1111 Gröf

11.3 Teiknið graf með skurðpunktum við ása

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Greint skurðpunkta við ása á grafi
Fundið skurðpunkta við ása út frá jöfnu línu
Teiknað graf línu með skurðpunktum við ása
Valið hentugustu aðferðina til að teikna graf línu

Greinið skurðpunkta við ása á grafi

Sérhver línuleg jafna á sér eina ákveðna línu sem sýnir allar lausnir jöfnunnar. Þegar graf línu er teiknað með því að merkja punkta má hver og einn velja hvaða þrjá punkta sem er. Tveir einstaklingar sem teikna sömu línu gætu því notað mismunandi þrenndir punkta.

Við fyrstu sýn gætu línurnar tvær virst ólíkar vegna þess að mismunandi punktar væru merktir á þær. Ef öll vinna er rétt unnin verða þær þó nákvæmlega sama línan. Til að ganga úr skugga um það má skoða hvar línan sker ásana. Hver slíkur punktur kallast skurðpunktur línunnar við ás.

Skoðum graf línanna sem sýndar eru á mynd 11.14 .

Graf á xy-hnitaplani. x- og y-ás ná báðir frá −7 til 7. Lína liggur um tvo merkta punkta, röðuðu tvenndina (0, 6) og röðuðu tvenndina (3, 0).

Takið fyrst eftir hvar hver þessara lína sker x-ásinn:

Mynd:	Línan sker x-ásinn í:	Röðuð tvennd punktsins
42	3	(3,0)
43	4	(4,0)
44	5	(5,0)
45	0	(0,0)

Sjáið þið eitthvert mynstur?

Í hverri röð er y- hnit punktsins þar sem línan sker x- ásinn núll. Punkturinn þar sem línan sker x- ásinn er á forminu $(a, 0)$ og kallast skurðpunktur línunnar við x- ás. Skurðpunkturinn við x-ás fæst þegar y er núll.

Skoðum nú punktana þar sem þessar línur skera y-ásinn.

Mynd:	Línan sker y-ásinn í:	Röðuð tvennd punktsins
42	6	(0,6)
43	-3	(0,-3)
44	-5	(0,-5)
45	0	(0,0)

Dæmi 11.23

Finnið skurðpunktana við $x - og y -ása$ á hverri línu:

ⓐ 𝑥 + 2 ⁢ 𝑦 = 4 x + 2 ⁢ y = 4
ⓑ 3 ⁢ 𝑥 − 𝑦 = 6 3 ⁢ x − y = 6
ⓒ 𝑥 + 𝑦 = − 5 x + y = −5

Lausn

ⓐ
Grafið sker x-ásinn í punktinum (4, 0).	Skurðpunkturinn við x-ás er (4, 0).
Grafið sker y-ásinn í punktinum (0, 2).	Skurðpunkturinn við y-ás er (0, 2).

ⓑ
Grafið sker x-ásinn í punktinum (2, 0).	Skurðpunkturinn við x-ás er (2, 0)
Grafið sker y-ásinn í punktinum (0, −6).	Skurðpunkturinn við y-ás er (0, −6).

ⓒ
Grafið sker x-ásinn í punktinum (−5, 0).	Skurðpunkturinn við x-ás er (−5, 0).
Grafið sker y-ásinn í punktinum (0, −5).	Skurðpunkturinn við y-ás er (0, −5).

Finnið skurðpunktana við ása út frá jöfnu línu

Þar sem skurðpunkturinn við $x -ás$ fæst þegar $y$ er núll og skurðpunkturinn við $y -ás$ fæst þegar $x$ er núll getum við fundið skurðpunkta línu við ása út frá jöfnu hennar. Til að finna skurðpunktinn við $x -ás$ látum við $y = 0$ og leysum með tilliti til $x .$ Skurðpunktinn við $y -ás,$ þar sem $x = 0$ , finnum við með því að leysa með tilliti til $y .$

Finnið skurðpunktana við x- og y-ás út frá jöfnu línu

Notið jöfnuna til að finna:

skurðpunkt línunnar við x-ás; látið $y = 0$ og leysið með tilliti til x.
skurðpunkt línunnar við y-ás; látið $x = 0$ og leysið með tilliti til y.

x	y
	0
0

Dæmi 11.24

Finnið skurðpunkta línunnar $2 x + y = 6$

Lausn

Við fyllum út mynd 11.15 .

