1010 Margliður

10.4 Deila einliðum

Námsmarkmið

Í lok þessa kafla eigið þið að geta:

einfaldað stæður með kvótareglu fyrir veldi
einfaldað stæður með núllveldi
einfaldað stæður með reglunni um kvóta í veldi
einfaldað stæður með því að beita nokkrum veldisreglum
deilt einliðum

Einfaldið stæður með kvótareglu fyrir veldi

Fyrr í þessum kafla leiddum við út veldisreglur fyrir margföldun. Þær eru teknar saman hér.

Nú skoðum við veldisreglur fyrir deilingu. Gott getur verið að rifja örstutt upp áður en við byrjum. Í kaflanum um brot lærðuð þið að einfalda brot með því að stytta sameiginlega þætti teljara og nefnara samkvæmt reglunni um jafngild brot. Sú regla nýtist einnig við algebrubrot, sem eru líka kvótar.

Eins og áður reynum við að finna reglu með því að skoða nokkur dæmi.

$\begin{matrix} Skoðið & \frac{x^{5}}{x^{2}} & og & \frac{x^{2}}{x^{3}} \\ Hvað merkja þær? & \frac{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x}{x \cdot x} & \frac{x \cdot x}{x \cdot x \cdot x} \\ Notið regluna um jafngild brot. & \frac{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x}{x \cdot x \cdot 1} & \frac{x \cdot x \cdot 1}{x \cdot x \cdot x} \\ Einfaldið. & x^{3} & \frac{1}{x} \end{matrix}$

Athugið að í hverju tilviki voru veldisstofnarnir eins og við drógum veldisvísana frá hvor öðrum.

Þegar stærri veldisvísirinn var í teljaranum urðu þættir eftir í teljaranum og $1$ í nefnaranum, sem við einfölduðum.
Þegar stærri veldisvísirinn var í nefnaranum urðu þættir eftir í nefnaranum og $1$ í teljaranum, sem ekki var hægt að einfalda frekar.

Við ritum:

\begin{matrix} \frac{x^{5}}{x^{2}} & \frac{x^{2}}{x^{3}} \\ x^{5 - 2} & \frac{1}{x^{3 - 2}} \\ x^{3} & \frac{1}{x} \end{matrix}

Nokkur töludæmi geta hjálpað til við að sannreyna regluna.

\begin{matrix} \frac{3^{4}}{3^{2}} \overset{?}{=} 3^{4 - 2} & \frac{5^{2}}{5^{3}} \overset{?}{=} \frac{1}{5^{3 - 2}} \\ \frac{81}{9} \overset{?}{=} 3^{2} & \frac{25}{125} \overset{?}{=} \frac{1}{5^{1}} \\ 9 = 9 ✓ & \frac{1}{5} = \frac{1}{5} ✓ \end{matrix}

Þegar við reiknum með tölum og veldisvísirinn er minni en eða jafn $3,$ reiknum við veldið. Þegar veldisvísirinn er stærri en $3$ látum við svarið standa á veldisformi.

Dæmi 10.45

Einfaldið:

ⓐ 𝑥10𝑥8 $\frac{x^{10}}{x^{8}}$
ⓑ 2922 $\frac{2^{9}}{2^{2}}$

Lausn

Til að einfalda stæðu með kvóta þurfum við fyrst að bera saman veldisvísa teljarans og nefnarans.

ⓐ
Þar sem 10 > 8 eru fleiri þættir af x í teljaranum.	𝑥 1 0 𝑥 8 x 10/x⁸
Notið kvótaregluna þegar m > n , a m/a n = a m − n .
Einfaldið.	𝑥 2 x 2

ⓑ
Þar sem 9 > 2 eru fleiri þættir af 2 í teljaranum.	2 9 2 2 2 $\frac{9}{2}$ 2
Notið kvótaregluna þegar m > n , a m/a n = a m − n .
Einfaldið.	2 7 2 7

Athugið að þegar stærri veldisvísirinn er í teljaranum verða þættir eftir í teljaranum.

Dæmi 10.46

Einfaldið:

ⓐ 𝑏10𝑏15 $\frac{b^{10}}{b^{15}}$
ⓑ 3335 $\frac{3^{3}}{3^{5}}$

Lausn

Til að einfalda stæðu með kvóta þurfum við fyrst að bera saman veldisvísa teljarans og nefnarans.

