99 Stærðfræðilíkön og rúmfræði

9.4 Nota eiginleika rétthyrninga, þríhyrninga og trapisa

Námsmarkmið

Í lok þessa kafla eigið þið að geta:

Skilja lengdar-, flatarmáls- og rúmmálsmælingar
Nota eiginleika rétthyrninga
Nota eiginleika þríhyrninga
Nota eiginleika trapisa

Í þessum kafla höldum við áfram að vinna með rúmfræðiverkefni. Við bætum við fleiri eiginleikum þríhyrninga og kynnumst eiginleikum rétthyrninga og trapisa.

Skilja lengdar-, flatarmáls- og rúmmálsmælingar

Þegar þið mælið hæð ykkar eða lengd garðslöngu notið þið reglustiku eða málband (mynd 9.13). Málband líkist línu og er notað til lengdarmælinga. Tomma, fet, jard, míla, sentímetri og metri eru lengdareiningar.

Hluti af málbandi er sýndur. Efst eru tölurnar 1 til 5. Bilinu frá upphafi að 1 er fylgt eftir með rauðum hring og ör að stækkaðri mynd af bilinu frá 0 að 1 tommu, þar sem 1/16, 1/8, 3/8, 1/2 og 3/4 eru merkt. Fyrir ofan stendur „Bandarískar mælieiningar“. Neðst á málbandinu eru tölurnar 1 til 10 og síðan 1 og 2. Bilinu frá brúninni að um 3,5 er fylgt eftir með rauðum hring og ör að stækkaðri mynd af bilinu frá 0 að 3,5. Þar eru merkingarnar 0, 1 cm, 1,7 cm, 2,3 cm og 3,5 cm. Fyrir ofan stendur „Metrakerfi (S)“. — **Mynd 9.13.** Málbandið sýnir tommur efst og sentímetra neðst.

Þegar þið viljið vita hve margar flísar þarf til að þekja gólf eða hve stóran vegg á að mála þurfið þið að þekkja flatarmálið, sem mælir stærð þess flatar sem á að þekja. Flatarmál er mælt í ferningseiningum. Algengt er að nota fertommur, ferfet, fersentímetra eða fermílur. Fersentímetri er ferningur sem er einn sentímetri (cm) á hverja hlið. Fertomma er ferningur sem er ein tomma á hverja hlið (mynd 9.14).

Tveir ferningar eru sýndir. Minni ferningurinn hefur hliðar merktar 1 cm og táknar 1 fersentímetra. Stærri ferningurinn hefur hliðar merktar 1 tommu og táknar 1 fertommu. — **Mynd 9.14.** Hver hlið ferningseiningar er $1$ lengdareining.

Mynd 9.15 sýnir rétthyrnt gólfteppi sem er $2$ fet á lengd og $3$ fet á breidd. Hver ferningur er $1$ fet á breidd og $1$ fet á lengd, eða $1$ ferfet. Teppið er gert úr $6$ ferningum. Flatarmál teppisins er $6$ ferfet.

Rétthyrningur er sýndur. Hann er þrír reitir á breidd og tveir reitir á hæð, samtals sex reitir. — **Mynd 9.15.** Teppið inniheldur sex ferninga sem hver er 1 ferfet, svo heildarflatarmál þess er 6 ferfet.

Þegar þið mælið hve mikið þarf til að fylla ílát, til dæmis hve mikið bensín kemst í tank eða hve mikið lyf er í sprautu, mælið þið rúmmál. Rúmmál er mælt í rúmeiningum, til dæmis rúmtommum eða rúmsentímetrum. Þegar rúmmál rétthyrnds strendings er mælt er ákvarðað hve margir teningar fylla hann. Algengt er að nota rúmsentímetra, rúmtommur og rúmfet. Rúmsentímetri er teningur sem er einn sentímetri á hverja hlið og rúmtomma er teningur sem er ein tomma á hverja hlið (mynd 9.16).

Tveir teningar eru sýndir. Minni teningurinn hefur hliðar merktar 1 cm og er merktur sem 1 rúmsentímetri. Stærri teningurinn hefur hliðar merktar 1 tommu og er merktur sem 1 rúmtomma. — **Mynd 9.16.** Hver hlið rúmeiningar er 1 lengdareining.

Gerum ráð fyrir að teningurinn á mynd 9.17 sé $3$ tommur á hverja hlið og skorinn eftir línunum sem sýndar eru. Hve marga litla teninga inniheldur hann? Ef stóri teningurinn væri tekinn í sundur kæmu í ljós $27$ litlir teningar sem hver væri ein tomma á hverja hlið. Rúmmál hvers litla tenings er því $1$ rúmtomma og rúmmál stóra teningsins er $27$ rúmtommur.

