einfaldað stæður með margfeldisreglunni fyrir veldi
einfaldað stæður með reglunni um veldi af veldi
einfaldað stæður með reglunni um margfeldi í veldi
einfaldað stæður með því að beita nokkrum reglum
margfaldað einliði
Einfaldið stæður með veldisvísum
Munið að veldisvísir táknar endurtekna margföldun sömu stærðar. Til dæmis merkir að margfalda saman fjóra þætti sem allir eru svo merkir Þessi ritháttur nefnist veldisritháttur.
Í stæðunni segir veldisvísirinn til um hversu oft veldisstofninn er notaður sem þáttur.
Áður en við vinnum með stæður með breytum og veldisvísum skulum við einfalda nokkrar stæður sem innihalda aðeins tölur.
Takið eftir því sem er líkt og ólíkt í liðum ⓐ og ⓑ . Hvers vegna eru svörin ólík? Í lið ⓐ sýna svigarnir að hefja eigi (−3) í 4. veldi. Í lið ⓑ er aðeins talan 3 hafin í 4. veldi og síðan fundin samlagningarandhverfa niðurstöðunnar.
Einfaldið stæður með margfeldisreglunni fyrir veldi
Þið hafið séð að þegar samkynja liðir eru sameinaðir með samlagningu eða frádrætti verða þeir að hafa sama veldisstofn með sama veldisvísi. Við margföldun og deilingu mega veldisvísarnir hins vegar vera ólíkir og stundum veldisstofnarnir líka. Við leiðum reglur veldisvísa með því að leita að mynstrum í nokkrum dæmum. Allar veldisreglurnar gilda um sérhverjar rauntölur en að svo stöddu notum við aðeins veldisvísa sem eru jákvæðar heiltölur eða núll.
Fyrst skoðum við dæmi sem leiðir til margfeldisreglunnar.
Hvað merkir þetta? Hve margir eru þættirnir samtals?
Því höfum við
Athugið að 5 er summa veldisvísanna 2 og 3.
Við ritum:
𝑥 2 ⋅ 𝑥 3 x 2 ⋅ x 3 𝑥 2 + 3 x 2 + 3 𝑥 5 x 5
Veldisstofninn hélst óbreyttur og við lögðum veldisvísana saman. Þetta leiðir til margfeldisreglunnar fyrir veldi.
Dæmi með tölum hjálpar okkur að sannreyna regluna.
Dæmi 10.14
Einfaldið:
Lausn
𝑥 5 · 𝑥 7 x5 · x7
Notið margfeldisregluna, a m · a n = a m + n .
Einfaldið.
𝑥 1 2 x 12
Dæmi 10.15
Einfaldið:
Lausn
𝑏 4 · 𝑏 b4 · b
Endurritið b = b1 .
𝑏 4 · 𝑏 1 b4 · b1
Notið margfeldisregluna, a m · a n = a m + n .
Einfaldið.
𝑏 5 b 5
Dæmi 10.16
Simplify: 27·29.
Lausn
2 7 · 2 9
Notið margfeldisregluna, a m · a n = a m + n .
Einfaldið.
2 1 6 2 16
Dæmi 10.17
Einfaldið:
Lausn
𝑦 1 7 · 𝑦 2 3 y17 · y23
Athugið að veldisstofnarnir eru eins og því leggjum við veldisvísana saman.
Einfaldið.
𝑦 4 0 y 40
Við getum útvíkkað margfeldisregluna fyrir veldi þannig að hún gildi um fleiri en tvo þætti.
Dæmi 10.18
Einfaldið: 𝑥 3 · 𝑥 4 · 𝑥 2 . x 3 · x 4 · x 2 .
Lausn
𝑥 3 · 𝑥 4 · 𝑥 2 x3 · x4 · x2
Leggið veldisvísana saman þar sem veldisstofnarnir eru eins.
Einfaldið.
𝑥 9 x 9
Einfaldið stæður með reglunni um veldi af veldi
Skoðum nú veldisstæðu þar sem veldi er hafið í veldi. Reynið að finna almennu regluna.
Hvað merkir þetta? Hve margir eru þættirnir samtals?
Því höfum við
Athugið að 6 er margfeldi veldisvísanna 2 og 3.
Við ritum:
( 𝑥 2 ) 3 ( x 2 ) 3 𝑥 2 ⋅ 3 x 2 ⋅ 3 𝑥 6 x 6
Við margfölduðum veldisvísana. Þetta leiðir til reglunnar um veldi af veldi.
