1010 Margliður

10.2 Notið margföldunarreglur veldisvísa

Námsmarkmið

Í lok þessa kafla eigið þið að geta:

einfaldað stæður með veldisvísum
einfaldað stæður með margfeldisreglunni fyrir veldi
einfaldað stæður með reglunni um veldi af veldi
einfaldað stæður með reglunni um margfeldi í veldi
einfaldað stæður með því að beita nokkrum reglum
margfaldað einliði

Einfaldið stæður með veldisvísum

Munið að veldisvísir táknar endurtekna margföldun sömu stærðar. Til dæmis merkir $2^{4}$ að margfalda saman fjóra þætti sem allir eru $2,$ svo $2^{4}$ merkir $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 .$ Þessi ritháttur nefnist veldisritháttur.

Í stæðunni $a^{m},$ segir veldisvísirinn til um hversu oft veldisstofninn $a$ er notaður sem þáttur.

Vinstra megin er 7 í þriðja veldi. Fyrir neðan stendur 7 sinnum 7 sinnum 7 og sýnt er að þættirnir séu þrír. Hægra megin er −8 innan sviga í fimmta veldi. Fyrir neðan stendur −8 sinnum −8 sinnum −8 sinnum −8 sinnum −8 og sýnt er að þættirnir séu fimm.

Áður en við vinnum með stæður með breytum og veldisvísum skulum við einfalda nokkrar stæður sem innihalda aðeins tölur.

Dæmi 10.11

Einfaldið:

ⓐ 53 $5^{3}$
ⓑ 91 $9^{1}$

Lausn

ⓐ
	5 3 5 3
Margfaldið saman þrjá þætti sem allir eru 5.	5 · 5 · 5
Einfaldið.	1 2 5 125

ⓑ
	9 1 9 1
Margfaldið einn þátt, 9.	9 9

Dæmi 10.12

Einfaldið:

ⓐ (78)₂ ${(\frac{7}{8})}^{2}$
ⓑ (0.74)₂ ${(0.74)}^{2}$

Lausn

ⓐ
	( 7 8 ) 2 ( $\frac{7}{8}$ ) 2
Margfaldið saman tvo þætti.	( 7 8 ) ⁢ ( 7 8 ) ( $\frac{7}{8}$ ) ⁢ ( $\frac{7}{8}$ )
Einfaldið.	4 9 6 4 $\frac{49}{64}$

ⓑ
	( 0 . 7 4 ) 2 ( 0.74 ) 2
Margfaldið saman tvo þætti.	( 0 . 7 4 ) ⁢ ( 0 . 7 4 ) ( 0.74 ) ⁢ ( 0.74 )
Einfaldið.	0 . 5 4 7 6 0.5476

Dæmi 10.13

Einfaldið:

ⓐ (−3)₄ ${(−3)}^{4}$
ⓑ −34 ${−3}^{4}$

Lausn

ⓐ
	( − 3 ) 4 ( −3 ) 4
Margfaldið saman fjóra þætti sem allir eru −3.	( − 3 ) ⁢ ( − 3 ) ⁢ ( − 3 ) ⁢ ( − 3 ) ( −3 ) ⁢ ( −3 ) ⁢ ( −3 )
Einfaldið.	8 1 81

ⓑ
	− 3 4 −3 4
Margfaldið saman tvo þætti.	− ( 3 · 3 · 3 · 3 )
Einfaldið.	− 8 1 −81

Takið eftir því sem er líkt og ólíkt í liðum ⓐ og ⓑ . Hvers vegna eru svörin ólík? Í lið ⓐ sýna svigarnir að hefja eigi (−3) í 4. ^veldi.Í lið ⓑ er aðeins talan 3 hafin í 4. veldi og síðan fundin samlagningarandhverfa niðurstöðunnar.

Einfaldið stæður með margfeldisreglunni fyrir veldi

Þið hafið séð að þegar samkynja liðir eru sameinaðir með samlagningu eða frádrætti verða þeir að hafa sama veldisstofn með sama veldisvísi. Við margföldun og deilingu mega veldisvísarnir hins vegar vera ólíkir og stundum veldisstofnarnir líka. Við leiðum reglur veldisvísa með því að leita að mynstrum í nokkrum dæmum. Allar veldisreglurnar gilda um sérhverjar rauntölur en að svo stöddu notum við aðeins veldisvísa sem eru jákvæðar heiltölur eða núll.

