1010 Margliður

10.6 Inngangur að þáttun margliða

Námsmarkmið

Í lok þessa kafla eigið þið að geta:

fundið stærsta samdeili tveggja eða fleire rtæða
tekið stærsta samdeili út fyrir sviga úr margliðu

Finnið stærsta samdeili tveggja eða fleire rtæða

Áður margfölduðum við þætte raman til að fá margfeldi. Nú snúum við ferlinu við: Við byrjum með margfeldi og skiptum því síðan upp í þætti. Að skipta margfeldi upp í þætti kallast þáttun.

Vinstra megin sést jafnan 8 sinnum 7 jafnt og 56. Tölurnar 8 og 7 eru merktar sem þættir og 56 sem margfeldi. Hægra megin sést jafnan 2x sinnum sviginn x plús 3 jafnt og 2x í öðru veldi plús 6x. Stæðurnar 2x og x plús 3 eru merktar sem þættir og 2x í öðru veldi plús 6x sem margfeldi. Efst er ör sem vísar til hægri og á henne rtendur „margfalda“ með rauðu. Neðst er ör sem vísar til vinstri og á henne rtendur „þátta“ með rauðu.

Í kaflanum Tungumál algebrunnar frumþáttuðum við tölur til að finna minnsta sameiginlega margfeldi (MSM) tveggja eða fleiri talna. Nú þáttum við stæður og finnum stærsta samdeili (SSD) tveggja eða fleire rtæðna. Aðferðin svipar til þeirrar sem við notuðum til að finna MSM.

Fyrst finnum við stærsta samdeili tveggja talna.

Dæmi 10.80

Finnið stærsta samdeili $24$ og $36 .$

Lausn

Skref 1: Frumþáttið hvern stuðul. Skrifið allar breytur með veldisvísum í liðaðri framsetningu.	Frumþáttið 24 og 36.
Skref 2: Skráið alla þætti og raðið sameiginlegum þáttum í sömu dálka.
Dragið hring um sameiginlegu þættina í hverjum dálki.	Dragið hring um tölurnar 2, 2 og 3 sem báðar tölurnar eiga sameiginlegar.
Skref 3: Færið niður sameiginlegu þættina sem allar stæðurnar eiga.	Færið niður 2, 2 og 3 og margfaldið síðan.
Skref 4: Margfaldið þættina.		SSD talnanna 24 og 36 er 12.

Þar sem SSD er þáttur í báðum tölunum má skrifa $24$ og $36$ sem margfeldi með $12 .$

\begin{matrix} 24 = 12 \cdot 2 \\ 36 = 12 \cdot 3 \end{matrix}

Í dæminu á undan fundum við stærsta samdeili fastra talna. Stærste ramdeilir liða algebrustæðu getur innihaldið breytur í veldum ásamt stuðlum. Hér tökum við saman skrefin sem notuð eru til að finna stærsta samdeili.

Dæmi 10.81

Finnið stærsta samdeili 5 ⁢ 𝑥 o g 1 5 . 5 ⁢ x og 15 . $5 x og 15 .$

Lausn

Frumþáttið hverja tölu. Dragið hring um sameiginlegu þættina í hverjum dálki og færið þá niður.
	SSD 5x og 15 er 5.

Í dæmunum hingað til hefur stærste ramdeilirinn verið föst tala. Í næstu tveimur dæmum koma breytur fyrir í stærsta samdeilinum.

Dæmi 10.82

Finnið stærsta samdeili $12 x^{2}$ og $18 x^{3} .$

Lausn

Frumþáttið hvern stuðul og skrifið breyturnar með veldisvísum í liðaðri framsetningu. Dragið hring um sameiginlegu þættina í hverjum dálki, færið þá niður og margfaldið.
	S S D 1 2 ⁢ 𝑥 2 o g 1 8 ⁢ 𝑥 3 e r 6 ⁢ 𝑥 2 SSD 12 ⁢ x 2 og 18 ⁢ x 3 er 6 ⁢ x 2