Tafla sýnir hvernig finna má skurðpunktana við x- og y-ás fyrir jöfnuna 2x + y = 6 með því að setja 0 inn fyrir y til að finna skurðpunktinn við x-ás og 0 inn fyrir x til að finna skurðpunktinn við y-ás. — **Mynd 11.15.** Mynd 11.15

Til að finna skurðpunktinn við x-ás látum við $y = 0$ :


Setjið 0 inn fyrir y.
Leggið saman.
Deilið með 2.
Skurðpunkturinn við x-ás er (3, 0).

Til að finna skurðpunktinn við y-ás látum við $x = 0$ :


Setjið 0 inn fyrir x.
Margfaldið.
Leggið saman.
Skurðpunkturinn við y-ás er (0, 6).

Tveggja dálka og fjögurra raða tafla. Fyrsta röðin sýnir jöfnu en næstu raðir sýna röðuðu tvenndirnar (3, 0) og (0, 6). — **Mynd 11.16.** Mynd 11.16

Skurðpunktarnir eru $(3, 0)$ og $(0, 6)$ .

Dæmi 11.25

Finnið skurðpunkta línunnar $4 x −3 y = 12 .$

Lausn

Til að finna skurðpunktinn við $x -ás$ látum við $y = 0 .$

	4 ⁢ 𝑥 − 3 ⁢ 𝑦 = 1 2 4 ⁢ x − 3 ⁢ y = 12
Setjið 0 inn fyrir y .	4 ⁢ 𝑥 − 3 · 0 = 1 2 4 ⁢ x − 3 · 0 = 12
Margfaldið.	4 ⁢ 𝑥 − 0 = 1 2 4 ⁢ x − 0 = 12
Dragið frá.	4 ⁢ 𝑥 = 1 2 4 ⁢ x = 12
Deilið með 4.	𝑥 = 3 x = 3

Skurðpunkturinn við $x -ás$ er $(3, 0) .$

Til að finna skurðpunktinn við $y -ás,$ látum við $x = 0 .$

	4 ⁢ 𝑥 − 3 ⁢ 𝑦 = 1 2 4 ⁢ x − 3 ⁢ y = 12
Setjið 0 inn fyrir x .	4 · 0 − 3 ⁢ 𝑦 = 1 2 4 · 0 − 3 ⁢ y = 12
Margfaldið.	0 − 3 ⁢ 𝑦 = 1 2 0 − 3 ⁢ y = 12
Einfaldið.	− 3 ⁢ 𝑦 = 1 2 −3 ⁢ y = 12
Deilið með −3.	𝑦 = − 4 y = −4

Skurðpunkturinn við $y -ás$ er $(0, −4).$

Skurðpunktarnir eru $(−3, 0)$ og $(0, −4) .$

4 ⁢ 𝑥 ⁢ − 3 ⁢ 𝑦 = 1 2 4 ⁢ x ⁢ −3 ⁢ y = 12
3 3	0 0
0 0	− 4 −4
0 0	− 4 −4

Teiknið graf línu með skurðpunktum við ása

Þegar graf línulegrar jöfnu er teiknað með því að merkja punkta má nota skurðpunktana við ása sem tvo af punktunum þremur. Finnið skurðpunktana tvo og síðan þriðja punktinn til að tryggja nákvæmni og dragið línuna. Þetta er oft fljótlegasta leiðin til að teikna graf línu.

Dæmi 11.26

Teiknið graf $- x + 2 y = 6$ með skurðpunktum við ása.