Fyrst skoðum við dæmi sem leiðir til margfeldisreglunnar.


Hvað merkir þetta? Hve margir eru þættirnir samtals?
Því höfum við
Athugið að 5 er summa veldisvísanna 2 og 3.
Við ritum:	𝑥 2 ⋅ 𝑥 3 x 2 ⋅ x 3 𝑥 2 + 3 x 2 + 3 𝑥 5 x 5

Veldisstofninn hélst óbreyttur og við lögðum veldisvísana saman. Þetta leiðir til margfeldisreglunnar fyrir veldi.

Dæmi með tölum hjálpar okkur að sannreyna regluna.

\begin{matrix} 2^{2} \cdot 2^{3} & \overset{?}{=} & 2^{2 + 3} \\ 4 \cdot 8 & \overset{?}{=} & 2^{5} \\ 32 & = & 32 ✓ \end{matrix}

Dæmi 10.14

Einfaldið: $x^{5} \cdot x^{7} .$

Lausn

	𝑥 5 · 𝑥 7 x⁵ · x⁷
Notið margfeldisregluna, a m · a n = a m + n .
Einfaldið.	𝑥 1 2 x 12

Dæmi 10.15

Einfaldið: $b^{4} \cdot b .$

Lausn

	𝑏 4 · 𝑏 b⁴ · b
Endurritið b = b¹ .	𝑏 4 · 𝑏 1 b⁴ · b¹
Notið margfeldisregluna, a m · a n = a m + n .
Einfaldið.	𝑏 5 b 5

Dæmi 10.16

Simplify: 27·29. $2^{7} \cdot 2^{9} .$

Lausn

	2 7 · 2 9
Notið margfeldisregluna, a m · a n = a m + n .
Einfaldið.	2 1 6 2 16

Dæmi 10.17

Einfaldið: $y^{17} \cdot y^{23} .$

Lausn

	𝑦 1 7 · 𝑦 2 3 y¹⁷ · y²³
Athugið að veldisstofnarnir eru eins og því leggjum við veldisvísana saman.
Einfaldið.	𝑦 4 0 y 40

Við getum útvíkkað margfeldisregluna fyrir veldi þannig að hún gildi um fleiri en tvo þætti.

Dæmi 10.18

Einfaldið: 𝑥 3 · 𝑥 4 · 𝑥 $x^{3} \cdot x^{4} \cdot x^{2} .$ ^{2 . x 3 · x 4 · x 2 .}

Lausn

	𝑥 3 · 𝑥 4 · 𝑥 2 x³ · x⁴ · x²
Leggið veldisvísana saman þar sem veldisstofnarnir eru eins.
Einfaldið.	𝑥 9 x 9

Einfaldið stæður með reglunni um veldi af veldi

Skoðum nú veldisstæðu þar sem veldi er hafið í veldi. Reynið að finna almennu regluna.



Hvað merkir þetta? Hve margir eru þættirnir samtals?
Því höfum við
Athugið að 6 er margfeldi veldisvísanna 2 og 3.
Við ritum:	( 𝑥 2 ) 3 ( x 2 ) 3 𝑥 2 ⋅ 3 x 2 ⋅ 3 𝑥 6 x 6

Við margfölduðum veldisvísana. Þetta leiðir til reglunnar um veldi af veldi.

Dæmi með tölum hjálpar okkur að sannreyna regluna.

\begin{matrix} {(5^{2})}^{3} & \overset{?}{=} & 5^{2 \cdot 3} \\ {(25)}^{3} & \overset{?}{=} & 5^{6} \\ 15,625 & = & 15,625 ✓ \end{matrix}

Dæmi 10.19

Einfaldið:

ⓐ (𝑥5)₇ ${(x^{5})}^{7}$
ⓐ (36)₈ ${(3^{6})}^{8}$

Lausn

ⓐ
	( 𝑥 5 ) 7 ( x⁵ ) 7
Notið regluna um veldi af veldi, ( a m ) n = a m · n .
Einfaldið.	𝑥 3 5 x 35

ⓑ
	( 3 6 ) 8 ( 3 6 ) 8
Notið regluna um veldi af veldi, ( a m ) n = a m · n .
Einfaldið.	3 4 8 3 48

Einfaldið stæður með reglunni um margfeldi í veldi

Nú skoðum við stæðu sem inniheldur margfeldi hafið í veldi. Leitið að mynstri.