Dæmi með tölum hjálpar okkur að sannreyna regluna.
Dæmi 10.19
Einfaldið:
ⓐ (𝑥5)7
ⓐ (36)8
Lausn
ⓐ
( 𝑥 5 ) 7 ( x5 ) 7
Notið regluna um veldi af veldi, ( a m ) n = a m · n .
Einfaldið.
𝑥 3 5 x 35
ⓑ
( 3 6 ) 8 ( 3 6 ) 8
Notið regluna um veldi af veldi, ( a m ) n = a m · n .
Einfaldið.
3 4 8 3 48
Einfaldið stæður með reglunni um margfeldi í veldi
Nú skoðum við stæðu sem inniheldur margfeldi hafið í veldi. Leitið að mynstri.
( 2 𝑥 ) 3 ( 2 x ) 3
Hvað merkir þetta?
2 𝑥 · 2 𝑥 · 2 𝑥 2 x · 2 x · 2 x
Við setjum sams konar þætti saman.
2 · 2 · 2 · 𝑥 · 𝑥 · 𝑥 2 · 2 · 2 · x · x · x
Hversu margir þættir eru jafnir 2 og hversu margir eru jafnir x ?
2 3 · 𝑥 3 2 3 · x 3
Takið eftir að hver þáttur var hafinn í veldið.
( 2 𝑥 ) 3 i s 2 3 · 𝑥 3 ( 2 x ) 3 is 2 3 · x 3
Við ritum:
( 2 𝑥 ) 3 ( 2 x ) 3 2 3 · 𝑥 3 2 3 · x 3
Veldisvísirinn á við um hvern þátt. Þetta leiðir til reglunnar um margfeldi í veldi.
Dæmi með tölum hjálpar okkur að sannreyna regluna:
Dæmi 10.20
Einfaldið:
Lausn
( − 1 1 𝑥 ) 2 ( −11 x ) 2
Notið regluna um margfeldi í veldi, ( a b ) m = a m b m .
Einfaldið.
1 2 1 𝑥 2 121 x 2
Dæmi 10.21
Einfaldið:
Lausn
( 3 𝑥 𝑦 ) 3 ( 3 x y ) 3
Hefjið hvern þátt í þriðja veldi.
Einfaldið.
2 7 𝑥 3 𝑦 3 27 x 3 y 3
Einfaldið stæður með því að beita nokkrum reglum
Við höfum nú þrjár reglur til að margfalda stæður með veldisvísum. Tökum þær saman og leysum síðan dæmi þar sem fleiri en ein regla er notuð.
Takið eftir að í fyrri einliðunni var veldisvísirinn utan sviganna og átti við um báða þættina innan þeirra. Í síðari einliðunni var veldisvísirinn innan sviganna og átti því aðeins við um n .
Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið einfalda hverja stæðu með veldisvísum.
55.
45
56.
103
57.
(12)2
58.
(35)2
59.
(0.2)3
60.
(0.4)3
61.
(−5)4
62.
(−3)5
63.
−54
64.
−35
65.
−104
66.
−26
67.
(−23)3
68.
(−14)4
69.
−0.52
70.
−0.14
Einfaldið stæður með margfeldisreglunni fyrir veldi
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið einfalda hverja stæðu með margfeldisreglunni fyrir veldi.
71.
𝑥3·𝑥6
72.
𝑚4·𝑚2
73.
𝑎·𝑎4
74.
𝑦12·𝑦
75.
35·39
76.
510·56
77.
𝑧·𝑧2·𝑧3
78.
𝑎·𝑎3·𝑎5
79.
𝑥𝑎·𝑥2
80.
𝑦𝑝·𝑦3
81.
𝑦𝑎·𝑦𝑏
82.
𝑥𝑝·𝑥𝑞
Einfaldið stæður með reglunni um veldi af veldi
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið einfalda hverja stæðu með reglunni um veldi af veldi.
83.
(𝑢4)2
84.
(𝑥2)7
85.
(𝑦5)4
86.
(𝑎3)2
87.
(102)6
88.
(28)3
89.
(𝑥15)6
90.
(𝑦12)8
91.
(𝑥2)𝑦
92.
(𝑦3)𝑥
93.
(5𝑥)𝑦
94.
(7𝑎)𝑏
Einfaldið stæður með reglunni um margfeldi í veldi
Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið einfalda hverja stæðu með reglunni um margfeldi í veldi.
95.
(5𝑎)2
96.
(7𝑥)2
97.
(−6𝑚)3
98.