ⓐ
Þar sem 15 > 10 eru fleiri þættir af b í nefnaranum.	𝑏 1 0 𝑏 1 5 b 10/b¹⁵
Notið kvótaregluna þegar n > m , a m/a n = 1/a n − m .
Einfaldið.	1 𝑏 5 1/b⁵

ⓑ
Þar sem 5 > 3 eru fleiri þættir af 3 í nefnaranum.	3 3 3 5 3 $\frac{3}{3}$ 5
Notið kvótaregluna þegar n > m , a m/a n = 1/a n − m .
Einfaldið.	1 3 2 $\frac{1}{3}$ 2
Reiknið veldið.	1 9 $\frac{1}{9}$

Athugið að þegar stærri veldisvísirinn er í nefnaranum verða þættir eftir í nefnaranum og $1$ í teljaranum.

Dæmi 10.47

Einfaldið:

ⓐ 𝑎5𝑎9 $\frac{a^{5}}{a^{9}}$
ⓑ 𝑥11𝑥7 $\frac{x^{11}}{x^{7}}$

Lausn

ⓐ
Þar sem 9 > 5 eru fleiri þættir af a í nefnaranum og því verða þættir eftir í nefnaranum.	𝑎 5 𝑎 9 a 5/a⁹
Notið kvótaregluna þegar n > m , a m/a n = 1/a n − m .
Einfaldið.	1 𝑎 4 1/a⁴

ⓑ
Athugið að fleiri þættir af x eru í teljaranum þar sem 11 > 7. Því verða þættir eftir í teljaranum.	𝑥 1 1 𝑥 7 x 11/x⁷
Notið kvótaregluna þegar m > n , a m/a n = a n − m .
Einfaldið.	𝑥 4 x 4

Einfaldið stæður með núllveldi

Sértilvik kvótareglunnar kemur upp þegar veldisvísar teljarans og nefnarans eru jafnir, til dæmis í stæðu eins og $\frac{a^{m}}{a^{m}} .$ Af fyrri vinnu með brot vitum við að

\frac{2}{2} = 1 \frac{17}{17} = 1 \frac{−43}{−43} = 1

Með orðum: Tala deilt með sjálfri sér er $1 .$ Því gildir $\frac{x}{x} = 1,$ fyrir sérhvert $x$ ( $x \neq 0$ ), enda er tala deilt með sjálfri sér $1 .$

Kvótareglan fyrir veldi sýnir hvernig einfalda má $\frac{a^{m}}{a^{n}}$ þegar $m > n$ og þegar $n < m$ með því að draga veldisvísana frá. En hvað ef $m = n$ ?

Nú einföldum við $\frac{a^{m}}{a^{m}}$ á tvo vegu til að leiða út skilgreiningu núllveldis.

Skoðum fyrst $\frac{8}{8},$ sem við vitum að er $1 .$

	8 8 = 1 8/8 = 1
Skrifið 8 sem 2 3 .	2 3 2 3 = 1 2 3/2 3 = 1
Dragið veldisvísana frá.	2 3 − 3 = 1 2 3 − 3 = 1
Einfaldið.	2 0 = 1 2 0 = 1

Myndin sýnir sönnun þess að sérhver tala önnur en núll í núllta veldi er 1 (a^0 = 1), bæði með veldisreglum og styttingu þátta.

Við sjáum að $\frac{a^{m}}{a^{n}}$ einfaldast bæði í $a^{0}$ og $1$ . Því er $a^{0} = 1$ .

Í þessari bók gerum við ráð fyrir að breyta sem er hafin í núllta veldi sé ekki núll.

Dæmi 10.48

Einfaldið:

ⓐ 120 $12^{0}$
ⓑ 𝑦0 $y^{0}$

Lausn

Samkvæmt skilgreiningunni er sérhver tala önnur en núll í núllta veldi $1 .$

ⓐ
	1 2 0 12 0
Notið skilgreiningu núllveldis.	1

ⓑ
	𝑦 0 y 0
Notið skilgreiningu núllveldis.	1

Nú þegar núllveldi hefur verið skilgreint getum við látið allar veldisreglurnar ná til veldisvísa sem eru núll eða jákvæðar heiltölur.

Hvað gerist þegar stæða er hafin í núllta veldi? Skoðum ${(2 x)}^{0} .$ Við getum notað regluna um margfeldi í veldi til að endurrita stæðuna.

	( 2 ⁢ 𝑥 ) 0 ( 2 ⁢ x ) 0
Notið regluna um margfeldi í veldi.	2 0 ⁢ 𝑥 0 2 0 ⁢ x 0
Notið núllveldisregluna.	1 ⋅ 1 1 ⋅ 1
Einfaldið.	1

Þetta sýnir að sérhver stæða önnur en núll í núllta veldi er 1.

