99 Stærðfræðilíkön og rúmfræði

9.7 Einangra tiltekna breytu í formúlu

Námsmarkmið

Að loknum þessum hluta eigið þið að geta:

Notað formúluna fyrir vegalengd, hraða og tíma
Einangrað tiltekna breytu í formúlu

Notið formúluna fyrir vegalengd, hraða og tíma

Ein formúla sem þið notið oft í algebru og daglegu lífi er formúlan fyrir vegalengd hlutar sem hreyfist með jöfnum hraða. Grunnhugmyndin er ykkur líklega þegar kunn. Vitið þið hvaða vegalengd þið farið ef þið akið með jöfnum hraða, $60$ mílur á klukkustund, í $2$ klukkustundir? (Þetta gæti gerst ef hraðastillir bílsins er notaður á þjóðvegi.) Ef svarið var $120$ mílur kunnið þið þegar að nota formúluna!

Útreikningur vegalengdarinnar gæti litið svona út:

\begin{matrix} vegalengd = (\frac{60 mílur}{1 klukkustund}) (2 klukkustundir) \\ vegalengd = 120 mílur \end{matrix}

Almennt tengjast vegalengd, hraði og tími með formúlunni

vegalengd = hra i t mi

Takið eftir að einingarnar sem við notuðum hér fyrir ofan fyrir hraðann voru mílur á klukkustund, sem má rita sem hlutfallið $\frac{m i l e s}{h o u r} .$ Þegar við margfölduðum síðan með tímanum í klukkustundum styttist sameiginlega einingin „klukkustund“ út. Svarið var í mílum.

Dæmi 9.57

Jamal hjólar á jöfnum hraða, $12$ mílur á klukkustund, í $3 \frac{1}{2}$ klukkustundir. Hvaða vegalengd hefur hann farið?

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið. Þið getið útbúið litla töflu til að draga saman upplýsingarnar í dæminu.	𝑑 = ? d = ? 𝑟 = 1 2 m p h r = 12 mph 𝑡 = 3 1 2 ⁢ h o u r s t = 3 $\frac{1}{2}$ ⁢ hours
Skref 2. Ákveðið hvaða stærðar er leitað.	farin vegalengd
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu sem táknar hana.	látum d = vegalengd
Skref 4. Setjið upp. Skrifið viðeigandi formúlu fyrir aðstæðurnar. Setjið inn gefnar upplýsingar.	𝑑 = 𝑟 ⁢ 𝑡 d = r ⁢ t 𝑑 = 1 2 ⋅ 3 1 2 d = 12 ⋅ 3 $\frac{1}{2}$
Skref 5. Leysið jöfnuna.	𝑑 = 4 2 m i l e s d = 42 miles
Skref 6. Athugið: Er 42 mílna vegalengd raunhæf?
Skref 7. Svarið spurningunni með heilli setningu.	Jamal hjólaði 42 mílur.

Dæmi 9.58

Rey hyggst aka frá heimili sínu í San Diego til að heimsækja ömmu sína í Sacramento, en vegalengdin er $520$ mílur. Ef hann getur ekið með jöfnum hraða, $65$ mílur á klukkustund, hversu margar klukkustundir tekur ferðin?

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið. Dragið saman upplýsingarnar í dæminu.	𝑑 = 5 2 0 m i l e s d = 520 miles 𝑟 = 6 5 m p h r = 65 mph 𝑡 = ? t = ?
Skref 2. Ákveðið hvaða stærðar er leitað.	fjölda klukkustunda (tíma)
Skref 3. Gefið stærðinni heiti: Veljið breytu sem táknar hana.	látum t = tími
Skref 4. Setjið upp. Skrifið viðeigandi formúlu. Setjið inn gefnar upplýsingar.	𝑑 = 𝑟 ⁢ 𝑡 d = r ⁢ t 5 2 0 = 6 5 ⁢ 𝑡 520 = 65 ⁢ t
Skref 5. Leysið jöfnuna.	𝑡 = 8 t = 8
Skref 6. Athugið: Setjið tölurnar inn í formúluna og gangið úr skugga um að útkoman sé sönn fullyrðing. d = r ⁢ t520 = ? 65 ⋅ 8520 = 520> ⁢ ✓
Skref 7. Svarið spurningunni með heilli setningu. Við vitum að tímaeiningin verður klukkustundir því að mílum var deilt með mílum á klukkustund.	Ferð Reys tekur 8 klukkustundir.