Lausn

Finnið fyrst skurðpunktinn við $x -ás .$ Látið $y = 0,$

−𝑥+2⁢𝑦=6−𝑥+2⁢(0)=6−𝑥=6𝑥=−6 $\begin{matrix} - x + 2 y = 6 \\ - x + 2 (0) = 6 \\ - x = 6 \\ x = −6 \end{matrix}$

Skurðpunkturinn við $x -ás$ er $(- 6, 0).$

Finnið nú skurðpunktinn við $y -ás .$ Látið $x = 0 .$

−𝑥+2⁢𝑦=6−0+2⁢𝑦=62⁢𝑦=6𝑦=3 $\begin{matrix} - x + 2 y = 6 \\ −0 + 2 y = 6 \\ 2 y = 6 \\ y = 3 \end{matrix}$

Skurðpunkturinn við $y -ás$ er $(0, 3).$

Finnið þriðja punktinn. Við notum $x = 2,$

−𝑥+2⁢𝑦=6−2+2⁢𝑦=62⁢𝑦=8𝑦=4 $\begin{matrix} - x + 2 y = 6 \\ −2 + 2 y = 6 \\ 2 y = 8 \\ y = 4 \end{matrix}$

Þriðja lausn jöfnunnar er $(2, 4).$

Skráið punktana þrjá í töflu og merkið þá síðan inn á graf.

− 𝑥 + 2 ⁢ 𝑦 = 6 − x + 2 ⁢ y = 6
− 6 −6	0 0	( − 6 , 0 ) ( −6 , 0 )
0 0	3 3	( 0 , 3 ) ( 0 , 3 )
2 2	4 4	( 2 , 4 ) ( 2 , 4 )
2 2	4 4	( 2 , 4 ) ( 2 , 4 )

Graf á xy-hnitaplani þar sem x- og y-ás ná frá −10 til 10. Þrír merktir punktar eru sýndir: (−6, 0), (0, 3) og (2, 4).

Liggja punktarnir á sömu línu? Já, dragið því línu í gegnum þá.

Graf á xy-hnitaplani þar sem x- og y-ás ná frá −10 til 10. Þrír merktir punktar, (−6, 0), (0, 3) og (2, 4), liggja á sömu línu.

Dæmi 11.27

Teiknið graf $4 x −3 y = 12$ með skurðpunktum við ása.

Lausn

Finnið skurðpunktana og þriðja punktinn.

Við skráum punktana og sýnum grafið.

4 ⁢ 𝑥 ⁢ − 3 ⁢ 𝑦 = 1 2 4 ⁢ x ⁢ −3 ⁢ y = 12
3 3	0 0	( 3 , 0 ) ( 3 , 0 )
0 0	− 4 −4	( 0 , − 4 ) ( 0 , −4 )
6 6	4 4	( 6 , 4 ) ( 6 , 4 )
6 6	4 4	( 6 , 4 ) ( 6 , 4 )

Graf á xy-hnitaplani þar sem báðir ásar ná frá −7 til 7. Lína liggur um þrjá ómerkta punkta: (0, −4), (3, 0) og (6, 4).

Dæmi 11.28

Teiknið graf $y = 5 x$ með skurðpunktum við ása.

Lausn

Þessi lína hefur aðeins einn skurðpunkt við ása. Hann er punkturinn $(0, 0) .$

Til að tryggja nákvæmni þurfum við að merkja þrjá punkta. Þar sem skurðpunktarnir við ásana eru sami punkturinn þurfum við tvo punkta til viðbótar til að teikna graf línunnar. Eins og áður getum við valið gildi fyrir $x,$ en hér látum við $x$ vera $1$ og $−1 .$

Myndin sýnir tvær innsetningar í jöfnuna y = 5x. Í fyrri innsetningunni er x = 1 og jafnan y = 5(1) gefur y = 5 og punktinn (1, 5). Í þeirri síðari er x = −1 og jafnan y = 5(−1) gefur y = −5 og punktinn (−1, −5).

Skráið punktana í töflu.

𝑦 = 5 ⁢ 𝑥 y = 5 ⁢ x
0 0	0 0	( 0 , 0 ) ( 0 , 0 )
1 1	5 5	( 1 , 5 ) ( 1 , 5 )
− 1 −1	− 5 −5	( − 1 , − 5 ) ( −1 , −5 )
− 1 −1	− 5 −5	( − 1 , − 5 ) ( −1 , −5 )

Merkið punktana þrjá, athugið að þeir liggi á sömu línu og dragið línuna.

Graf á xy-hnitaplani þar sem x- og y-ás ná frá −10 til 10. Lína liggur um þrjá merkta punkta: (−1, −5), (0, 0) og (1, 5).