Teningur er sýndur og er samsettur úr smærri teningum. Á hverri hlið eru þrír smærri teningar í röð, samtals 27 smærri teningar. — **Mynd 9.17.** Teningur sem er 3 tommur á hverja hlið er gerður úr 27 teningum sem hver er ein tomma á hlið, eða 27 rúmtommum.

Dæmi 9.25

Segið fyrir hvert atriði hvort nota ætti lengdar-, flatarmáls- eða rúmmálsmælingu:

ⓐ magn teppis sem þarf í herbergi
ⓑ lengd framlengingarsnúru
ⓒ magn sands í sandkassa
ⓓ lengd gardínustangar
ⓔ magn hveitis í íláti
ⓕ flatarmál þaks hundakofa

Lausn

ⓐ Þið eruð að mæla hve stóran flöt teppið þekur, það er flatarmálið.	flatarmálsmæling
ⓑ Þið eruð að mæla hve löng framlengingarsnúran er, það er lengdina.	lengdarmæling
ⓒ Þið eruð að mæla rúmmál sandsins.	rúmmálsmæling
ⓓ Þið eruð að mæla lengd gardínustangarinnar.	lengdarmæling
ⓔ Þið eruð að mæla rúmmál hveitisins.	rúmmálsmæling
ⓕ Þið eruð að mæla flatarmál þaksins.	flatarmálsmæling

Í mörgum rúmfræðiverkefnum þarf að finna ummál eða flatarmál forms. Ummál og flatarmál koma einnig víða fyrir í daglegu lífi og því er mikilvægt að skilja vel hvað hvort hugtak merkir.

Hugsið ykkur herbergi sem þarf nýjar gólfflísar. Flísarnar eru ferningar sem eru eitt fet á hverja hlið, það er eitt ferfet. Hve marga slíka ferninga þarf til að þekja gólfið? Það er flatarmál gólfsins.

Hugsið næst um að setja nýja gólflista í herbergið þegar flísarnar hafa verið lagðar. Til að finna hve marga lista þarf verðið þið að þekkja vegalengdina umhverfis herbergið. Þið mynduð nota málband til að mæla fjölda feta umhverfis herbergið. Þessi vegalengd er ummálið.

Mynd 9. $1$ 8 sýnir ferningslaga flís sem er 1 tomma á hverja hlið. Ef maur gengi meðfram jaðri flísarinnar myndi hann ganga $4$ tommur. Sú vegalengd er ummál flísarinnar.

Þar sem flísin er ferningur sem er $1$ tomma á hverja hlið er flatarmál hennar ein fertomma. Flatarmál forms er mælt með því að ákvarða hve margar ferningseiningar þekja formið.

Köflótt tafla með 5 × 5 reitum er sýnd og hver hlið er merkt 1 tomma. Mynd af maur er á efsta reitnum til vinstri. — **Mynd 9.18.** $\begin{matrix} Ummál = 4 tommur \\ Flatarmál = 1 fertomma \end{matrix}$
Ummál = 4 tommur Flatarmál = 1 fertomma. Þegar maurinn gengur allan hringinn meðfram jaðri flísarinnar fylgir hann ummáli hennar. Flatarmál flísarinnar er 1 fertomma.

Dæmi 9.26

Tvær ferningslaga flísar eru hvor um sig $1$ fertomma. Flísarnar tvær eru sýndar saman.

ⓐ Hvert er ummál formsins?
ⓑ Hvert er flatarmálið?

Lausn

ⓐ Ummálið er vegalengdin umhverfis formið. Ummálið er $6$ tommur.

ⓑ Flatarmálið er flöturinn sem formið þekur. Flísarnar eru $2$ og hvor um sig 1 fertomma, svo flatarmálið er $2$ fertommur.

Köflótt tafla er sýnd. Hún er tíu reitir á breidd og fimm reitir á hæð. Efst og neðst eru tvær samliggjandi 1 tommu merkingar og á hliðunum eru 1 tommu merkingar.

Nota eiginleika rétthyrninga

Rétthyrningur hefur fjórar hliðar og fjögur rétt horn. Gagnstæðar hliðar rétthyrnings eru jafnlangar. Önnur hlið rétthyrningsins er kölluð lengd, $L,$ og aðlæg hlið er kölluð breidd, $W .$ Sjá mynd 9.19.

Rétthyrningur er sýndur. Hvert horn er merkt með litlum ferningi. Efri og neðri hliðin eru merktar L og hliðarnar til vinstri og hægri eru merktar W. — **Mynd 9.19.** Rétthyrningur hefur fjórar hliðar og fjögur rétt horn. Hliðarnar eru merktar L fyrir lengd og W fyrir breidd.