	( 2 ⁢ 𝑥 ) 3 ( 2 ⁢ x ) 3
Hvað merkir þetta?	2 ⁢ 𝑥 · 2 ⁢ 𝑥 · 2 ⁢ 𝑥 2 ⁢ x · 2 ⁢ x · 2 ⁢ x
Við setjum sams konar þætti saman.	2 · 2 · 2 · 𝑥 · 𝑥 · 𝑥 2 · 2 · 2 · x · x · x
Hversu margir þættir eru jafnir 2 og hversu margir eru jafnir x ?	2 3 · 𝑥 3 2 3 · x 3
Takið eftir að hver þáttur var hafinn í veldið.	( 2 ⁢ 𝑥 ) 3 i s 2 3 · 𝑥 3 ( 2 ⁢ x ) 3 is 2 3 · x 3
Við ritum:	( 2 ⁢ 𝑥 ) 3 ( 2 ⁢ x ) 3 2 3 · 𝑥 3 2 3 · x 3

Veldisvísirinn á við um hvern þátt. Þetta leiðir til reglunnar um margfeldi í veldi.

Dæmi með tölum hjálpar okkur að sannreyna regluna:

\begin{matrix} {(2 \cdot 3)}^{2} & \overset{?}{=} & 2^{2} \cdot 3^{2} \\ 6^{2} & \overset{?}{=} & 4 \cdot 9 \\ 36 & = & 36 ✓ \end{matrix}

Dæmi 10.20

Einfaldið: ${(−11 x)}^{2} .$

Lausn

	( − 1 1 ⁢ 𝑥 ) 2 ( −11 ⁢ x ) 2
Notið regluna um margfeldi í veldi, ( a ⁢ b ) m = a m ⁢ b m .
Einfaldið.	1 2 1 ⁢ 𝑥 2 121 ⁢ x 2

Dæmi 10.21

Einfaldið: ${(3 x y)}^{3} .$

Lausn

	( 3 ⁢ 𝑥 ⁢ 𝑦 ) 3 ( 3 ⁢ x ⁢ y ) 3
Hefjið hvern þátt í þriðja veldi.
Einfaldið.	2 7 ⁢ 𝑥 3 ⁢ 𝑦 3 27 ⁢ x 3 ⁢ y 3

Einfaldið stæður með því að beita nokkrum reglum

Við höfum nú þrjár reglur til að margfalda stæður með veldisvísum. Tökum þær saman og leysum síðan dæmi þar sem fleiri en ein regla er notuð.

Dæmi 10.22

Einfaldið: ${(x^{2})}^{6} {(x^{5})}^{4} .$

Lausn

	( 𝑥 2 ) 6 ⁢ ( 𝑥 5 ) 4 ( x² ) 6 ⁢ ( x⁵ ) 4
Notið regluna um veldi af veldi.	𝑥 1 2 · 𝑥 2 0 x¹² · x²⁰
Leggið veldisvísana saman.	𝑥 3 2 x 32

Dæmi 10.23

Einfaldið: ${(- 7 x^{3} y^{4})}^{2} .$

Lausn

	( − 7 ⁢ 𝑥 3 ⁢ 𝑦 4 ) 2 ( − 7 ⁢ x 3 ⁢ y⁴ ) 2
Hefjið hvern þátt í annað veldi.	( − 7 ) 2 ⁢ ( 𝑥 3 ) 2 ⁢ ( 𝑦 4 ) 2 ( −7 ) 2 ⁢ ( x³ ) 2 ⁢ ( y⁴ ) 2
Notið regluna um veldi af veldi.	4 9 ⁢ 𝑥 6 ⁢ 𝑦 8 49 ⁢ x 6 ⁢ y 8