Dæmi 10.49

Einfaldið: ${(7 z)}^{0} .$

Lausn

	( 7 ⁢ 𝑧 ) 0 ( 7 ⁢ z ) 0
Notið skilgreiningu núllveldis.	1

Dæmi 10.50

Einfaldið:

ⓐ (−3⁢𝑥2⁢𝑦)₀ ${(−3 x^{2} y)}^{0}$
ⓑ −3⁢𝑥2⁢𝑦0 $−3 x^{2} y^{0}$

Lausn

ⓐ
Margfeldið er hafið í núllta veldi.	( − 3 ⁢ 𝑥 2 ⁢ 𝑦 ) 0 ( −3 ⁢ x 2 ⁢ y ) 0
Notið skilgreiningu núllveldis.	1 1

ⓑ
Athugið að aðeins breytan y er hafin í núllta veldi.	− 3 ⁢ 𝑥 2 ⁢ 𝑦 0 −3 ⁢ x 2 ⁢ y⁰
Notið skilgreiningu núllveldis.	− 3 ⁢ 𝑥 2 ⋅ 1 −3 ⁢ x² ⋅ 1
Einfaldið.	− 3 ⁢ 𝑥 2 −3 ⁢ x²

Einfaldið stæður með reglunni um kvóta í veldi

Nú skoðum við dæmi sem leiðir okkur að reglunni um kvóta í veldi.

	( 𝑥 𝑦 ) 3 ( x/y ) 3
Þetta merkir	𝑥 𝑦 ⋅ 𝑥 𝑦 ⋅ 𝑥 𝑦 x/y ⋅ x/y ⋅ x/y
Margfaldið brotin.	𝑥 ⋅ 𝑥 ⋅ 𝑥 𝑦 ⋅ 𝑦 ⋅ 𝑦 x ⋅ x ⋅ x/y ⋅ y ⋅ y
Skrifið með veldisvísum.	𝑥 3 𝑦 3 x 3/y 3

Athugið að veldisvísirinn á bæði við teljarann og nefnarann.

Við sjáum að ${(\frac{x}{y})}^{3}$ er $\frac{x^{3}}{y^{3}} .$

$\begin{matrix} Við skrifum: & {(\frac{x}{y})}^{3} \\ \frac{x^{3}}{y^{3}} \end{matrix}$

Þetta leiðir til reglunnar um kvóta í veldi.

Töludæmi getur auðveldað skilning á reglunni:

\begin{matrix} {(\frac{2}{3})}^{3} & \overset{?}{=} & \frac{2^{3}}{3^{3}} \\ \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} & \overset{?}{=} & \frac{8}{27} \\ \frac{8}{27} & = & \frac{8}{27} ✓ \end{matrix}

Dæmi 10.51

Einfaldið:

ⓐ (58)₂ ${(\frac{5}{8})}^{2}$
ⓑ (𝑥3)₄ ${(\frac{x}{3})}^{4}$
ⓒ (𝑦𝑚)₃ ${(\frac{y}{m})}^{3}$

Lausn

ⓐ

Notið regluna um kvóta í veldi, ( a/b ) m = a m/b m .
Einfaldið.

ⓑ

Notið regluna um kvóta í veldi, ( a/b ) m = a m/b m .
Einfaldið.

ⓒ

Hefjið teljarann og nefnarann í þriðja veldi.

Einfaldið stæður með því að beita nokkrum reglum

Nú tökum við allar veldisreglurnar saman á einum stað til viðmiðunar þegar stæður eru einfaldaðar með nokkrum reglum. Athugið að þær eru nú skilgreindar fyrir veldisvísa sem eru núll eða jákvæðar heiltölur.

Dæmi 10.52

Einfaldið: $\frac{{(x^{2})}^{3}}{x^{5}} .$

Lausn

	( 𝑥 2 ) 3 𝑥 5 ( x² ) 3/x⁵
Margfaldið veldisvísana í teljaranum samkvæmt reglunni um veldi af veldi.	𝑥 6 𝑥 5 x 6/x⁵
Dragið veldisvísana frá.	𝑥 x

Dæmi 10.53

Einfaldið: $\frac{m^{8}}{{(m^{2})}^{4}} .$

Lausn

	𝑚 8 ( 𝑚 2 ) 4 m 8/( m² ) 4
Margfaldið veldisvísana í nefnaranum samkvæmt reglunni um veldi af veldi.	𝑚 8 𝑚 8 m 8/m⁸
Dragið veldisvísana frá.	𝑚 0 m 0
Núllveldisreglan	1 1

Dæmi 10.54

Einfaldið: ${(\frac{x^{7}}{x^{3}})}^{2} .$

Lausn

	( 𝑥 7 𝑥 3 ) 2 ( x 7/x³ ) 2
Munið að svigar koma á undan veldum og veldisstofnarnir eru eins, svo einfalda má innan sviganna. Dragið veldisvísana frá.	( 𝑥 7 − 3 ) 2 ( x⁷ − 3 ) 2
Einfaldið.	( 𝑥 4 ) 2 ( x⁴ ) 2
Margfaldið veldisvísana.	𝑥 8 x 8

Dæmi 10.55

Einfaldið: ${(\frac{p^{2}}{q^{5}})}^{3} .$

Lausn

Hér getum við ekki einfaldað innan svigans fyrst þar sem veldisstofnarnir eru ekki eins.