Dæmi 10.83

Finnið stærsta samdeili $14 x^{3}, 8 x^{2}, 10 x .$

Lausn

Frumþáttið hvern stuðul og skrifið breyturnar með veldisvísum í liðaðri framsetningu. Dragið hring um sameiginlegu þættina í hverjum dálki, færið þá niður og margfaldið.
	S S D 1 4 ⁢ 𝑥 3 o g 8 ⁢ 𝑥 2 , o g 1 0 ⁢ 𝑥 e r 2 ⁢ 𝑥 SSD 14 ⁢ x 3 og 8 ⁢ x 2 og 10 ⁢ x er 2 ⁢ x

Takið stærsta samdeili út fyrir sviga úr margliðu

Rétt eins og í reikningi, þar sem stundum er gagnlegt að skrifa tölu sem margfeldi þátta, til dæmis $12$ sem $2 \cdot 6 eða 3 \cdot 4),$ 2 · 6 eða 3 · 4 ), getur verið gagnlegt í algebru að skrifa margliðu á þáttuðu formi. Ein leið til þess er að finna stærsta samdeili allra liðanna. Rifjið upp hvernig margliða er margfölduð með einliðu:

\begin{matrix} 2 (x & + & 7) þættir \\ 2 \cdot x & + & 2 \cdot 7 \\ 2 x & + & 14 margfeldi \end{matrix}

Hér byrjum við með margfeldi, svo sem $2 x + 14,$ og finnum þætti þess, $2 (x + 7) .$ Til þess beitum við dreifireglunni afturábak.

Formið vinstra megin er notað til að margfalda. Formið hægra megin er notað til að þátta.

Hvernig notum við þá dreifiregluna til að þátta margliðu? Við finnum stærsta samdeili allra liðanna og skrifum margliðuna sem margfeldi.

Dæmi 10.84

Þáttið: $2 x + 14 .$

Lausn

Skref 1: Finnið stærsta samdeili allra liða margliðunnar.	Finnið SSD 2x og 14.
Skref 2: Endurritið hvern lið sem margfeldi með SSD.	Endurritið 2x og 14 sem margfeldi með SSD þeirra, 2. 2 ⁢ x = 2 ⋅ x14 = 2 ⋅ 7
Skref 3: Beitið dreifireglunni afturábak til að þátta stæðuna.		2 ⁢ ( 𝑥 + 7 ) 2 ⁢ ( x + 7 )
Skref 4: Sannreynið með því að margfalda þættina.		Sannreyning:

Athugið að þáttur er nafnorð en samsvarandi sögn er þátta:

\begin{matrix} Nafnorð & 7 er þáttur í 14 \\ Sögn & Takið 2 út fyrir sviga úr 2 x + 14 \end{matrix}

Dæmi 10.85

Þáttið: $3 a + 3 .$

Lausn



Endurritið hvern lið sem margfeldi með SSD.
Beitið dreifireglunni afturábak til að taka SSD út fyrir sviga.
Sannreynið með því að margfalda þættina og fá upphaflegu margliðuna.

Stæðurnar í næsta dæmi hafa nokkra sameiginlega þætti. Skrifið SSD sem margfeldi allra sameiginlegu þáttanna.

Dæmi 10.86

Þáttið: $12 x - 60 .$

Lausn



Endurritið hvern lið sem margfeldi með SSD.
Takið SSD út fyrir sviga.
Sannreynið með því að margfalda þættina.

Nú tökum við stærsta samdeili út fyrir sviga úr þríliðu. Við byrjum á að finna SSD allra þriggja liðanna.

Dæmi 10.87

Þáttið: $3 y^{2} + 6 y + 9 .$

Lausn



Endurritið hvern lið sem margfeldi með SSD.
Takið SSD út fyrir sviga.
Sannreynið með margföldun.

Í næsta dæmi tökum við breytu út fyrir sviga úr tvíliðu.