Veljið hentugustu aðferðina til að teikna graf línu

Þótt hægt sé að teikna graf sérhverrar línulegrar jöfnu með því að merkja punkta er það ekki alltaf hentugasta aðferðin. Taflan sýnir sex jöfnur úr þessum kafla ásamt aðferðunum sem við notuðum til að teikna gröf þeirra.

	Jafna	Aðferð
#1	𝑦 = 2 ⁢ 𝑥 + 1 y = 2 ⁢ x + 1	Punktaaðferð
#2	𝑦 = 1 2 ⁢ 𝑥 + 3 y = 1/2 ⁢ x + 3	Punktaaðferð
#3	𝑥 = − 7 x = −7	Lóðrétt lína
#4	𝑦 = 4 y = 4	Lárétt lína
#5	2 ⁢ 𝑥 + 𝑦 = 6 2 ⁢ x + y = 6	Skurðpunktar við ása
#6	4 ⁢ 𝑥 − 3 ⁢ 𝑦 = 1 2 4 ⁢ x − 3 ⁢ y = 12	Skurðpunktar við ása

Hvað í gerð jöfnunnar getur hjálpað okkur að velja hentugustu aðferðina til að teikna graf línunnar?

Takið eftir að í jöfnum nr. 1 og 2 er y einangrað öðrum megin í jöfnunni og stuðull þess er 1. Við fundum punkta með því að setja gildi fyrir x inn í hægri hlið jöfnunnar og einfalda síðan til að fá samsvarandi y-gildi.

Jöfnur nr. 3 og 4 hafa hvor um sig aðeins eina breytu. Munið að í slíkri jöfnu er gildi þessarar einu breytu fast og óháð gildi hinnar breytunnar. Gröf jafna af þessu tagi eru lóðréttar eða láréttar línur.

Í jöfnum nr. 5 og 6 eru bæði x og y sömu megin í jöfnunni. Þessar tvær jöfnur eru á forminu $A x + B y = C$ . Við settum $y = 0$ og $x = 0$ til að finna skurðpunktana við x- og y-ás og fundum síðan þriðja punktinn með því að velja gildi fyrir x eða y.

Þetta gefur okkur eftirfarandi leiðbeiningar um val á hentugustu aðferðinni til að teikna graf línu.

Dæmi 11.29

Greinið hentugustu aðferðina til að teikna graf hverrar línu:

ⓐ 𝑦 =−3 $y = −3$
ⓑ 4⁢𝑥⁢−6⁢𝑦 =12 $4 x −6 y = 12$
ⓒ 𝑥 =2 $x = 2$
ⓓ 𝑦 =25⁢𝑥⁢−1 $y = \frac{2}{5} x −1$

Lausn

ⓐ 𝑦=−3 $y = −3$

Þessi jafna hefur aðeins eina breytu, $y .$ Graf hennar er lárétt lína sem sker $y -ás$ í $−3 .$

ⓑ 4⁢𝑥⁢−6⁢𝑦=12 $4 x −6 y = 12$

Þessi jafna er á forminu $A x + B y = C .$ Finnið skurðpunktana við ása og einn punkt til viðbótar.

Jafnan hefur aðeins eina breytu, $x .$ Grafið er lóðrétt lína sem sker $x -ás$ í $2 .$

ⓓ 𝑦=25⁢𝑥⁢−1 $y = \frac{2}{5} x −1$

Þar sem $y$ er einangrað vinstra megin í jöfnunni er auðveldast að teikna graf línunnar með því að merkja þrjá punkta.

Verkefni úr hluta 11.3

Æfingin skapar meistarann

Greinið skurðpunkta við ása á grafi

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna skurðpunktana við $x -$ og $y -$ ás.

117.

Graf á xy-hnitaplani þar sem ásarnir ná frá −10 til 10. Lína liggur um punktana (0, 3) og (3, 0).

118.

Graf á xy-hnitaplani þar sem x- og y-ás ná frá −10 til 10. Lína liggur um punktana (0, 2) og (2, 0).

119.

Graf á xy-hnitaplani þar sem x- og y-ás ná frá −10 til 10. Lína liggur um punktana (0, −5) og (5, 0).

120.