	( 𝑝 2 𝑞 5 ) 3 ( p 2/q⁵ ) 3
Hefjið teljarann og nefnarann í þriðja veldi samkvæmt reglunni um kvóta í veldi, ( a/b ) m = a m/b m	( 𝑝 2 ) 3 ( 𝑞 5 ) 3 ( p² ) 3/( q⁵ ) 3
Notið regluna um veldi af veldi, ( a m ) n = a m ⋅ n .	𝑝 6 𝑞 1 5 p 6/q¹⁵

Dæmi 10.56

Einfaldið: ${(\frac{2 x^{3}}{3 y})}^{4} .$

Lausn

	( 2 ⁢ 𝑥 3 3 ⁢ 𝑦 ) 4 ( 2 ⁢ x $\frac{3}{3}$ ⁢ y ) 4
Hefjið teljarann og nefnarann í fjórða veldi samkvæmt reglunni um kvóta í veldi.	( 2 ⁢ 𝑥 3 ) 4 ( 3 ⁢ 𝑦 ) 4 ( 2 ⁢ x³ ) 4/( 3 ⁢ y ) 4
Hefjið hvern þátt í fjórða veldi samkvæmt reglunni um veldi af veldi.	2 4 ⁢ ( 𝑥 3 ) 4 3 4 ⁢ 𝑦 4 2 4 ⁢ ( x³ ) 4/3 4 ⁢ y⁴
Notið regluna um veldi af veldi og einfaldið.	1 6 ⁢ 𝑥 1 2 8 1 ⁢ 𝑦 4 16 ⁢ x 12/81 ⁢ y⁴

Dæmi 10.57

Einfaldið: $\frac{{(y^{2})}^{3} {(y^{2})}^{4}}{{(y^{5})}^{4}} .$

Lausn

	( 𝑦 2 ) 3 ⁢ ( 𝑦 2 ) 4 ( 𝑦 5 ) 4 ( y² ) 3 ⁢ ( y² ) 4/( y⁵ ) 4
Notið regluna um veldi af veldi.	( 𝑦 6 ) ⁢ ( 𝑦 8 ) 𝑦 2 0 ( y⁶ ) ⁢ ( y 8 )/y 20
Leggið saman veldisvísana í teljaranum samkvæmt margfeldisreglunni fyrir veldi.	𝑦 1 4 𝑦 2 0 y 14/y²⁰
Notið kvótaregluna fyrir veldi.	1 𝑦 6 1/y⁶

Deila einliðum

Nú höfum við séð allar veldisreglurnar. Við notum þær til að deila einliðum. Síðar notið þið þær til að deila margliðum.

Dæmi 10.58

Finnið kvótann: $56 x^{5} \div 7 x^{2} .$

Lausn

	5 6 ⁢ 𝑥 5 ÷ 7 ⁢ 𝑥 2 56 ⁢ x 5 ÷ 7 ⁢ x 2
Endurritið sem brot.	5 6 ⁢ 𝑥 5 7 ⁢ 𝑥 2 56 ⁢ x 5/7 ⁢ x²
Notið margföldun brota til að skilja töluhlutann frá breytuhlutanum.	5 6 7 ⋅ 𝑥 5 𝑥 2 56/7 ⋅ x 5/x²
Notið kvótaregluna fyrir veldi.	8 ⁢ 𝑥 3 8 ⁢ x 3

Þegar við deilum einliðum með fleiri en einni breytu skrifum við eitt brot fyrir hverja breytu.

Dæmi 10.59

Finnið kvótann: $\frac{42 x^{2} y^{3}}{−7 x y^{5}} .$

Lausn

	4 2 ⁢ 𝑥 2 ⁢ 𝑦 3 − 7 ⁢ 𝑥 ⁢ 𝑦 5 42 ⁢ x 2 ⁢ y 3/−7 ⁢ x ⁢ y⁵
Notið margföldun brota.	4 2 − 7 ⋅ 𝑥 2 𝑥 ⋅ 𝑦 3 𝑦 5 42/−7 ⋅ x 2/x ⋅ y 3/y⁵
Einfaldið og notið kvótaregluna.	− 6 ⋅ 𝑥 ⋅ 1 𝑦 2 −6 ⋅ x ⋅ 1/y²
Margfaldið.	− 6 ⁢ 𝑥 𝑦 2 − 6 ⁢ x/y 2