Einangrið tiltekna breytu í formúlu

Í þessum kafla hafið þið kynnst nokkrum formúlum sem notaðar eru í rúmfræði. Formúlur eru einnig mjög gagnlegar í raunvísindum og félagsvísindum, meðal annars efnafræði, eðlisfræði, líffræði, sálfræði, félagsfræði og afbrotafræði. Heilbrigðisstarfsfólk notar einnig formúlur, jafnvel við jafn hversdagslegt verk og lyfjagjöf. Hið útbreidda töflureikniforrit Microsoft Excel™ byggir útreikninga sína á formúlum. Margir kennarar nota töflureikna og formúlur til að reikna einkunnir nemenda. Mikilvægt er að þekkja formúlur og geta umritað þær auðveldlega.

Í Sýnidæmi 9.57 og Sýnidæmi 9.58 notuðum við formúluna $d = r t .$ Hún gefur gildi $d$ þegar sett eru inn gildin á $r$ og $t .$ Í Sýnidæmi 9.58 þurftum við hins vegar að finna gildi $t .$ Við settum inn gildi á $d$ og $r$ og notuðum síðan algebru til að einangra $t .$ Ef þetta þyrfti að gera oft mætti spyrja hvers vegna ekki væri til formúla sem gæfi gildi $t$ þegar sett eru inn gildin á $d$ og $r .$ Slíka formúlu fáum við með því að umrita $d = r t$ þannig að einangraða breytan verði $t .$

Að einangra tiltekna breytu í formúlu merkir að breytan stendur ein og sér öðrum megin við jafnaðarmerkið með stuðulinn $1$ en allar aðrar breytur og fastar tölur standa hinum megin. Almennt köllum við þetta að einangra tiltekna breytu í jöfnu. Ferlið er einnig kallað lausn stafajöfnu . Útkoman er önnur formúla sem er aðeins mynduð úr breytum. Formúlan inniheldur bókstafi, eða bókstafabreytur .

Skoðum nokkur dæmi og byrjum á formúlunni fyrir vegalengd, hraða og tíma sem við notuðum hér fyrir ofan.

Dæmi 9.59

Einangrið 𝑡 t í formúlunni 𝑑 = 𝑟 ⁢ 𝑡 d = r ⁢ $d = r t$ t : $t :$

ⓐ þegar $d = 520$ og $r = 65$
ⓑ almennt.

Lausn

Við ritum lausnirnar hlið við hlið svo þið sjáið að sömu skref eru notuð þegar breyta er einangruð almennt í formúlu og þegar tölugildi eru sett inn.

	ⓐ þegar d = 520 og r = 65	ⓑ almennt
Skrifið formúluna.
Setjið inn öll gefin gildi.
Deilið til að einangra t .
Einfaldið.

Takið eftir að lausnin í ⓐ er sú sama og í Sýnidæmi 9.58. Við segjum að formúlan $t = \frac{d}{r}$ hafi verið umrituð þannig að einangraða breytan sé $t .$ Þessa gerð formúlunnar má nota þegar vegalengd og hraði eru gefin og finna þarf tímann.

Dæmi 9.60

Formúlan fyrir flatarmál þríhyrnings er 𝐴 = 1 2 ⁢ 𝑏 ⁢ ℎ . A = 1/2 $A = \frac{1}{2} b h .$ ⁢ b ⁢ h . Einangrið ℎ h í formúlunni: $h :$

ⓐ þegar $A = 90$ og $b = 15$
ⓑ almennt

Lausn

	ⓐ þegar A = 90 og b = 15	ⓑ almennt
Skrifið formúluna.
Setjið inn öll gefin gildi.
Losið jöfnuna við brotin.
Einfaldið.
Einangrið h.