Graf á xy-hnitaplani þar sem x- og y-ás ná frá −10 til 10. Lína liggur um punktana (0, −1) og (1, 0).

121.

122.

Graf á xy-hnitaplani þar sem x- og y-ás ná frá −10 til 10. Lína liggur um punktana (0, −3) og (−3, 0).

123.

124.

125.

Graf á xy-hnitaplani þar sem x- og y-ás ná frá −7 til 7. Lína liggur um punktana (0, 0) og (4, 2).

126.

Graf á xy-hnitaplani þar sem x- og y-ás ná frá −10 til 10. Lína liggur um punktana (0, 0) og (1, 1).

Finnið skurðpunktana við $x$ - og $y$ -ás út frá jöfnu línu

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna skurðpunktana við ása.

127.

𝑥+𝑦=4 $x + y = 4$

128.

𝑥+𝑦=3 $x + y = 3$

129.

𝑥+𝑦=−2 $x + y = −2$

130.

𝑥+𝑦=−5 $x + y = −5$

131.

𝑥−𝑦=5 $x - y = 5$

132.

𝑥−𝑦=1 $x - y = 1$

133.

𝑥−𝑦=−3 $x - y = −3$

134.

𝑥−𝑦=−4 $x - y = −4$

135.

𝑥+2⁢𝑦=8 $x + 2 y = 8$

136.

𝑥+2⁢𝑦=10 $x + 2 y = 10$

137.

3⁢𝑥+𝑦=6 $3 x + y = 6$

138.

3⁢𝑥+𝑦=9 $3 x + y = 9$

139.

𝑥⁢−3⁢𝑦=12 $x −3 y = 12$

140.

𝑥⁢−2⁢𝑦=8 $x −2 y = 8$

141.

4⁢𝑥−𝑦=8 $4 x - y = 8$

142.

5⁢𝑥−𝑦=5 $5 x - y = 5$

143.

2⁢𝑥+5⁢𝑦=10 $2 x + 5 y = 10$

144.

2⁢𝑥+3⁢𝑦=6 $2 x + 3 y = 6$

145.

3⁢𝑥⁢−2⁢𝑦=12 $3 x −2 y = 12$

146.

3⁢𝑥⁢−5⁢𝑦=30 $3 x −5 y = 30$

147.

𝑦=13⁢𝑥⁢−1 $y = \frac{1}{3} x −1$

148.

𝑦=14⁢𝑥⁢−1 $y = \frac{1}{4} x −1$

149.

𝑦=15⁢𝑥+2 $y = \frac{1}{5} x + 2$

150.

𝑦=13⁢𝑥+4 $y = \frac{1}{3} x + 4$

151.

𝑦=3⁢𝑥 $y = 3 x$

152.

𝑦=−2⁢𝑥 $y = −2 x$

153.

𝑦=−4⁢𝑥 $y = −4 x$

154.

𝑦=5⁢𝑥 $y = 5 x$

Teiknið graf línu með skurðpunktum við ása

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið teikna graf hverrar jöfnu með skurðpunktum við ása.

155.

−𝑥+5⁢𝑦=10 $- x + 5 y = 10$

156.

−𝑥+4⁢𝑦=8 $- x + 4 y = 8$

157.

𝑥+2⁢𝑦=4 $x + 2 y = 4$

158.

𝑥+2⁢𝑦=6 $x + 2 y = 6$

159.

𝑥+𝑦=2 $x + y = 2$

160.

𝑥+𝑦=5 $x + y = 5$

161.

𝑥+𝑦=3 $x + y = 3$

162.

𝑥+𝑦=−1 $x + y = −1$

163.

𝑥−𝑦=1 $x - y = 1$

164.

𝑥−𝑦=2 $x - y = 2$

165.

𝑥−𝑦=−4 $x - y = −4$

166.

𝑥−𝑦=−3 $x - y = −3$

167.

4⁢𝑥+𝑦=4 $4 x + y = 4$

168.

3⁢𝑥+𝑦=3 $3 x + y = 3$

169.

3⁢𝑥−𝑦=−6 $3 x - y = −6$

170.

2⁢𝑥−𝑦=−8 $2 x - y = −8$

171.

2⁢𝑥+4⁢𝑦=12 $2 x + 4 y = 12$

172.