Dæmi 10.24

Einfaldið: ${(6 n)}^{2} (4 n^{3}) .$

Lausn

	( 6 ⁢ 𝑛 ) 2 ⁢ ( 4 ⁢ 𝑛 3 ) ( 6 ⁢ n ) 2 ⁢ ( 4 ⁢ n³ )
Hefjið 6 ⁢ n í annað veldi.	6 2 ⁢ 𝑛 2 · 4 ⁢ 𝑛 3 6 2 ⁢ n² · 4 ⁢ n³
Einfaldið.	3 6 ⁢ 𝑛 2 · 4 ⁢ 𝑛 3 36 ⁢ n² · 4 ⁢ n³
Notið víxlregluna.	3 6 · 4 · 𝑛 2 · 𝑛 3 36 · 4 · n² · n³
Margfaldið fastana og leggið veldisvísana saman.	1 4 4 ⁢ 𝑛 5 144 ⁢ n 5

Takið eftir að í fyrri einliðunni var veldisvísirinn utan sviganna og átti við um báða þættina innan þeirra. Í síðari einliðunni var veldisvísirinn innan sviganna og átti því aðeins við um n .

Dæmi 10.25

Einfaldið: ${(3 p^{2} q)}^{4} {(2 p q^{2})}^{3} .$

Lausn

	( 3 ⁢ 𝑝 2 ⁢ 𝑞 ) 4 ⁢ ( 2 ⁢ 𝑝 ⁢ 𝑞 2 ) 3 ( 3 ⁢ p 2 ⁢ q ) 4 ⁢ ( 2 ⁢ p ⁢ q² ) 3
Notið regluna um margfeldi í veldi.	3 4 ⁢ ( 𝑝 2 ) 4 ⁢ 𝑞 4 · 2 3 ⁢ 𝑝 3 ⁢ ( 𝑞 2 ) 3 3 4 ⁢ ( p² ) 4 ⁢ q⁴ · 2 3 ⁢ p 3 ⁢ ( q² ) 3
Notið regluna um veldi af veldi.	8 1 ⁢ 𝑝 8 ⁢ 𝑞 4 · 8 ⁢ 𝑝 3 ⁢ 𝑞 6 81 ⁢ p 8 ⁢ q⁴ · 8 ⁢ p 3 ⁢ q⁶
Notið víxlregluna.	8 1 · 8 · 𝑝 8 · 𝑝 3 · 𝑞 4 · 𝑞 6 81 · 8 · p⁸ · p³ · q⁴ · q⁶
Margfaldið fastana og leggið saman veldisvísa hverrar breytu.	6 4 8 ⁢ 𝑝 1 1 ⁢ 𝑞 1 0 648 ⁢ p 11 ⁢ q 10

Margfaldið einliði

Þar sem einliður er algebrustæða getum við notað reglurnar um einföldun stæða með veldisvísum til að margfalda einliði.

Dæmi 10.26

Margfaldið: $(4 x^{2}) (- 5 x^{3}) .$

Lausn

	( 4 ⁢ 𝑥 2 ) ⁢ ( − 5 ⁢ 𝑥 3 ) ( 4 ⁢ x² ) ⁢ ( − 5 ⁢ x³ )
Notið víxlregluna til að endurraða þáttunum.	4 · ( − 5 ) · 𝑥 2 · 𝑥 3 4 · ( −5 ) · x² · x³
Margfaldið.	− 2 0 ⁢ 𝑥 5 − 20 ⁢ x⁵

Dæmi 10.27

Margfaldið: $(\frac{3}{4} c^{3} d) (12 c d^{2}) .$

Lausn

	( 3 4 𝑐 3 ⁢ 𝑑 ) ⁢ ( 1 2 ⁢ 𝑐 ⁢ 𝑑 2 ) ( 3/4 c 3 ⁢ d ) ⁢ ( 12 ⁢ c ⁢ d² )
Notið víxlregluna til að endurraða þáttunum.	3 4 · 1 2 · 𝑐 3 · 𝑐 · 𝑑 · 𝑑 2 3/4 · 12 · c³ · c · d · d²
Margfaldið.	9 ⁢ 𝑐 4 ⁢ 𝑑 3 9 ⁢ c 4 ⁢ d 3

Æfingar úr kafla 10.2

Æfingin skapar meistarann

Einfaldið stæður með veldisvísum

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið einfalda hverja stæðu með veldisvísum.