Nú getum við fundið hæð þríhyrnings þegar flatarmálið og grunnlínan eru þekkt með því að nota formúluna

h = \frac{2 A}{b}

Í kaflanum Leysa verkefni um einfalda vexti notuðum við formúluna $I = P r t$ til að reikna einfalda vexti, þar sem $I$ táknar vexti, $P$ höfuðstól, $r$ vaxtahlutfall sem tugabrot og $t$ tíma í árum.

Dæmi 9.61

Einangrið höfuðstólinn, 𝑃 P , í formúlunni 𝐼 = 𝑃 $I = P r t$ ⁢ 𝑟 ⁢ 𝑡 I = P ⁢ r ⁢ t : $P :$

ⓐ þegar 𝐼 = $ 5 , 6 0 0 , ⁢ 𝑟 = 4 % , ⁢ 𝑡 = 7 y e a r s I = $5,600 , ⁢ r = 4% , ⁢ t = 7 ár $I = $5,600, r = 4%, t = 7 ár$
ⓑ almennt

Lausn

	I = $5600, r = 4%, t = 7 ár	almennt
Skrifið formúluna.
Setjið inn öll gefin gildi.
Margfaldið r ⋅ t .
Deilið til að einangra P .
Einfaldið.
Setjið svarið fram.	Höfuðstóllinn er $20,000.

Síðar í þessu námskeiði og í frekara algebrunámi kynnist þið jöfnum sem tengja tvær breytur, yfirleitt $x$ og $y .$ Gefin kann að vera jafna þar sem $y$ er einangrað og þá þarf að einangra 𝑥 $x,$ eða öfugt. Í næsta dæmi er gefin jafna þar sem bæði $x$ og $y$ eru sömu megin og við einangrum $y .$ Til þess fylgjum við sömu skrefum og þegar tiltekin breyta er einangruð í formúlu.

Dæmi 9.62

Einangrið 𝑦 y í formúlunni 3 ⁢ 𝑥 + 2 ⁢ 𝑦 = 1 8 3 ⁢ x + 2 ⁢ $3 x + 2 y = 18$ y = 18 : $y :$

ⓐ þegar $x = 4$
ⓑ almennt

Lausn

	þegar x = 4	almennt
Skrifið jöfnuna.
Setjið inn öll gefin gildi.
Einfaldið ef hægt er.
Dragið frá til að einangra y-liðinn.
Einfaldið.
Deilið.
Einfaldið.

Í fyrri dæmunum notuðum við tölurnar í lið (a) til leiðsagnar við almenna lausn í lið (b). Teljið þið ykkur tilbúin að einangra breytu almennt í formúlu án þess að styðjast við tölur?

Dæmi 9.63

Einangrið 𝑎 a í formúlunni 𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 P = a + b $P = a + b + c$ + c . $a .$

Lausn

Við einangrum $a$ öðrum megin í jöfnunni.

Við einangrum a öðrum megin í jöfnunni.
Skrifið jöfnuna.		𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 P = a + b + c
Dragið b og c frá báðum hliðum til að einangra a .
Einfaldið.		𝑃 − 𝑏 − 𝑐 = 𝑎 P − b − c = a

Því er $a = P - b - c$

Dæmi 9.64

Einangrið 𝑦 y í jöfnunni 3 ⁢ 𝑥 + 𝑦 = 1 0 3 ⁢ x + y $3 x + y = 10$ = 10 . $y .$

Lausn

Við einangrum $y$ öðrum megin í jöfnunni.

Við einangrum y öðrum megin í jöfnunni.
Skrifið jöfnuna.		3 ⁢ 𝑥 + 𝑦 = 1 0 3 ⁢ x + y = 10
Dragið 3 x frá báðum hliðum til að einangra y .
Einfaldið.		𝑦 = 1 0 − 3 ⁢ 𝑥 y = 10 − 3 ⁢ x

Dæmi 9.65

Einangrið 𝑦 y í jöfnunni 6 ⁢ 𝑥 + 5 ⁢ 𝑦 = 1 3 6 ⁢ x + 5 ⁢ $6 x + 5 y = 13$ y = 13 . $y .$

Lausn

Við einangrum $y$ öðrum megin í jöfnunni.