3⁢𝑥+2⁢𝑦=12 $3 x + 2 y = 12$

173.

3⁢𝑥⁢−2⁢𝑦=6 $3 x −2 y = 6$

174.

5⁢𝑥⁢−2⁢𝑦=10 $5 x −2 y = 10$

175.

2⁢𝑥⁢−5⁢𝑦=−20 $2 x −5 y = −20$

176.

3⁢𝑥⁢−4⁢𝑦=−12 $3 x −4 y = −12$

177.

𝑦=−2⁢𝑥 $y = −2 x$

178.

𝑦=−4⁢𝑥 $y = −4 x$

179.

𝑦=𝑥 $y = x$

180.

𝑦=3⁢𝑥 $y = 3 x$

Veljið hentugustu aðferðina til að teikna graf línu

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið greina hentugustu aðferðina til að teikna graf hverrar línu.

181.

𝑥=2 $x = 2$

182.

𝑦=4 $y = 4$

183.

𝑦=5 $y = 5$

184.

𝑥=−3 $x = −3$

185.

𝑦=−3⁢𝑥+4 $y = −3 x + 4$

186.

𝑦=−5⁢𝑥+2 $y = −5 x + 2$

187.

𝑥−𝑦=5 $x - y = 5$

188.

𝑥−𝑦=1 $x - y = 1$

189.

𝑦=23⁢𝑥⁢−1 $y = \frac{2}{3} x −1$

190.

𝑦=45⁢𝑥⁢−3 $y = \frac{4}{5} x −3$

191.

𝑦=−3 $y = −3$

192.

𝑦=−1 $y = −1$

193.

3⁢𝑥⁢−2⁢𝑦=−12 $3 x −2 y = −12$

194.

2⁢𝑥⁢−5⁢𝑦=−10 $2 x −5 y = −10$

195.

𝑦=−14⁢𝑥+3 $y = - \frac{1}{4} x + 3$

196.

𝑦=−13⁢𝑥+5 $y = - \frac{1}{3} x + 5$

Stærðfræði daglegs lífs

197.

Bílferð: Damien ekur frá Chicago til Denver, sem er $1,000$ mílna leið. $x -ás$ á grafinu hér á eftir sýnir tímann í klukkustundum frá því Damien lagði af stað frá Chicago. $y -ás$ sýnir vegalengdina sem hann á eftir að aka.

Graf á xy-hnitaplani. Lína liggur um merkið punktana (0, 1000) og (15, 0).

ⓐ Finnið skurðpunktana við $x -$ og $y -$ ás

ⓑ Útskýrið hvað skurðpunktarnir við $x -$ og $y -$ ás segja til um í ferðinni.

198.

Bílferð: Ozzie fyllti eldsneytisgeymi vörubílsins síns og lagði af stað í bílferð. $x -ás$ á grafinu sýnir fjölda mílna sem Ozzie ók eftir að hann fyllti geyminn. $y -ás$ sýnir fjölda gallona af eldsneyti í geymi vörubílsins.

Graf á xy-hnitaplani. Lína liggur um merkið punktana (0, 16) og (300, 0).

ⓐ Finnið skurðpunktana við $x -$ og $y -$ ás.

ⓑ Útskýrið hvað skurðpunktarnir við $x -$ og $y -$ ás segja til um í ferðinni.

Ritunarverkefni

199.

Hvernig finnið þið skurðpunkt grafsins við $x -ás$ fyrir jöfnuna $3 x −2 y = 6 ?$

200.

Hvernig finnið þið skurðpunkt grafsins við $y -ás$ fyrir jöfnuna $5 x - y = 10 ?$

201.

Kjósið þið fremur punktaaðferðina eða aðferðina með skurðpunktum við ása til að teikna graf jöfnunnar $4 x + y = −4$ ? Hvers vegna?

202.

Kjósið þið fremur punktaaðferðina eða aðferðina með skurðpunktum við ása til að teikna graf jöfnunnar $y = \frac{2}{3} x −2$ ? Hvers vegna?

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta tök ykkar á markmiðum hlutans.

ⓑ Hvað segir gátlistinn ykkur um tök ykkar á efni þessa hluta? Hvað ætlið þið að gera til að bæta þau?