55.

45 $4^{5}$

56.

103 $10^{3}$

57.

(12)₂ ${(\frac{1}{2})}^{2}$

58.

(35)₂ ${(\frac{3}{5})}^{2}$

59.

(0.2)₃ ${(0.2)}^{3}$

60.

(0.4)₃ ${(0.4)}^{3}$

61.

(−5)₄ ${(−5)}^{4}$

62.

(−3)₅ ${(−3)}^{5}$

63.

−54 ${−5}^{4}$

64.

−35 ${−3}^{5}$

65.

−104 ${−10}^{4}$

66.

−26 ${−2}^{6}$

67.

(−23)₃ ${(- \frac{2}{3})}^{3}$

68.

(−14)₄ ${(- \frac{1}{4})}^{4}$

69.

−0.52 $- {0.5}^{2}$

70.

−0.14 $- {0.1}^{4}$

Einfaldið stæður með margfeldisreglunni fyrir veldi

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið einfalda hverja stæðu með margfeldisreglunni fyrir veldi.

71.

𝑥3·𝑥6 $x^{3} \cdot x^{6}$

72.

𝑚4·𝑚2 $m^{4} \cdot m^{2}$

73.

𝑎·𝑎4 $a \cdot a^{4}$

74.

𝑦12·𝑦 $y^{12} \cdot y$

75.

35·39 $3^{5} \cdot 3^{9}$

76.

510·56 $5^{10} \cdot 5^{6}$

77.

𝑧·𝑧2·𝑧3 $z \cdot z^{2} \cdot z^{3}$

78.

𝑎·𝑎3·𝑎5 $a \cdot a^{3} \cdot a^{5}$

79.

𝑥𝑎·𝑥2 $x^{a} \cdot x^{2}$

80.

𝑦𝑝·𝑦3 $y^{p} \cdot y^{3}$

81.

𝑦𝑎·𝑦𝑏 $y^{a} \cdot y^{b}$

82.

𝑥𝑝·𝑥𝑞 $x^{p} \cdot x^{q}$

Einfaldið stæður með reglunni um veldi af veldi

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið einfalda hverja stæðu með reglunni um veldi af veldi.

83.

(𝑢4)₂ ${(u^{4})}^{2}$

84.

(𝑥2)₇ ${(x^{2})}^{7}$

85.

(𝑦5)₄ ${(y^{5})}^{4}$

86.

(𝑎3)₂ ${(a^{3})}^{2}$

87.

(102)₆ ${(10^{2})}^{6}$

88.

(28)₃ ${(2^{8})}^{3}$

89.

(𝑥15)₆ ${(x^{15})}^{6}$

90.

(𝑦12)₈ ${(y^{12})}^{8}$

91.

(𝑥2)𝑦 ${(x^{2})}^{y}$

92.

(𝑦3)𝑥 ${(y^{3})}^{x}$

93.

(5𝑥)𝑦 ${(5^{x})}^{y}$

94.

(7𝑎)𝑏 ${(7^{a})}^{b}$

Einfaldið stæður með reglunni um margfeldi í veldi

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið einfalda hverja stæðu með reglunni um margfeldi í veldi.

95.

(5⁢𝑎)₂ ${(5 a)}^{2}$

96.

(7⁢𝑥)₂ ${(7 x)}^{2}$

97.

(−6⁢𝑚)₃ ${(- 6 m)}^{3}$

98.

(−9⁢𝑛)₃ ${(- 9 n)}^{3}$

99.

(4⁢𝑟⁢𝑠)₂ ${(4 r s)}^{2}$

100.

(5⁢𝑎⁢𝑏)₃ ${(5 a b)}^{3}$

101.