Við einangrum y öðrum megin í jöfnunni.
Skrifið jöfnuna.
Dragið frá til að einangra liðinn sem inniheldur y .
Einfaldið.
Deilið með 5 til að stuðullinn verði 1.
Einfaldið.

Æfingar úr kafla 9.7

Æfingin skapar meistarann

Notið formúluna fyrir vegalengd, hraða og tíma

Leysið eftirfarandi verkefni.

307.

Steve ók í $8 \frac{1}{2}$ klukkustundir á hraðanum $72$ mílur á klukkustund. Hvaða vegalengd fór hann?

308.

Socorro ók í $4 \frac{5}{6}$ klukkustundir á hraðanum $60$ mílur á klukkustund. Hvaða vegalengd fór hún?

309.

Yuki gekk í $1 \frac{3}{4}$ klukkustundir á hraðanum $4$ mílur á klukkustund. Hversu langt gekk hún?

310.

Francie hjólaði í $2 \frac{1}{2}$ klukkustundir á hraðanum $12$ mílur á klukkustund. Hversu langt hjólaði hún?

311.

Connor ætlar að aka frá Tucson að Grand Canyon, sem er $338$ mílna vegalengd. Ef hann ekur með jöfnum hraða, $52$ mílur á klukkustund, hversu margar klukkustundir tekur ferðin?

312.

Megan tekur rútu frá New York-borg til Montreal. Vegalengdin er $384$ mílur og rútan ekur með jöfnum hraða, $64$ mílur á klukkustund. Hversu lengi tekur rútuferðin?

313.

Aurelia ekur frá Miami til Orlando á hraðanum $65$ mílur á klukkustund. Vegalengdin er $235$ mílur. Hversu lengi tekur ferðin? Námundið að næsta tíundarhluta klukkustundar.

314.

Kareem ætlar að hjóla frá St. Louis í Missouri til Champaign í Illinois. Vegalengdin er $180$ mílur. Ef hann hjólar með jöfnum hraða, $16$ mílur á klukkustund, hversu margar klukkustundir tekur ferðin?

315.

Javier ekur til Bangor í Maine, sem er í $240$ mílna fjarlægð frá núverandi staðsetningu hans. Ef hann þarf að vera kominn til Bangor eftir $4$ klukkustundir, á hvaða hraða þarf hann að aka?

316.

Alejandra ekur til Cincinnati í Ohio, sem er í $450$ mílna fjarlægð. Ef hún vill vera komin þangað eftir $6$ klukkustundir, á hvaða hraða þarf hún að aka?

317.

Aisha tók lest frá Spokane til Seattle. Vegalengdin er $280$ mílur og ferðin tók $3.5$ klukkustundir. Hver var hraði lestarinnar?

318.

Philip fékk far með vini sínum frá Denver til Las Vegas, sem er $750$ mílna vegalengd. Ef ferðin tók $10$ klukkustundir, á hvaða hraða ók vinurinn?

Einangrið tiltekna breytu í formúlu

Notið formúluna 𝑑 = 𝑟 ⁢ 𝑡 . d = r ⁢ t . í eftirfarandi æfingum. $d = r t .$

319.

Einangrið 𝑡 $t :$

ⓐ þegar $d = 350$ og $r = 70$
ⓑ almennt

320.

Einangrið 𝑡 $t :$

ⓐ þegar $d = 240$ og $r = 60$
ⓑ almennt

321.

Einangrið 𝑡 $t :$

ⓐ þegar $d = 510$ og $r = 60$
ⓑ almennt

322.

Einangrið 𝑡 $t :$

ⓐ þegar $d = 175$ og $r = 50$
ⓑ almennt

323.

Einangrið 𝑟 $r :$

ⓐ þegar $d = 204$ og $t = 3$
ⓑ almennt

324.

Einangrið 𝑟 $r :$

ⓐ þegar $d = 420$ og $t = 6$
ⓑ almennt

325.