Ummál rétthyrningsins, $P,$ er vegalengdin umhverfis hann. Ef þið byrjuðuð við eitt horn og gengjuð umhverfis rétthyrninginn mynduð þið ganga $L + W + L + W$ einingar, það er tvær lengdir og tvær breiddir. Ummálið er því

\begin{matrix} P = L + W + L + W \\ eða \\ P = 2 L + 2 W \end{matrix}

Hvað með flatarmál rétthyrnings? Munið eftir rétthyrnda gólfteppinu í upphafi kaflans. Það var 2 fet á lengd og 3 fet á breidd og flatarmál $2$ þess var 6 $3$ ferfet. Sjá mynd 9.20. Þar sem $6$ A = 2 · 3 sést að $A = 2 \cdot 3,$ flatarmálið, A, er lengdin, L, $A,$ margfölduð með breiddinni, $L,$ W. Flatarmál rétthyrnings er $W,$ því A = L · W. $A = L \cdot W .$

Rétthyrningur er sýndur. Hann er gerður úr sex reitum. Neðri hliðin er tveir reitir á breidd og merkt 2 en hliðin er þrír reitir á lengd og merkt 3. — **Mynd 9.20.** Flatarmál þessa rétthyrnda gólfteppis er $6$ ferfet, það er lengdin margfölduð með breiddinni.

Til hægðarauka þegar við vinnum dæmin í þessum kafla rifjum við hér upp verkefnalausnaraðferðina fyrir rúmfræðiverkefni.

Dæmi 9.27

Rétthyrningur er $32$ metrar á lengd og $20$ metrar á breidd. Finnið ⓐ ummálið og ⓑ flatarmálið.

Lausn

ⓐ
Skref 1. Lesið verkefnið. Teiknið mynd og merkið gefnar upplýsingar inn á hana.
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	ummál rétthyrnings
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu til að tákna hana.	Látum P tákna ummálið
Skref 4. Þýðið. Skrifið viðeigandi formúlu og setjið gildin inn.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Skref 6. Sannreynið:
Skref 7. Svarið spurningunni.	Ummál rétthyrningsins er 104 metrar.

ⓑ
Skref 1. Lesið verkefnið. Teiknið mynd og merkið gefnar upplýsingar inn á hana.
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	flatarmál rétthyrnings
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu til að tákna hana.	Látum A tákna flatarmálið
Skref 4. Þýðið. Skrifið viðeigandi formúlu og setjið gildin inn.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Skref 6. Sannreynið:
Skref 7. Svarið spurningunni.	Flatarmál rétthyrningsins er 640 fermetrar.

Dæmi 9.28

Finnið lengd rétthyrnings sem hefur ummálið $50$ tommur og breiddina $10$ tommur.

Lausn

Skref 1. Lesið verkefnið. Teiknið mynd og merkið gefnar upplýsingar inn á hana.
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	lengd rétthyrningsins
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu til að tákna hana.	Látum L tákna lengdina
Skref 4. Þýðið. Skrifið viðeigandi formúlu og setjið gildin inn.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Skref 6. Sannreynið:
Skref 7. Svarið spurningunni.	Lengdin er 15 tommur.

Í næsta dæmi er breiddin skilgreind út frá lengdinni. Við bíðum með að teikna myndina þar til við höfum skrifað stæðu fyrir breiddina svo unnt sé að merkja aðra hliðina með stæðunni.

Dæmi 9.29

Breidd rétthyrnings er tveimur tommum minni en lengdin. Ummálið er $52$ tommur. Finnið lengdina og breiddina.

Lausn

Skref 1. Lesið verkefnið.
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	lengd og breidd rétthyrningsins
Skref 3. Gefið heiti. Veljið breytu sem táknar stærðina. Nú getum við teiknað mynd og notað þessar stæður til að merkja lengdina og breiddina.	Þar sem breiddin er skilgreind út frá lengdinni látum við L tákna lengdina. Breiddin er tveimur tommum minni en lengdin og því látum við L − 2 tákna breiddina.
Skref 4. Þýðið. Skrifið viðeigandi formúlu. Formúlan fyrir ummál rétthyrnings tengir saman allar upplýsingarnar. Setjið gefnu upplýsingarnar inn.
Skref 5. Leysið jöfnuna.	5 2 = 2 ⁢ 𝐿 + 2 ⁢ 𝐿 − 4 52 = 2 ⁢ L + 2 ⁢ L − 4
Sameinið samkynja liði.	5 2 = 4 ⁢ 𝐿 − 4 52 = 4 ⁢ L − 4
Leggið 4 við báðar hliðar.	5 6 = 4 ⁢ 𝐿 56 = 4 ⁢ L
Deilið með 4.	5 6 4 = 4 ⁢ 𝐿 4 $\frac{56}{4}$ = 4 ⁢ L/4
	1 4 = 𝐿 14 = L
	Lengdin er 14 tommur.
Nú þurfum við að finna breiddina.
Breiddin er L − 2.	Breiddin er 12 tommur.
Skref 6. Sannreynið: Þar sem 14 + 12 + 14 + 12 = 52 stenst lausnin.
Skref 7. Svarið spurningunni.	Lengdin er 14 fet og breiddin 12 fet.