(4⁢𝑥⁢𝑦⁢𝑧)₄ ${(4 x y z)}^{4}$

102.

(−5⁢𝑎⁢𝑏⁢𝑐)₃ ${(- 5 a b c)}^{3}$

Einfaldið stæður með því að beita nokkrum reglum

Einfaldið hverja stæðu í eftirfarandi verkefnum.

103.

(𝑥2)₄·(𝑥3)₂ ${(x^{2})}^{4} \cdot {(x^{3})}^{2}$

104.

(𝑦4)₃·(𝑦5)₂ ${(y^{4})}^{3} \cdot {(y^{5})}^{2}$

105.

(𝑎2)₆·(𝑎3)₈ ${(a^{2})}^{6} \cdot {(a^{3})}^{8}$

106.

(𝑏7)₅·(𝑏2)₆ ${(b^{7})}^{5} \cdot {(b^{2})}^{6}$

107.

(3⁢𝑥)₂⁢(5⁢𝑥) ${(3 x)}^{2} (5 x)$

108.

(2⁢𝑦)₃⁢(6⁢𝑦) ${(2 y)}^{3} (6 y)$

109.

(5⁢𝑎)₂⁢(2⁢𝑎)₃ ${(5 a)}^{2} {(2 a)}^{3}$

110.

(4⁢𝑏)₂⁢(3⁢𝑏)₃ ${(4 b)}^{2} {(3 b)}^{3}$

111.

(2⁢𝑚6)₃ ${(2 m^{6})}^{3}$

112.

(3⁢𝑦2)₄ ${(3 y^{2})}^{4}$

113.

(10⁢𝑥2⁢𝑦)₃ ${(10 x^{2} y)}^{3}$

114.

(2⁢𝑚⁢𝑛4)₅ ${(2 m n^{4})}^{5}$

115.

(−2⁢𝑎3⁢𝑏2)₄ ${(−2 a^{3} b^{2})}^{4}$

116.

(−10⁢𝑢2⁢𝑣4)₃ ${(−10 u^{2} v^{4})}^{3}$

117.

(23𝑥2⁢𝑦)₃ ${(\frac{2}{3} x^{2} y)}^{3}$

118.

(79𝑝⁢𝑞4)₂ ${(\frac{7}{9} p q^{4})}^{2}$

119.

(8⁢𝑎3)₂⁢(2⁢𝑎)₄ ${(8 a^{3})}^{2} {(2 a)}^{4}$

120.

(5⁢𝑟2)₃⁢(3⁢𝑟)₂ ${(5 r^{2})}^{3} {(3 r)}^{2}$

121.

(10⁢𝑝4)₃⁢(5⁢𝑝6)₂ ${(10 p^{4})}^{3} {(5 p^{6})}^{2}$

122.

(4⁢𝑥3)₃⁢(2⁢𝑥5)₄ ${(4 x^{3})}^{3} {(2 x^{5})}^{4}$

123.

(12𝑥2⁢𝑦3)₄⁢(4⁢𝑥5⁢𝑦3)₂ ${(\frac{1}{2} x^{2} y^{3})}^{4} {(4 x^{5} y^{3})}^{2}$

124.

(13𝑚3⁢𝑛2)₄⁢(9⁢𝑚8⁢𝑛3)₂ ${(\frac{1}{3} m^{3} n^{2})}^{4} {(9 m^{8} n^{3})}^{2}$

125.

(3⁢𝑚2⁢𝑛)₂⁢(2⁢𝑚⁢𝑛5)₄ ${(3 m^{2} n)}^{2} {(2 m n^{5})}^{4}$

126.

(2⁢𝑝⁢𝑞4)₃⁢(5⁢𝑝6⁢𝑞)₂ ${(2 p q^{4})}^{3} {(5 p^{6} q)}^{2}$

Margfaldið einliði

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið margfalda einliðina.

127.

(12⁢𝑥2)⁢(−5⁢𝑥4) $(12 x^{2}) (−5 x^{4})$

128.

(−10⁢𝑦3)⁢(7⁢𝑦2) $(−10 y^{3}) (7 y^{2})$

129.