Einangrið 𝑟 $r :$

ⓐ þegar $d = 160$ og $t = 2.5$
ⓑ almennt

326.

Einangrið 𝑟 $r :$

ⓐ þegar $d = 180$ og $t = 4.5$
ⓑ almennt.

Notið formúluna 𝐴 = 1 2 ⁢ 𝑏 ⁢ ℎ . A = 1/2 ⁢ b ⁢ h . í eftirfarandi æfingum. $A = \frac{1}{2} b h .$

327.

Einangrið 𝑏 $b :$

ⓐ þegar $A = 126$ og $h = 18$
ⓑ almennt

328.

Einangrið ℎ $h :$

ⓐ þegar $A = 176$ og $b = 22$
ⓑ almennt

329.

Einangrið ℎ $h :$

ⓐ þegar $A = 375$ og $b = 25$
ⓑ almennt

330.

Einangrið 𝑏 $b :$

ⓐ þegar $A = 65$ og $h = 13$
ⓑ almennt

Notið formúluna 𝐼 = 𝑃 ⁢ 𝑟 ⁢ 𝑡 . I = P ⁢ r ⁢ t . í eftirfarandi æfingum. $I = P r t .$

331.

Einangrið höfuðstólinn, $P$ , fyrir:

ⓐ 𝐼=$5,480 $I = $5,480$ , 𝑟=4% $r = 4%$ , 𝑡=7ár $t = 7 ár$
ⓑ almennt

332.

Einangrið höfuðstólinn, $P$ , fyrir:

ⓐ 𝐼=$3,950 $I = $3,950$ , 𝑟=6% $r = 6%$ , 𝑡=5ár $t = 5 ár$
ⓑ almennt

333.

Einangrið tímann, $t$ , fyrir:

ⓐ 𝐼=$2,376 $I = $2,376$ , 𝑃=$9,000 $P = $9,000$ , 𝑟=4.4% $r = 4.4 %$
ⓑ almennt

334.

Einangrið tímann, $t$ , fyrir:

ⓐ 𝐼=$624 $I = $624$ , 𝑃=$6,000 $P = $6,000$ , 𝑟=5.2% $r = 5.2 %$
ⓑ almennt

Leysið eftirfarandi verkefni.

335.

Einangrið 𝑦 y í formúlunni 2 ⁢ 𝑥 + 3 ⁢ 𝑦 = 1 2 2 ⁢ x + 3 ⁢ $2 x + 3 y = 12$ y = 12 : $y :$

ⓐ þegar $x = 3$
ⓑ almennt

336.

Einangrið 𝑦 y í formúlunni 5 ⁢ 𝑥 + 2 ⁢ 𝑦 = 1 0 5 ⁢ x + 2 ⁢ $5 x + 2 y = 10$ y = 10 : $y :$

ⓐ þegar $x = 4$
ⓑ almennt

337.

Einangrið 𝑦 y í formúlunni 3 ⁢ 𝑥 + 𝑦 = 7 3 ⁢ x + y $3 x + y = 7$ = 7 : $y :$

ⓐ þegar $x = −2$
ⓑ almennt

338.

Einangrið 𝑦 y í formúlunni 4 ⁢ 𝑥 + 𝑦 = 5 4 ⁢ x + y $4 x + y = 5$ = 5 : $y :$

ⓐ þegar $x = −3$
ⓑ almennt

339.

Einangrið 𝑏 b í 𝑎 + 𝑏 = 9 0 $a + b = 90$ . $b .$

340.

Einangrið 𝑎 a í 𝑎 + 𝑏 = 9 0 $a + b = 90$ . $a .$

341.

Einangrið 𝑎 a í 1 8 0 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 $180 = a + b + c$ . $a .$

342.

Einangrið 𝑐 c í 1 8 0 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 $180 = a + b + c$ . $c .$

343.

Einangrið 𝑦 y í formúlunni 8 ⁢ 𝑥 + 𝑦 = 1 5 8 ⁢ x + y $8 x + y = 15$ = 15 . $y .$

344.