Dæmi 9.30

Lengd rétthyrnings er fjórum sentímetrum meiri en tvöföld breiddin. Ummálið er $32$ sentímetrar. Finnið lengdina og breiddina.

Lausn

Skref 1. Lesið verkefnið.
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	lengdina og breiddina
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu til að tákna hana.	Látum W tákna breiddina. Lengdin er fjórum meiri en tvöföld breiddin. 2w + 4 = lengd
Skref 4. Þýðið. Skrifið viðeigandi formúlu og setjið gefnu upplýsingarnar inn.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Skref 6. Sannreynið:
Skref 7. Svarið spurningunni.	Lengdin er 12 cm og breiddin 4 cm.

Dæmi 9.31

Flatarmál rétthyrnds herbergis er $168$ ferfet. Lengdin er $14$ fet. Hver er breiddin?

Lausn

Skref 1. Lesið verkefnið.
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	breidd rétthyrnds herbergis
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu til að tákna hana.	Látum W tákna breiddina
Skref 4. Þýðið. Skrifið viðeigandi formúlu og setjið gefnu upplýsingarnar inn.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Skref 6. Sannreynið:
Skref 7. Svarið spurningunni.	Breidd herbergisins er 12 fet.

Dæmi 9.32

Ummál rétthyrndrar sundlaugar er $150$ fet. Lengdin er $15$ fetum meiri en breiddin. Finnið lengdina og breiddina.

Lausn

Skref 1. Lesið verkefnið. Teiknið mynd og merkið gefnar upplýsingar inn á hana.
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	lengd og breidd laugarinnar
Skref 3. Gefið heiti. Veljið breytu sem táknar stærðina. Lengdin er 15 fetum meiri en breiddin.	Látum W tákna breiddina. W + 15 = lengd W = breiddW + 15 = lengd
Skref 4. Þýðið. Skrifið viðeigandi formúlu og setjið gildin inn.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Skref 6. Sannreynið:
Skref 7. Svarið spurningunni.	Lengd laugarinnar er 45 fet og breiddin 30 fet.

Nota eiginleika þríhyrninga

Nú kunnum við að finna flatarmál rétthyrnings. Við getum notað það til að sjá fyrir okkur formúluna fyrir flatarmál þríhyrnings. Í rétthyrningnum á mynd 9.20 höfum við merkt lengdina b og breiddina h, $b$ svo flatarmál $h,$ hans er bh. $b h .$

Rétthyrningur er sýndur. Hliðin er merkt h og neðri hliðin er merkt b. Í miðjunni stendur A jafnt og bh. — **Mynd 9.21.** Flatarmál rétthyrnings er grunnlínan, $b,$ margfölduð með hæðinni, $h .$

Við getum skipt þessum rétthyrningi í tvo einslaga þríhyrninga ( mynd 9.22 ). Einslaga þríhyrningar hafa sömu hliðarlengdir og sömu horn, svo flatarmál þeirra eru jöfn. Flatarmál hvors þríhyrnings er helmingur flatarmáls rétthyrningsins, eða $\frac{1}{2} b h .$ Þetta dæmi hjálpar okkur að sjá hvers vegna formúlan fyrir flatarmál þríhyrnings er $A = \frac{1}{2} b h .$

Rétthyrningur er sýndur. Hornalína er dregin frá efra vinstra horninu að neðra hægra horninu. Hlið rétthyrningsins er merkt h og neðri hliðin er merkt b. Í hvorum þríhyrningi stendur einn helmingur bh. Hægra megin við rétthyrninginn stendur „Flatarmál hvors þríhyrnings“ og jafnan A jafnt og einn helmingur bh er sýnd. — **Mynd 9.22.** Skipta má rétthyrningi í tvo þríhyrninga með sama flatarmál. Flatarmál hvors þríhyrnings er helmingur flatarmáls rétthyrningsins.

Formúlan fyrir flatarmál þríhyrnings er $A = \frac{1}{2} b h,$ þar sem $b$ er grunnlínan og $h$ er hæðin.

Til að finna flatarmál þríhyrnings þurfið þið að þekkja grunnlínu hans og hæð. Grunnlínan er lengd einnar hliðar þríhyrningsins, venjulega hliðarinnar neðst. Hæðin er lengd línunnar sem tengir grunnlínuna við hornpunktinn á móti og myndar $90°$ horn við grunnlínuna. Mynd 9.23 sýnir þrjá þríhyrninga þar sem grunnlína og hæð hvers þeirra eru merktar.