Dæmi 10.60

Finnið kvótann: $\frac{24 a^{5} b^{3}}{48 a b^{4}} .$

Lausn

	2 4 ⁢ 𝑎 5 ⁢ 𝑏 3 4 8 ⁢ 𝑎 ⁢ 𝑏 4 24 ⁢ a 5 ⁢ b 3/48 ⁢ a ⁢ b⁴
Notið margföldun brota.	2 4 4 8 ⋅ 𝑎 5 𝑎 ⋅ 𝑏 3 𝑏 4 24/48 ⋅ a 5/a ⋅ b 3/b⁴
Einfaldið og notið kvótaregluna.	1 2 ⋅ 𝑎 4 ⋅ 1 𝑏 1/2 ⋅ a⁴ ⋅ 1/b
Margfaldið.	𝑎 4 2 ⁢ 𝑏 a $\frac{4}{2}$ ⁢ b

Þegar þið hafið náð tökum á aðferðinni og æft hana skref fyrir skref nokkrum sinnum getið þið ef til vill einfaldað brot í einu skrefi.

Dæmi 10.61

Finnið kvótann: $\frac{14 x^{7} y^{12}}{21 x^{11} y^{6}} .$

Lausn

	1 4 ⁢ 𝑥 7 ⁢ 𝑦 1 2 2 1 ⁢ 𝑥 1 1 ⁢ 𝑦 6 14 ⁢ x 7 ⁢ y 12/21 ⁢ x 11 ⁢ y⁶
Einfaldið og notið kvótaregluna.	2 ⁢ 𝑦 6 3 ⁢ 𝑥 4 2 ⁢ y 6/3 ⁢ x⁴

Gætið sérstaklega að því að einfalda $\frac{14}{21}$ með því að stytta sameiginlegan þátt og einfalda breyturnar með því að draga veldisvísa þeirra frá.

Í öllum dæmunum hingað til þurfti ekki að reikna neitt í teljara eða nefnara áður en brotið var einfaldað. Í næsta dæmi finnum við fyrst margfeldi tveggja einliða í teljaranum og einföldum síðan brotið.

Dæmi 10.62

Finnið kvótann: $\frac{(3 x^{3} y^{2}) (10 x^{2} y^{3})}{6 x^{4} y^{5}} .$

Lausn

Munið að brotastrikið er flokkunartákn. Við einföldum teljarann fyrst.

	( 3 ⁢ 𝑥 3 ⁢ 𝑦 2 ) ⁢ ( 1 0 ⁢ 𝑥 2 ⁢ 𝑦 3 ) 6 ⁢ 𝑥 4 ⁢ 𝑦 5 ( 3 ⁢ x 3 ⁢ y² ) ⁢ ( 10 ⁢ x 2 ⁢ y 3 )/6 ⁢ x 4 ⁢ y⁵
Einfaldið teljarann.	3 0 ⁢ 𝑥 5 ⁢ 𝑦 5 6 ⁢ 𝑥 4 ⁢ 𝑦 5 30 ⁢ x 5 ⁢ y 5/6 ⁢ x 4 ⁢ y⁵
Einfaldið með kvótareglunni fyrir veldi.	5 ⁢ 𝑥 5 ⁢ x

Æfingar úr kafla 10.4

Æfingin skapar meistarann

Einfaldið stæður með kvótareglu fyrir veldi

Einfaldið í eftirfarandi æfingum.

219.

4842 $\frac{4^{8}}{4^{2}}$

220.

31234 $\frac{3^{12}}{3^{4}}$

221.

𝑥12𝑥3 $\frac{x^{12}}{x^{3}}$

222.

𝑢9𝑢3 $\frac{u^{9}}{u^{3}}$

223.

𝑟5𝑟 $\frac{r^{5}}{r}$

224.

𝑦4𝑦 $\frac{y^{4}}{y}$

225.

𝑦4𝑦20 $\frac{y^{4}}{y^{20}}$

226.

𝑥10𝑥30 $\frac{x^{10}}{x^{30}}$

227.

1031015 $\frac{10^{3}}{10^{15}}$

228.

𝑟2𝑟8 $\frac{r^{2}}{r^{8}}$

229.

𝑎𝑎9 $\frac{a}{a^{9}}$

230.

225 $\frac{2}{2^{5}}$

Einfaldið stæður með núllveldi

Einfaldið í eftirfarandi æfingum.

231.

50 $5^{0}$

232.

100 $10^{0}$

233.

𝑎0 $a^{0}$

234.