Dæmi 10.88

Þáttið: $6 x^{2} + 5 x .$

Lausn

	6 ⁢ 𝑥 2 + 5 ⁢ 𝑥 6 ⁢ x² + 5 ⁢ x
Finnið SSD 6 ⁢ x 2 og 5 ⁢ x og sýnið útreikninginn.
Endurritið hvern lið sem margfeldi.
Takið SSD út fyrir sviga.	𝑥 ⁢ ( 6 ⁢ 𝑥 + 5 ) x ⁢ ( 6 ⁢ x + 5 )
Sannreynið með margföldun.
𝑥 ⁢ ( 6 ⁢ 𝑥 + 5 ) x ⁢ ( 6 ⁢ x + 5 ) 𝑥 ⋅ 6 ⁢ 𝑥 + 𝑥 ⋅ 5 x ⋅ 6 ⁢ x + x ⋅ 5 6 ⁢ 𝑥 2 + 5 ⁢ 𝑥 ⁢ ✓ 6 ⁢ x² + 5 ⁢ x ⁢ ✓

Þegar sameiginlegir þættir eru nokkrir, eins og í næstu tveimur dæmum, skiptir góð framsetning og snyrtileg vinna miklu máli.

Dæmi 10.89

Þáttið: $4 x^{3} - 20 x^{2} .$

Lausn



Endurritið hvern lið.
Takið SSD út fyrir sviga.
Sannreynið.

Dæmi 10.90

Þáttið: $21 y^{2} + 35 y .$

Lausn

Finnið SSD 2 1 ⁢ 𝑦 2 21 ⁢ y 2 og 3 5 ⁢ 𝑦 . 35 21 ⁢ y 2⁢ y . 35 ⁢ y

Endurritið hvern lið.
Takið SSD út fyrir sviga.

Dæmi 10.91

Þáttið: $14 x^{3} + 8 x^{2} - 10 x .$

Lausn

Áður fundum við að SSD 1 4 ⁢ 𝑥 3 , 8 ⁢ 𝑥 2 , o g 1 0 ⁢ 𝑥 14 ⁢ x 3 , 8 ⁢ x 2 og 10 ⁢ x er 2 ⁢ $14 x^{3}, 8 x^{2}, og 10 x$ 𝑥 . 2 ⁢ x . $2 x .$

	1 4 ⁢ 𝑥 3 + 8 ⁢ 𝑥 2 − 1 0 ⁢ 𝑥 14 ⁢ x³ + 8 ⁢ x² − 10 ⁢ x
Endurritið hvern lið með SSD, 2x.
Takið SSD út fyrir sviga.	2 ⁢ 𝑥 ⁢ ( 7 ⁢ 𝑥 2 + 4 ⁢ 𝑥 − 5 ) 2 ⁢ x ⁢ ( 7 ⁢ x² + 4 ⁢ x − 5 )

Þegar forystustuðullinn, stuðull fyrsta liðarins, er neikvæður tökum við mínusmerkið út fyrir sviga sem hluta af SSD.

Dæmi 10.92

Þáttið: $−9 y - 27 .$

Lausn

Þegar forystustuðullinn er neikvæður verður SSD neikvæður. Ef við lítum fyrst fram hjá formerkjum liðanna sjáum við að SSD 9y og 27 er 9.
Þar sem stæðan −9y−27 hefur neikvæðan forystustuðul notum við −9 sem SSD.
	− 9 ⁢ 𝑦 − 2 7 − 9 ⁢ y − 27
Endurritið hvern lið með SSD.
Takið SSD út fyrir sviga.	− 9 ⁢ ( 𝑦 + 3 ) − 9 ⁢ ( y + 3 )

Gætið vel að formerkjum liðanna í næsta dæmi.

Dæmi 10.93

Þáttið: $−4 a^{2} + 16 a .$

Lausn

Forystustuðullinn er neikvæður, svo SSD verður neikvæður.

Þar sem forystustuðullinn er neikvæður er SSD neikvæður, −4a.
	− 4 ⁢ 𝑎 2 + 1 6 ⁢ 𝑎 −4 ⁢ a² + 16 ⁢ a
Endurritið hvern lið.
Takið SSD út fyrir sviga.	− 4 ⁢ 𝑎 ⁢ ( 𝑎 − 4 ) − 4 ⁢ a ⁢ ( a − 4 )
Sannreynið sjálf með margföldun.