Þrír þríhyrningar eru sýndir. Þríhyrningurinn til vinstri er rétthyrndur. Neðri hliðin er merkt b og hliðin er merkt h. Þríhyrningurinn í miðjunni er hvasshyrndur. Neðri hliðin er merkt b. Punktalína liggur frá efsta hornpunktinum að grunnlínu þríhyrningsins og myndar rétt horn við grunnlínuna. Línan er merkt h. Þríhyrningurinn til hægri er gleiðhyrndur. Neðri hlið þríhyrningsins er merkt b. Grunnlínan er framlengd með punktalínu og myndar rétt horn við punktalínu sem liggur að efsta hornpunkti þríhyrningsins. Lóðrétta línan er merkt h. — **Mynd 9.23.** Hæð $h$ þríhyrnings er lengd línustriks sem tengir grunnlínuna við hornpunktinn á móti og myndar $90°$ horn við grunnlínuna.

Dæmi 9.33

Finnið flatarmál þríhyrnings sem hefur grunnlínuna $11$ tommur og hæðina $8$ tommur.

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið. Teiknið mynd og merkið inn gefnar upplýsingar.
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	flatarmáli þríhyrningsins
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu til að tákna hana.	látum A = flatarmál þríhyrningsins
Skref 4. Setjið upp jöfnu. Skrifið viðeigandi formúlu. Setjið inn gildin.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Skref 6. Sannreynið:
Skref 7. Svarið spurningunni.	Flatarmálið er 44 fertommur.

Dæmi 9.34

Ummál þríhyrnds garðs er $24$ fet. Tvær hliðar eru $4$ fet og $9$ fet að lengd. Hve löng er þriðja hliðin?

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið. Teiknið mynd og merkið inn gefnar upplýsingar.
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	lengd þriðju hliðar þríhyrningsins
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu til að tákna hana.	Látum c = þriðju hliðina
Skref 4. Setjið upp jöfnu. Skrifið viðeigandi formúlu. Setjið inn gefnar upplýsingar.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Skref 6. Sannreynið:
Skref 7. Svarið spurningunni.	Þriðja hliðin er 11 fet á lengd.

Dæmi 9.35

Flatarmál þríhyrnds kirkjuglugga er $90$ fermetrar. Grunnlína gluggans er $15$ metrar. Hver er hæð gluggans?

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið. Teiknið mynd og merkið inn gefnar upplýsingar.
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	hæð þríhyrnings
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu til að tákna hana.	Látum h = hæðina
Skref 4. Setjið upp jöfnu. Skrifið viðeigandi formúlu. Setjið inn gefnar upplýsingar.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Skref 6. Sannreynið:
Skref 7. Svarið spurningunni.	Hæð þríhyrningsins er 12 metrar.

Jafnarma og jafnhliða þríhyrningar

Auk rétthyrnda þríhyrningsins bera sumir aðrir þríhyrningar sérstök heiti. Þríhyrningur með tvær jafnlangar hliðar kallast jafnarma þríhyrningur. Þríhyrningur með þrjár jafnlangar hliðar kallast jafnhliða þríhyrningur. Mynd 9.24 sýnir báðar gerðir þríhyrninga.

Tveir þríhyrningar eru sýndir. Allar þrjár hliðar þríhyrningsins til vinstri eru merktar s. Hann er merktur „jafnhliða þríhyrningur“. Tvær hliðar þríhyrningsins til hægri eru merktar s. Hann er merktur „jafnarma þríhyrningur“. — **Mynd 9.24.** Í jafnarma þríhyrningi eru tvær hliðar jafnlangar og þriðja hliðin er grunnlínan. Í jafnhliða þríhyrningi eru allar þrjár hliðarnar jafnlangar.

Dæmi 9.36

Ummál jafnhliða þríhyrnings er $93$ tommur. Finnið lengd hverrar hliðar.

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið. Teiknið mynd og merkið inn gefnar upplýsingar.	Ummál = 93 tommur
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	lengd hliða jafnhliða þríhyrnings
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu til að tákna hana.	Látum s = lengd hverrar hliðar
Skref 4. Setjið upp jöfnu. Skrifið viðeigandi formúlu. Setjið inn gildin.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Skref 6. Sannreynið:
Skref 7. Svarið spurningunni.	Hver hlið er 31 tomma.

Dæmi 9.37

Arianna hefur $156$ tommur af perlubandi til að nota sem bryddingu utan um trefil. Trefillinn verður jafnarma þríhyrningur með
$60$ tommu grunnlínu. Hve langar getur hún haft jafnlangar hliðarnar tvær?

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið. Teiknið mynd og merkið inn gefnar upplýsingar.	P = 156 tommur
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	lengd jafnlangra hliðanna tveggja
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu til að tákna hana.	Látum s = lengd hvorrar hliðar
Skref 4. Setjið upp jöfnu. Skrifið viðeigandi formúlu. Setjið inn gefnar upplýsingar.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Skref 6. Sannreynið:
Skref 7. Svarið spurningunni.	Arianna getur haft hvora jafnlangra hliðanna tveggja 48 tommur á lengd.