(−9𝑛)3
99.
(4𝑟𝑠)2
100.
(5𝑎𝑏)3
101.
(4𝑥𝑦𝑧)4
102.
(−5𝑎𝑏𝑐)3
Einfaldið stæður með því að beita nokkrum reglum
Einfaldið hverja stæðu í eftirfarandi verkefnum.
103.
(𝑥2)4·(𝑥3)2
104.
(𝑦4)3·(𝑦5)2
105.
(𝑎2)6·(𝑎3)8
106.
(𝑏7)5·(𝑏2)6
107.
(3𝑥)2(5𝑥)
108.
(2𝑦)3(6𝑦)
109.
(5𝑎)2(2𝑎)3
110.
(4𝑏)2(3𝑏)3
111.
(2𝑚6)3
112.
(3𝑦2)4
113.
(10𝑥2𝑦)3
114.
(2𝑚𝑛4)5
115.
(−2𝑎3𝑏2)4
116.
(−10𝑢2𝑣4)3
117.
(23𝑥2𝑦)3
118.
(79𝑝𝑞4)2
119.
(8𝑎3)2(2𝑎)4
120.
(5𝑟2)3(3𝑟)2
121.
(10𝑝4)3(5𝑝6)2
122.
(4𝑥3)3(2𝑥5)4
123.
(12𝑥2𝑦3)4(4𝑥5𝑦3)2
124.
(13𝑚3𝑛2)4(9𝑚8𝑛3)2
125.
(3𝑚2𝑛)2(2𝑚𝑛5)4
126.
(2𝑝𝑞4)3(5𝑝6𝑞)2
Margfaldið einliði
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið margfalda einliðina.
127.
(12𝑥2)(−5𝑥4)
128.
(−10𝑦3)(7𝑦2)
129.
(−8𝑢6)(−9𝑢)
130.
(−6𝑐4)(−12𝑐)
131.
(15𝑟8)(20𝑟3)
132.
(14𝑎5)(36𝑎2)
133.
(4𝑎3𝑏)(9𝑎2𝑏6)
134.
(6𝑚4𝑛3)(7𝑚𝑛5)
135.
(47𝑥𝑦2)(14𝑥𝑦3)
136.
(58𝑢3𝑣)(24𝑢5𝑣)
137.
(23𝑥2𝑦)(34𝑥𝑦2)
138.
(35𝑚3𝑛2)(59𝑚2𝑛3)
Stærðfræði daglegs lífs
139.
Tölvupóstur Janet sendir sex vinum sínum brandara í tölvupósti og biður þá að áframsenda hann til sex vina sinna, sem áframsenda hann síðan til sex vina sinna og svo framvegis. Fjöldi þeirra sem fá tölvupóstinn í annarri umferð er og í þriðju umferð eins og sýnt er í töflunni. Hversu margir fá tölvupóstinn í áttundu umferð? Einfaldið stæðuna til að sýna fjölda þeirra sem fá tölvupóstinn.
Umferð
Fjöldi fólks
1 1
6 6
2 2
6 2 6 2
3 3
6 3 6 3
… …
… …
8 8
? ?
140.
Laun Yfirmaður Rauls veitir honum launahækkun ár hvert á afmælisdegi hans. Það þýðir að laun Rauls verða á hverju ári sinnum laun hans árið á undan. Ef upphafleg árslaun hans voru , voru launin eftir ár eftir ár og eftir ár eins og sýnt er í töflunni. Hver verða laun Rauls eftir ár? Einfaldið stæðuna til að sýna laun Rauls í dölum.
Ár
Laun
1 1
$ 4 0 , 0 0 0 ( 1 . 0 5 ) $40,000 ( 1.05 )
2 2
$ 4 0 , 0 0 0 ( 1 . 0 5 ) 2 $40,000 ( 1.05 ) 2
3 3
$ 4 0 , 0 0 0 ( 1 . 0 5 ) 3 $40,000 ( 1.05 ) 3
… …
… …
1 0 10
? ?
Ritunarverkefni
141.
Notið margfeldisregluna fyrir veldi til að útskýra hvers vegna
142.
Útskýrið hvers vegna en
143.
Jorge telur að sé Hvað er rangt við röksemdafærslu hans?
144.
Útskýrið hvers vegna er en ekki
Sjálfsmat
ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum kaflans.
ⓑ Þegar þið hafið farið yfir þennan gátlista, hvað ætlið þið að gera til að öðlast öryggi í öllum námsmarkmiðunum?