Einangrið 𝑦 y í formúlunni 9 ⁢ 𝑥 + 𝑦 = 1 3 9 ⁢ x + y $9 x + y = 13$ = 13 . $y .$

345.

Einangrið 𝑦 y í formúlunni − 4 ⁢ 𝑥 + 𝑦 = − 6 − 4 ⁢ x + y $- 4 x + y = −6$ = −6 . $y .$

346.

Einangrið 𝑦 y í formúlunni − 5 ⁢ 𝑥 + 𝑦 = − 1 − 5 ⁢ x + y $- 5 x + y = −1$ = −1 . $y .$

347.

Einangrið 𝑦 y í formúlunni 4 ⁢ 𝑥 + 3 ⁢ 𝑦 = 7 4 ⁢ x + 3 ⁢ $4 x + 3 y = 7$ y = 7 . $y .$

348.

Einangrið 𝑦 y í formúlunni 3 ⁢ 𝑥 + 2 ⁢ 𝑦 = 1 1 3 ⁢ x + 2 ⁢ $3 x + 2 y = 11$ y = 11 . $y .$

349.

Einangrið 𝑦 y í formúlunni 𝑥 − 𝑦 = − 4 x − y $x - y = −4$ = −4 . $y .$

350.

Einangrið 𝑦 y í formúlunni 𝑥 − 𝑦 = − 3 x − y $x - y = −3$ = −3 . $y .$

351.

Einangrið 𝐿 L í formúlunni 𝑃 = 2 ⁢ 𝐿 + 2 ⁢ 𝑊 P = 2 ⁢ L + $P = 2 L + 2 W$ 2 ⁢ W . $L .$

352.

Einangrið 𝑊 W í formúlunni 𝑃 = 2 ⁢ 𝐿 + 2 ⁢ 𝑊 P = 2 ⁢ L + $P = 2 L + 2 W$ 2 ⁢ W . $W .$

353.

Einangrið 𝑑 d í formúlunni 𝐶 = 𝜋 ⁢ 𝑑 C = π ⁢ $C = π d$ d . $d .$

354.

Einangrið 𝜋 π í formúlunni 𝐶 = 𝜋 ⁢ 𝑑 C = π ⁢ $C = π d$ d . $π .$

355.

Einangrið 𝐿 L í formúlunni 𝑉 = 𝐿 ⁢ 𝑊 ⁢ 𝐻 V = L ⁢ W $V = L W H$ ⁢ H . $L .$

356.

Einangrið 𝐻 H í formúlunni 𝑉 = 𝐿 ⁢ 𝑊 ⁢ 𝐻 V = L ⁢ W $V = L W H$ ⁢ H . $H .$

Stærðfræði daglegs lífs

357.

Umbreyting hitastigs Á ferðalagi í Grikklandi sá Tatyana að hitastigið var $40°$ á Celsíus. Einangrið $F$ í formúlunni $C = \frac{5}{9} (F - 32)$ til að finna hitastigið á Fahrenheit.

358.

Umbreyting hitastigs Yon var í heimsókn í Bandaríkjunum og sá að hitastigið í Seattle var $50°$ á Fahrenheit. Einangrið $C$ í formúlunni $F = \frac{9}{5} C + 32$ til að finna hitastigið á Celsíus.

Ritunarverkefni

359.

Einangrið 𝑦 y í jöfnunni 2 ⁢ 𝑥 + 3 ⁢ 𝑦 = 6 2 ⁢ x + 3 ⁢ y $2 x + 3 y = 6$ = 6 : $y :$

ⓐ þegar $x = −3$
ⓑ almennt

360.

Einangrið 𝑥 x í jöfnunni 5 ⁢ 𝑥 − 2 ⁢ 𝑦 = 1 0 5 ⁢ x − 2 ⁢ $5 x - 2 y = 10$ y = 10 : $x :$

ⓐ þegar $y = 10$
ⓑ almennt

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið æfingunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum kaflans.

ⓑ Teljið þið ykkur á heildina litið vel undirbúin fyrir næsta kafla eftir að hafa skoðað gátlistann? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?