𝑥0 $x^{0}$

235.

−70 $- 7^{0}$

236.

−40 $- 4^{0}$

237.

ⓐ (10⁢𝑝)₀ ${(10 p)}^{0}$
ⓑ 10⁢𝑝0 $10 p^{0}$

238.

ⓐ (3⁢𝑎)₀ ${(3 a)}^{0}$
ⓑ 3⁢𝑎0 $3 a^{0}$

239.

ⓐ (−27⁢𝑥5⁢𝑦)₀ ${(−27 x^{5} y)}^{0}$
ⓑ −27⁢𝑥5⁢𝑦0 $−27 x^{5} y^{0}$

240.

ⓐ (−92⁢𝑦8⁢𝑧)₀ ${(−92 y^{8} z)}^{0}$
ⓑ −92⁢𝑦8⁢𝑧0 $−92 y^{8} z^{0}$

241.

ⓐ 150 $15^{0}$
ⓑ 151 $15^{1}$

242.

ⓐ −60 $- 6^{0}$
ⓑ −61 $- 6^{1}$

243.

2·𝑥0+5·𝑦0 $2 \cdot x^{0} + 5 \cdot y^{0}$

244.

8·𝑚0−4·𝑛0 $8 \cdot m^{0} - 4 \cdot n^{0}$

Einfaldið stæður með reglunni um kvóta í veldi

Einfaldið í eftirfarandi æfingum.

245.

(32)₅ ${(\frac{3}{2})}^{5}$

246.

(45)₃ ${(\frac{4}{5})}^{3}$

247.

(𝑚6)₃ ${(\frac{m}{6})}^{3}$

248.

(𝑝2)₅ ${(\frac{p}{2})}^{5}$

249.

(𝑥𝑦)₁₀ ${(\frac{x}{y})}^{10}$

250.

(𝑎𝑏)₈ ${(\frac{a}{b})}^{8}$

251.

(𝑎3⁢𝑏)₂ ${(\frac{a}{3 b})}^{2}$

252.

(2⁢𝑥𝑦)₄ ${(\frac{2 x}{y})}^{4}$

Einfaldið stæður með því að beita nokkrum reglum

Einfaldið í eftirfarandi æfingum.

253.

(𝑥2)₄𝑥5 $\frac{{(x^{2})}^{4}}{x^{5}}$

254.

(𝑦4)₃𝑦7 $\frac{{(y^{4})}^{3}}{y^{7}}$

255.

(𝑢3)₄𝑢10 $\frac{{(u^{3})}^{4}}{u^{10}}$

256.

(𝑦2)₅𝑦6 $\frac{{(y^{2})}^{5}}{y^{6}}$

257.

𝑦8(𝑦5)₂ $\frac{y^{8}}{{(y^{5})}^{2}}$

258.

𝑝11(𝑝5)₃ $\frac{p^{11}}{{(p^{5})}^{3}}$

259.

𝑟5𝑟4·𝑟 $\frac{r^{5}}{r^{4} \cdot r}$

260.

𝑎3·𝑎4𝑎7 $\frac{a^{3} \cdot a^{4}}{a^{7}}$

261.

(𝑥2𝑥8)₃ ${(\frac{x^{2}}{x^{8}})}^{3}$

262.

(𝑢𝑢10)₂ ${(\frac{u}{u^{10}})}^{2}$

263.

(𝑎4·𝑎6𝑎3)₂ ${(\frac{a^{4} \cdot a^{6}}{a^{3}})}^{2}$

264.

(𝑥3·𝑥8𝑥4)₃ ${(\frac{x^{3} \cdot x^{8}}{x^{4}})}^{3}$

265.

(𝑦3)₅(𝑦4)₃ $\frac{{(y^{3})}^{5}}{{(y^{4})}^{3}}$

266.

(𝑧6)₂(𝑧2)₄ $\frac{{(z^{6})}^{2}}{{(z^{2})}^{4}}$

267.

(𝑥3)₆(𝑥4)₇ $\frac{{(x^{3})}^{6}}{{(x^{4})}^{7}}$

268.

(𝑥4)₈(𝑥5)₇ $\frac{{(x^{4})}^{8}}{{(x^{5})}^{7}}$

269.

(2⁢𝑟35⁢𝑠)₄ ${(\frac{2 r^{3}}{5 s})}^{4}$

270.

(3⁢𝑚24⁢𝑛)₃ ${(\frac{3 m^{2}}{4 n})}^{3}$

271.

(3⁢𝑦2·𝑦5𝑦15·𝑦8)₀ ${(\frac{3 y^{2} \cdot y^{5}}{y^{15} \cdot y^{8}})}^{0}$

272.