Nota eiginleika trapisa

Trapisa er fjórhliða mynd, ferhyrningur, með tvær samsíða hliðar og tvær hliðar sem eru ekki samsíða. Samsíða hliðarnar kallast grunnlínur. Við táknum lengd minni grunnlínunnar með $b,$ og lengd stærri grunnlínunnar með $B .$ Hæð, $h,$ trapisu er fjarlægðin milli grunnlínanna tveggja eins og sýnt er á mynd 9.25 .

Trapisa er sýnd. Efri hliðin er merkt b og auðkennd sem minni grunnlínan. Neðri hliðin er merkt B og auðkennd sem stærri grunnlínan. Lóðrétt lína myndar rétt horn við báðar grunnlínurnar og er merkt h. — **Mynd 9.25.** Trapisa hefur stærri grunnlínu, $B,$ og minni grunnlínu, $b .$ Hæðin $h$ er fjarlægðin milli grunnlínanna.

Formúlan fyrir flatarmál trapisu er:

{Flatarmál}_{trapisa} = \frac{1}{2} h (b + B)

Ef trapísunni er skipt í tvo þríhyrninga verður auðveldara að skilja formúluna. Flatarmál trapísunnar er summa flatarmála þríhyrninganna tveggja. Sjá mynd 9.26 .

Mynd af trapisu er sýnd. Efri hliðin er merkt með litlu b og neðri hliðin með stóru B. Hornalína er dregin frá efra vinstra horninu að neðra hægra horninu. — **Mynd 9.26.** Ef trapisu er skipt í tvo þríhyrninga verður auðveldara að skilja formúluna fyrir flatarmál hennar.

Hæð trapísunnar er einnig hæð beggja þríhyrninganna. Sjá mynd 9.27 .

Formúlan fyrir flatarmál trapisu er

Ef við margföldum inn í svigann fáum við

Í efri línunni stendur að flatarmál trapisu sé jafnt einum helmingi margfölduðum með bláu litlu b og h auk eins helmings margfaldaðs með rauðu stóru B og h. Fyrir neðan stendur að flatarmál trapisu sé jafnt A með bláa þríhyrningnum sem vísi auk A með rauða þríhyrningnum sem vísi.

Dæmi 9.38

Finnið flatarmál trapisu sem hefur hæðina 6 tommur og grunnlínurnar $14$ tommur og $11$ tommur.

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið. Teiknið mynd og merkið inn gefnar upplýsingar.
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	flatarmáli trapísunnar
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu til að tákna hana.	Látum 𝐴 = f l a t a r m á l i ð A = flatarmálið A = flatarmálið
Skref 4. Setjið upp jöfnu. Skrifið viðeigandi formúlu. Setjið inn gildin.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Skref 6. Sannreynið: Er svarið raunhæft?

Ef við teiknum rétthyrning utan um trapísuna með sömu stærri grunnlínu $B$ og hæð $h,$ ætti flatarmál hans að vera stærra en flatarmál trapísunnar.

Ef við teiknum rétthyrning inni í trapísunni með sömu minni grunnlínu $b$ og hæð $h,$ ætti flatarmál hans að vera minna en flatarmál trapísunnar.

Tafla með 3 dálkum og 4 röðum er sýnd. Í fyrsta dálkinum er mynd af trapisu með rétthyrning teiknaðan utan um hana með rauðu. Stærri grunnlína trapísunnar er merkt 14 og er sú sama og grunnlína rétthyrningsins. Hæð trapísunnar er merkt 6 og er sú sama og hæð rétthyrningsins. Minni grunnlína trapísunnar er merkt 11. Fyrir neðan stendur A með rétthyrning sem vísi jafnt og b sinnum h. Þar fyrir neðan stendur A með rétthyrning sem vísi jafnt og 14 sinnum 6. Þar fyrir neðan stendur A með rétthyrning sem vísi jafnt og 84 fertommur. Í öðrum dálkinum er mynd af trapisu. Stærri grunnlínan er merkt 14, minni grunnlínan 11 og hæðin 6. Fyrir neðan stendur A með trapisu sem vísi jafnt og einn helmingur sinnum h sinnum svigi litla b plús stóra B. Þar fyrir neðan stendur A með trapisu sem vísi jafnt og einn helmingur sinnum 6 sinnum svigi 11 plús 14. Þar fyrir neðan stendur A með trapisu sem vísi jafnt og 75 fertommur. Í þriðja dálkinum er mynd af trapisu með rauðan rétthyrning teiknaðan inn í hana. Hæðin er merkt 6. Fyrir neðan stendur A með rétthyrning sem vísi jafnt og b sinnum h. Þar fyrir neðan stendur A með rétthyrning sem vísi jafnt og 11 sinnum 6. Þar fyrir neðan stendur A með rétthyrning sem vísi jafnt og 66 fertommur.

Flatarmál stærri rétthyrningsins er $84$ fertommur og flatarmál minni rétthyrningsins er $66$ fertommur. Því er eðlilegt að flatarmál trapísunnar sé milli $84$ og $66$ fertomma

Skref 7. Svarið spurningunni. Flatarmál trapísunnar er $75$ fertommur.