Æfingar úr kafla 10.6

Æfingin skapar meistarann

Finnið stærsta samdeili tveggja eða fleire rtæða

Finnið stærsta samdeili í eftirfarandi dæmum.

422.

40,56 $40, 56$

423.

45,75 $45, 75$

424.

72,162 $72, 162$

425.

150,275 $150, 275$

426.

3⁢𝑥,12 $3 x, 12$

427.

4⁢𝑦,28 $4 y, 28$

428.

10⁢𝑎,50 $10 a, 50$

429.

5⁢𝑏,30 $5 b, 30$

430.

16⁢𝑦,24⁢𝑦2 $16 y, 24 y^{2}$

431.

9⁢𝑥,15⁢𝑥2 $9 x, 15 x^{2}$

432.

18⁢𝑚3,36⁢𝑚2 $18 m^{3}, 36 m^{2}$

433.

12⁢𝑝4,48⁢𝑝3 $12 p^{4}, 48 p^{3}$

434.

10⁢𝑥,25⁢𝑥2,15⁢𝑥3 $10 x, 25 x^{2}, 15 x^{3}$

435.

18⁢𝑎,6⁢𝑎2,22⁢𝑎3 $18 a, 6 a^{2}, 22 a^{3}$

436.

24⁢𝑢,6⁢𝑢2,30⁢𝑢3 $24 u, 6 u^{2}, 30 u^{3}$

437.

40⁢𝑦,10⁢𝑦2,90⁢𝑦3 $40 y, 10 y^{2}, 90 y^{3}$

438.

15⁢𝑎4,9⁢𝑎5,21⁢𝑎6 $15 a^{4}, 9 a^{5}, 21 a^{6}$

439.

35⁢𝑥3,10⁢𝑥4,5⁢𝑥5 $35 x^{3}, 10 x^{4}, 5 x^{5}$

440.

27⁢𝑦2,45⁢𝑦3,9⁢𝑦4 $27 y^{2}, 45 y^{3}, 9 y^{4}$

441.

14⁢𝑏2,35⁢𝑏3,63⁢𝑏4 $14 b^{2}, 35 b^{3}, 63 b^{4}$

Takið stærsta samdeili út fyrir sviga úr margliðu

Takið stærsta samdeili út fyrir sviga úr hverri margliðu í eftirfarandi dæmum.

442.

2⁢𝑥+8 $2 x + 8$

443.

5⁢𝑦+15 $5 y + 15$

444.

3⁢𝑎−24 $3 a - 24$

445.

4⁢𝑏−20 $4 b - 20$

446.

9⁢𝑦−9 $9 y - 9$

447.

7⁢𝑥−7 $7 x - 7$

448.

5⁢𝑚2+20⁢𝑚+35 $5 m^{2} + 20 m + 35$

449.

3⁢𝑛2+21⁢𝑛+12 $3 n^{2} + 21 n + 12$

450.

8⁢𝑝2+32⁢𝑝+48 $8 p^{2} + 32 p + 48$

451.

6⁢𝑞2+30⁢𝑞+42 $6 q^{2} + 30 q + 42$

452.

8⁢𝑞2+15⁢𝑞 $8 q^{2} + 15 q$

453.

9⁢𝑐2+22⁢𝑐 $9 c^{2} + 22 c$

454.

13⁢𝑘2+5⁢𝑘 $13 k^{2} + 5 k$

455.

17⁢𝑥2+7⁢𝑥 $17 x^{2} + 7 x$

456.

5⁢𝑐2+9⁢𝑐 $5 c^{2} + 9 c$

457.

4⁢𝑞2+7⁢𝑞 $4 q^{2} + 7 q$

458.

5⁢𝑝2+25⁢𝑝 $5 p^{2} + 25 p$

459.

3⁢𝑟2+27⁢𝑟 $3 r^{2} + 27 r$

460.

24⁢𝑞2−12⁢𝑞 $24 q^{2} - 12 q$

461.

30⁢𝑢2−10⁢𝑢 $30 u^{2} - 10 u$

462.

𝑦⁢𝑧+4⁢𝑧 $y z + 4 z$

463.

𝑎⁢𝑏+8⁢𝑏 $a b + 8 b$

464.