(15⁢𝑧4·𝑧90.3⁢𝑧2)₀ ${(\frac{15 z^{4} \cdot z^{9}}{0.3 z^{2}})}^{0}$

273.

(𝑟2)₅(𝑟4)₂(𝑟3)₇ $\frac{{(r^{2})}^{5} {(r^{4})}^{2}}{{(r^{3})}^{7}}$

274.

(𝑝4)₂(𝑝3)₅(𝑝2)₉ $\frac{{(p^{4})}^{2} {(p^{3})}^{5}}{{(p^{2})}^{9}}$

275.

(3⁢𝑥4)₃(2⁢𝑥3)₂(6⁢𝑥5)₂ $\frac{{(3 x^{4})}^{3} {(2 x^{3})}^{2}}{{(6 x^{5})}^{2}}$

276.

(−2⁢𝑦3)₄(3⁢𝑦4)₂(−6⁢𝑦3)₂ $\frac{{(−2 y^{3})}^{4} {(3 y^{4})}^{2}}{{(−6 y^{3})}^{2}}$

Deila einliðum

Deilið einliðunum í eftirfarandi æfingum.

277.

48⁢𝑏8÷6⁢𝑏2 $48 b^{8} \div 6 b^{2}$

278.

42⁢𝑎14÷6⁢𝑎2 $42 a^{14} \div 6 a^{2}$

279.

36⁢𝑥3÷(−2⁢𝑥9) $36 x^{3} \div (−2 x^{9})$

280.

20⁢𝑢8÷(−4⁢𝑢6) $20 u^{8} \div (−4 u^{6})$

281.

18⁢𝑥39⁢𝑥2 $\frac{18 x^{3}}{9 x^{2}}$

282.

36⁢𝑦94⁢𝑦7 $\frac{36 y^{9}}{4 y^{7}}$

283.

−35⁢𝑥7−42⁢𝑥13 $\frac{−35 x^{7}}{−42 x^{13}}$

284.

18⁢𝑥5−27⁢𝑥9 $\frac{18 x^{5}}{−27 x^{9}}$

285.

18⁢𝑟5⁢𝑠3⁢𝑟3⁢𝑠9 $\frac{18 r^{5} s}{3 r^{3} s^{9}}$

286.

24⁢𝑝7⁢𝑞6⁢𝑝2⁢𝑞5 $\frac{24 p^{7} q}{6 p^{2} q^{5}}$

287.

8⁢𝑚⁢𝑛1064⁢𝑚⁢𝑛4 $\frac{8 m n^{10}}{64 m n^{4}}$

288.

10⁢𝑎4⁢𝑏50⁢𝑎2⁢𝑏6 $\frac{10 a^{4} b}{50 a^{2} b^{6}}$

289.

−12⁢𝑥4⁢𝑦915⁢𝑥6⁢𝑦3 $\frac{−12 x^{4} y^{9}}{15 x^{6} y^{3}}$

290.

48⁢𝑥11⁢𝑦9⁢𝑧336⁢𝑥6⁢𝑦8⁢𝑧5 $\frac{48 x^{11} y^{9} z^{3}}{36 x^{6} y^{8} z^{5}}$

291.

64⁢𝑥5⁢𝑦9⁢𝑧748⁢𝑥7⁢𝑦12⁢𝑧6 $\frac{64 x^{5} y^{9} z^{7}}{48 x^{7} y^{12} z^{6}}$

292.

(10⁢𝑢2⁢𝑣)⁢(4⁢𝑢3⁢𝑣6)₅⁢𝑢9⁢𝑣2 $\frac{(10 u^{2} v) (4 u^{3} v^{6})}{5 u^{9} v^{2}}$

293.

(6⁢𝑚2⁢𝑛)⁢(5⁢𝑚4⁢𝑛3)₃⁢𝑚10⁢𝑛2 $\frac{(6 m^{2} n) (5 m^{4} n^{3})}{3 m^{10} n^{2}}$

294.

(6⁢𝑎4⁢𝑏3)⁢(4⁢𝑎⁢𝑏5)(12⁢𝑎8⁢𝑏)⁢(𝑎3⁢𝑏) $\frac{(6 a^{4} b^{3}) (4 a b^{5})}{(12 a^{8} b) (a^{3} b)}$

295.

(4⁢𝑢5⁢𝑣4)⁢(15⁢𝑢8⁢𝑣)(12⁢𝑢3⁢𝑣)⁢(𝑢6⁢𝑣) $\frac{(4 u^{5} v^{4}) (15 u^{8} v)}{(12 u^{3} v) (u^{6} v)}$

Blandaðar æfingar

296.