(−8⁢𝑢6)⁢(−9⁢𝑢) $(−8 u^{6}) (−9 u)$

130.

(−6⁢𝑐4)⁢(−12⁢𝑐) $(−6 c^{4}) (−12 c)$

131.

(15𝑟8)⁢(20⁢𝑟3) $(\frac{1}{5} r^{8}) (20 r^{3})$

132.

(14𝑎5)⁢(36⁢𝑎2) $(\frac{1}{4} a^{5}) (36 a^{2})$

133.

(4⁢𝑎3⁢𝑏)⁢(9⁢𝑎2⁢𝑏6) $(4 a^{3} b) (9 a^{2} b^{6})$

134.

(6⁢𝑚4⁢𝑛3)⁢(7⁢𝑚⁢𝑛5) $(6 m^{4} n^{3}) (7 m n^{5})$

135.

(47𝑥⁢𝑦2)⁢(14⁢𝑥⁢𝑦3) $(\frac{4}{7} x y^{2}) (14 x y^{3})$

136.

(58𝑢3⁢𝑣)⁢(24⁢𝑢5⁢𝑣) $(\frac{5}{8} u^{3} v) (24 u^{5} v)$

137.

(23𝑥2⁢𝑦)⁢(34𝑥⁢𝑦2) $(\frac{2}{3} x^{2} y) (\frac{3}{4} x y^{2})$

138.

(35𝑚3⁢𝑛2)⁢(59𝑚2⁢𝑛3) $(\frac{3}{5} m^{3} n^{2}) (\frac{5}{9} m^{2} n^{3})$

Stærðfræði daglegs lífs

139.

Tölvupóstur Janet sendir sex vinum sínum brandara í tölvupósti og biður þá að áframsenda hann til sex vina sinna, sem áframsenda hann síðan til sex vina sinna og svo framvegis. Fjöldi þeirra sem fá tölvupóstinn í annarri umferð er $6^{2},$ og í þriðju umferð $6^{3},$ eins og sýnt er í töflunni. Hversu margir fá tölvupóstinn í áttundu umferð? Einfaldið stæðuna til að sýna fjölda þeirra sem fá tölvupóstinn.

Umferð	Fjöldi fólks
1 1	6 6
2 2	6 2 6 2
3 3	6 3 6 3
… …	… …
8 8	? ?

140.

Laun Yfirmaður Rauls veitir honum $5%$ launahækkun ár hvert á afmælisdegi hans. Það þýðir að laun Rauls verða á hverju ári $1.05$ sinnum laun hans árið á undan. Ef upphafleg árslaun hans voru $$40,000$ , voru launin eftir $1$ ár $$40,000 (1.05),$ eftir $2$ ár $$40,000 {(1.05)}^{2},$ og eftir $3$ ár $$40,000 {(1.05)}^{3},$ eins og sýnt er í töflunni. Hver verða laun Rauls eftir $10$ ár? Einfaldið stæðuna til að sýna laun Rauls í dölum.

Ár	Laun
1 1	$ 4 0 , 0 0 0 ( 1 . 0 5 ) $40,000 ( 1.05 )
2 2	$ 4 0 , 0 0 0 ( 1 . 0 5 ) 2 $40,000 ( 1.05 ) 2
3 3	$ 4 0 , 0 0 0 ( 1 . 0 5 ) 3 $40,000 ( 1.05 ) 3
… …	… …
1 0 10	? ?

Ritunarverkefni

141.

Notið margfeldisregluna fyrir veldi til að útskýra hvers vegna $x \cdot x = x^{2} .$

142.

Útskýrið hvers vegna ${−5}^{3} = {(−5)}^{3}$ en ${−5}^{4} \neq {(−5)}^{4} .$

143.

Jorge telur að ${(\frac{1}{2})}^{2}$ sé $1 .$ Hvað er rangt við röksemdafærslu hans?

144.

Útskýrið hvers vegna $x^{3} \cdot x^{5}$ er $x^{8},$ en ekki $x^{15} .$

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum kaflans.

ⓑ Þegar þið hafið farið yfir þennan gátlista, hvað ætlið þið að gera til að öðlast öryggi í öllum námsmarkmiðunum?