60⁢𝑥−6⁢𝑥3 $60 x - 6 x^{3}$

465.

55⁢𝑦−11⁢𝑦4 $55 y - 11 y^{4}$

466.

48⁢𝑟4−12⁢𝑟3 $48 r^{4} - 12 r^{3}$

467.

45⁢𝑐3−15⁢𝑐2 $45 c^{3} - 15 c^{2}$

468.

4⁢𝑎3−4⁢𝑎⁢𝑏2 $4 a^{3} - 4 a b^{2}$

469.

6⁢𝑐3−6⁢𝑐⁢𝑑2 $6 c^{3} - 6 c d^{2}$

470.

30⁢𝑢3+80⁢𝑢2 $30 u^{3} + 80 u^{2}$

471.

48⁢𝑥3+72⁢𝑥2 $48 x^{3} + 72 x^{2}$

472.

120⁢𝑦6+48⁢𝑦4 $120 y^{6} + 48 y^{4}$

473.

144⁢𝑎6+90⁢𝑎3 $144 a^{6} + 90 a^{3}$

474.

4⁢𝑞2+24⁢𝑞+28 $4 q^{2} + 24 q + 28$

475.

10⁢𝑦2+50⁢𝑦+40 $10 y^{2} + 50 y + 40$

476.

15⁢𝑧2−30⁢𝑧−90 $15 z^{2} - 30 z - 90$

477.

12⁢𝑢2−36⁢𝑢−108 $12 u^{2} - 36 u - 108$

478.

3⁢𝑎4−24⁢𝑎3+18⁢𝑎2 $3 a^{4} - 24 a^{3} + 18 a^{2}$

479.

5⁢𝑝4−20⁢𝑝3−15⁢𝑝2 $5 p^{4} - 20 p^{3} - 15 p^{2}$

480.

11⁢𝑥6+44⁢𝑥5−121⁢𝑥4 $11 x^{6} + 44 x^{5} - 121 x^{4}$

481.

8⁢𝑐5+40⁢𝑐4−56⁢𝑐3 $8 c^{5} + 40 c^{4} - 56 c^{3}$

482.

−3⁢𝑛−24 $−3 n - 24$

483.

−7⁢𝑝−84 $−7 p - 84$

484.

−15⁢𝑎2−40⁢𝑎 $−15 a^{2} - 40 a$

485.

−18⁢𝑏2−66⁢𝑏 $−18 b^{2} - 66 b$

486.

−10⁢𝑦3+60⁢𝑦2 $−10 y^{3} + 60 y^{2}$

487.

−8⁢𝑎3+32⁢𝑎2 $−8 a^{3} + 32 a^{2}$

488.

−4⁢𝑢5+56⁢𝑢3 $−4 u^{5} + 56 u^{3}$

489.

−9⁢𝑏5+63⁢𝑏3 $−9 b^{5} + 63 b^{3}$

Stærðfræði daglegs lífs

490.

Tekjur Framleiðandi örbylgjuofna hefur komist að því að tekjur af sölu ofna á $p$ dollara stykkið eru gefnar með margliðunni $−5 p^{2} + 150 p .$ Takið stærsta samdeili út fyrir sviga úr margliðunni.

491.

Hæð hafnabolta Hafnabolti er sleginn með upphafshraðanum $80$ fet á sekúndu úr $4$ feta hæð yfir jörðu. Hæð hans er $−16 t^{2} + 80 t + 4,$ þar sem $t =$ fjölde rekúndna frá högginu. Takið stærsta samdeili út fyrir sviga úr margliðunni.

Ritunarverkefni

492.

Stærste ramdeilir $36$ og $60$ er $12 .$ Útskýrið hvað það merkir.

493.

Hver er SSD $y^{4}$ , $y^{5}$ og $y^{10}$ ? Setjið fram almenna reglu um hvernig finna megi SSD $y^{a}$ , $y^{b}$ og $y^{c}$ .

Sjálfsmat

ⓐ Að loknum æfingunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum kaflans.

ⓑ Eftir að hafa skoðað gátlistann teljið þið ykkur vel undirbúin fyrir næsta kafla? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?