ⓐ 24⁢𝑎5 +2⁢𝑎5 $24 a^{5} + 2 a^{5}$
ⓑ 24⁢𝑎5 −2⁢𝑎5 $24 a^{5} - 2 a^{5}$
ⓓ 24⁢𝑎5 ÷2⁢𝑎5 $24 a^{5} \div 2 a^{5}$

297.

ⓐ 15⁢𝑛10 +3⁢𝑛10 $15 n^{10} + 3 n^{10}$
ⓑ 15⁢𝑛10 −3⁢𝑛10 $15 n^{10} - 3 n^{10}$
ⓓ 15⁢𝑛10 ÷3⁢𝑛10 $15 n^{10} \div 3 n^{10}$

298.

ⓐ 𝑝4 ⋅𝑝6 $p^{4} \cdot p^{6}$
ⓑ (𝑝4)₆ ${(p^{4})}^{6}$

299.

ⓐ 𝑞5 ⋅𝑞3 $q^{5} \cdot q^{3}$
ⓑ (𝑞5)₃ ${(q^{5})}^{3}$

300.

ⓐ 𝑦3𝑦 $\frac{y^{3}}{y}$
ⓑ 𝑦𝑦3 $\frac{y}{y^{3}}$

301.

ⓐ 𝑧6𝑧5 $\frac{z^{6}}{z^{5}}$
ⓑ 𝑧5𝑧6 $\frac{z^{5}}{z^{6}}$

302.

(8⁢𝑥5)⁢(9⁢𝑥) ÷6⁢𝑥3 $(8 x^{5}) (9 x) \div 6 x^{3}$

303.

(4⁢𝑦)⁢(12⁢𝑦7) ÷8⁢𝑦2 $(4 y) (12 y^{7}) \div 8 y^{2}$

304.

27⁢𝑎73⁢𝑎3 +54⁢𝑎99⁢𝑎5 $\frac{27 a^{7}}{3 a^{3}} + \frac{54 a^{9}}{9 a^{5}}$

305.

32⁢𝑐114⁢𝑐5 +42⁢𝑐96⁢𝑐3 $\frac{32 c^{11}}{4 c^{5}} + \frac{42 c^{9}}{6 c^{3}}$

306.

32⁢𝑦58⁢𝑦2 −60⁢𝑦105⁢𝑦7 $\frac{32 y^{5}}{8 y^{2}} - \frac{60 y^{10}}{5 y^{7}}$

307.

48⁢𝑥66⁢𝑥4 −35⁢𝑥97⁢𝑥7 $\frac{48 x^{6}}{6 x^{4}} - \frac{35 x^{9}}{7 x^{7}}$

308.

63⁢𝑟6⁢𝑠39⁢𝑟4⁢𝑠2 −72⁢𝑟2⁢𝑠26⁢𝑠 $\frac{63 r^{6} s^{3}}{9 r^{4} s^{2}} - \frac{72 r^{2} s^{2}}{6 s}$

309.

56⁢𝑦4⁢𝑧57⁢𝑦3⁢𝑧3 −45⁢𝑦2⁢𝑧25⁢𝑦 $\frac{56 y^{4} z^{5}}{7 y^{3} z^{3}} - \frac{45 y^{2} z^{2}}{5 y}$

Stærðfræði daglegs lífs

310.

Minni Eitt megabæti er um það bil $10^{6}$ bæti. Eitt gígabæti er um það bil $10^{9}$ bæti. Hve mörg megabæti eru í einu gígabæti?

311.

Minni Eitt megabæti er um það bil $10^{6}$ bæti. Eitt terabæti er um það bil $10^{12}$ bæti. Hve mörg megabæti eru í einu terabæti?

Ritunaræfingar

312.

Vic telur að kvótinn $\frac{x^{20}}{x^{4}}$ einfaldist í $x^{5} .$ Hvað er rangt við röksemdafærslu hans?

313.

Mai einfaldar kvótann $\frac{y^{3}}{y}$ með því að skrifa $\frac{y^{3}}{y} = 3 .$ Hvað er rangt við röksemdafærslu hennar?

314.

Þegar Dimple einfaldaði $- 3^{0}$ og ${(−3)}^{0}$ fékk hún sama svar. Útskýrið hvernig rétt beiting forgangsröðar reikniaðgerða gefur ólík svör.

315.

Roxie telur að $n^{0}$ einfaldist í $0 .$ Hvað mynduð þið segja til að sannfæra Roxie um að hún hafi rangt fyrir sér?

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið æfingunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum kaflans.

ⓑ Á kvarðanum 1–10, hvernig mynduð þið meta tök ykkar á þessum kafla með hliðsjón af svörunum á gátlistanum? Hvernig getið þið bætt ykkur?