Dæmi 9.39

Finnið flatarmál trapisu sem hefur hæðina $5$ fet og grunnlínurnar $10.3$ fet og $13.7$ fet.

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið. Teiknið mynd og merkið inn gefnar upplýsingar.
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	flatarmáli trapísunnar
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu til að tákna hana.	Látum A = flatarmálið
Skref 4. Setjið upp jöfnu. Skrifið viðeigandi formúlu. Setjið inn gildin.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Skref 6. Sannreynið: Er svarið raunhæft? Flatarmál trapísunnar ætti að vera minna en flatarmál rétthyrnings með grunnlínuna 13.7 og hæðina 5 en stærra en flatarmál rétthyrnings með grunnlínuna 10.3 og hæðina 5.
Skref 7. Svarið spurningunni.	Flatarmál trapísunnar er 60 ferfet.

Dæmi 9.40

Vinny á garð sem er í laginu eins og trapisa. Trapisan hefur hæðina $3.4$ jardar og grunnlínurnar eru $8.2$ jardar og $5.6$ jardar. Hve margir fersjardar eru tiltækir til ræktunar?

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið. Teiknið mynd og merkið inn gefnar upplýsingar.
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	flatarmáli trapisu
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu til að tákna hana.	Látum A = flatarmálið
Skref 4. Setjið upp jöfnu. Skrifið viðeigandi formúlu. Setjið inn gildin.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Skref 6. Sannreynið: Er svarið raunhæft? Já. Flatarmál trapísunnar er minna en flatarmál rétthyrnings með 8.2 jarda grunnlínu og 3.4 jarda hæð en stærra en flatarmál rétthyrnings með 5.6 jarda grunnlínu og 3.4 jarda hæð.
Skref 7. Svarið spurningunni.	Vinny hefur 23.46 fersjarda til ræktunar.

Æfingar úr kafla 9.4

Æfingin skapar meistarann

Skilja lengdar-, flatarmáls- og rúmmálsmælingar

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið ákvarða hvort mæla ætti hvert atriði með lengdar-, flatarmáls- eða rúmmálseiningum.

129.

vatnsmagn í fiskabúri

130.

lengd tannþráðar

131.

íbúðarrými íbúðar

132.

flatarmál baðherbergisflísar

133.

hæð dyraops

134.

rúmtak vörubílskerru

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna ⓐ ummál og ⓑ flatarmál hverrar myndar. Gerið ráð fyrir að hver hlið ferningsins sé $1$ cm.

135.

136.

137.

Þrír ferningar eru sýndir. Einn er neðst til vinstri, einn neðst til hægri og einn efst til hægri.

138.

Fjórir ferningar eru sýndir. Þrír mynda lárétta röð og einn er fyrir ofan miðferninginn.

139.

Fimm ferningar eru sýndir. Þrír mynda lárétta röð efst og tveir eru undir ferningunum tveimur til hægri.

140.

Ferningur er sýndur. Hann er myndaður úr níu minni ferningum.

Nota eiginleika rétthyrninga

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna ⓐ ummál og ⓑ flatarmál hvers rétthyrnings.

141.

Lengd rétthyrnings er $85$ fet og breiddin er $45$ fet.

142.

Lengd rétthyrnings er $26$ tommur og breiddin er $58$ tommur.

143.

Rétthyrnt herbergi er $15$ fet á breidd og $14$ fet á lengd.

144.

Innkeyrsla er í laginu eins og rétthyrningur sem er $20$ fet á breidd og $35$ fet á lengd.

Leysið eftirfarandi dæmi.

145.

Finnið lengd rétthyrnings með ummálið $124$ tommur og breiddina $38$ tommur.

146.

Finnið lengd rétthyrnings með ummálið $20.2$ jardar og breiddina $7.8$ jardar.

147.

Finnið breidd rétthyrnings með ummálið $92$ metrar og lengdina $19$ metrar.

148.

Finnið breidd rétthyrnings með ummálið $16.2$ metrar og lengdina $3.2$ metrar.

149.

Flatarmál rétthyrnings er $414$ fermetrar. Lengdin er $18$ metrar. Hver er breiddin?

150.

Flatarmál rétthyrnings er $782$ fersentímetrar. Breiddin er $17$ sentímetrar. Hver er lengdin?

151.

Lengd rétthyrnings er $9$ tommum meiri en breiddin. Ummálið er $46$ tommur. Finnið lengdina og breiddina.

152.

Breidd rétthyrnings er $8$ tommum meiri en lengdin. Ummálið er $52$ tommur. Finnið lengdina og breiddina.

153.

Ummál rétthyrnings er $58$ metrar. Breidd rétthyrningsins er $5$ metrum minni en lengdin. Finnið lengd og breidd rétthyrningsins.

