og raðið sameiginlegum þáttum í sömu dálka. Dragið hring um sameiginlegu þættina í hverjum dálki.
  3. Skref 3. Færið niður þættina sem allar stæðurnar eiga sameiginlega.
  4. Skref 4. Margfaldið þættina.
• Dreifiregla Ef 𝑎 a , 𝑏 b , 𝑐 c eru rauntölur, þá er 𝑎 ⁢ ( 𝑏 + 𝑐 ) = 𝑎 ⁢ 𝑏 + 𝑎 ⁢ 𝑐 a ⁢ (
  b + c $a$) = $b$a $c$⁢ b + a ⁢ c og 𝑎 ⁢ 𝑏 + 𝑎 ⁢ 𝑐 = 𝑎 ⁢ ( 𝑏 + 𝑐 ) . a ⁢ b + a ⁢ c = a ⁢ (
  $a\left(b+c\right)=ab+ac$b + c ) . $ab+ac=a\left(b+c\right)$
  • Ef 𝑎 a , 𝑏 ab , 𝑐 bc eru crauntölur, þá er 𝑎 ⁢ ( 𝑏 + 𝑐 ) = 𝑎 ⁢ 𝑏 + 𝑎 ⁢ 𝑐 a ⁢ ( b + c ) = a ⁢ b + a ⁢ c og 𝑎 ⁢ 𝑏 + 𝑎 ⁢ 𝑐 = 𝑎 ⁢ ( 𝑏 + 𝑐 ) . a ⁢ b + a ⁢ c =
    a ⁢ ( b + c ) = a ⁢ b + a ⁢ ca ⁢ ( b + c ) . a ⁢ b + a ⁢ c = a ⁢ ( b + c )
• Takið stærsta samdeili út fyrir sviga úr margliðu.
  Skref 1. Finnið SSD allra liða margliðunnar. Skref 2. Endurritið hvern lið sem margfeldi með SSD. Skref 3. Beitið dreifireglunni afturábak til að þátta stæðuna. Skref 4. Sannreynið með því að margfalda þættina.
  1. Skref 1. Finnið SSD allra liða margliðunnar.
  2. Skref 2. Endurritið hvern lið sem margfeldi með SSD.
  3. Skref 3. Beitið dreifireglunni afturábak til að þátta stæðuna.
  4. Skref 4. Sannreynið með því að margfalda þættina.