154.

Ummál rétthyrnings er $62$ fet. Breiddin er $7$ fetum minni en lengdin. Finnið lengdina og breiddina.

155.

Breidd rétthyrningsins er $0.7$ metrum minni en lengdin. Ummál rétthyrningsins er $52.6$ metrar. Finnið mál rétthyrningsins.

156.

Lengd rétthyrningsins er $1.1$ metra minni en breiddin. Ummál rétthyrningsins er $49.4$ metrar. Finnið mál rétthyrningsins.

157.

Ummál rétthyrnings er $150$ fet. Lengd rétthyrningsins er tvöföld breiddin. Finnið lengd og breidd rétthyrningsins.

158.

Lengd rétthyrnings er þreföld breiddin. Ummálið er $72$ fet. Finnið lengd og breidd rétthyrningsins.

159.

Lengd rétthyrnings er $3$ metrum minni en tvöföld breiddin. Ummálið er $36$ metrar. Finnið lengdina og breiddina.

160.

Lengd rétthyrnings er $5$ tommum meiri en tvöföld breiddin. Ummálið er $34$ tommur. Finnið lengdina og breiddina.

161.

Breidd rétthyrnds glugga er $24$ tommur. Flatarmálið er $624$ fertommur. Hver er lengdin?

162.

Lengd rétthyrnds veggspjalds er $28$ tommur. Flatarmálið er $1316$ fertommur. Hver er breiddin?

163.

Flatarmál rétthyrnds þaks er $2310$ fermetrar. Lengdin er $42$ metrar. Hver er breiddin?

164.

Flatarmál rétthyrnds segldúks er $132$ ferfet. Breiddin er $12$ fet. Hver er lengdin?

165.

Ummál rétthyrnds húsagarðs er $160$ fet. Lengdin er $10$ fetum meiri en breiddin. Finnið lengdina og breiddina.

166.

Ummál rétthyrnds málverks er $306$ sentímetrar. Lengdin er $17$ sentímetrum meiri en breiddin. Finnið lengdina og breiddina.

167.

Breidd rétthyrnds dyraops er $40$ tommum minni en hæðin. Ummál dyraopsins er $224$ tommur. Finnið hæðina og breiddina.

168.

Breidd rétthyrnds leiksvæðis er $7$ metrum minni en lengdin. Ummál leiksvæðisins er $46$ metrar. Finnið lengdina og breiddina.

Nota eiginleika þríhyrninga

Leysið eftirfarandi dæmi með eiginleikum þríhyrninga.

169.

Finnið flatarmál þríhyrnings með grunnlínuna $12$ tommur og hæðina $5$ tommur.

170.

Finnið flatarmál þríhyrnings með grunnlínuna $45$ sentímetra og hæðina $30$ sentímetra.

171.

Finnið flatarmál þríhyrnings með grunnlínuna $8.3$ metra og hæðina $6.1$ metra.

172.

Finnið flatarmál þríhyrnings með grunnlínuna $24.2$ fet og hæðina $20.5$ fet.

173.

Þríhyrndur fáni hefur grunnlínuna $1$ fet og hæðina $1.5$ fet. Hvert er flatarmál hans?

174.

Þríhyrndur gluggi hefur grunnlínuna $8$ fet og hæðina $6$ fet. Hvert er flatarmál hans?

175.

Ef þríhyrningur hefur hliðar sem eru $6$ fet og $9$ fet að lengd og ummálið er $23$ fet, hve löng er þá þriðja hliðin?

176.

Ef þríhyrningur hefur hliðar sem eru $14$ sentímetrar og $18$ sentímetrar að lengd og ummálið er $49$ sentímetrar, hve löng er þá þriðja hliðin?

177.

Hver er grunnlína þríhyrnings með flatarmálið $207$ fertommur og hæðina $18$ tommur?

178.

Hver er hæð þríhyrnings með flatarmálið $893$ fertommur og grunnlínuna $38$ tommur?

179.

Ummál þríhyrndrar grunnlaugar er $36$ jardar. Tvær hliðar eru $10$ jardar og $15$ jardar að lengd. Hve löng er þriðja hliðin?

180.

Þríhyrndur húsagarður hefur ummálið $120$ metrar. Tvær hliðar eru $30$ metrar og $50$ metrar að lengd. Hve löng er þriðja hliðin?

181.

Jafnarma þríhyrningur hefur grunnlínuna $20$ sentímetra. Ef ummálið er $76$ sentímetrar skuluð þið finna lengd hvorrar hinna hliðanna.

182.

Jafnarma þríhyrningur hefur grunnlínuna $25$ tommur. Ef ummálið er $95$ tommur skuluð þið finna lengd hvorrar hinna hliðanna.

183.

Finnið lengd hverrar hliðar jafnhliða þríhyrnings með ummálið $51$ jard.

184.

Finnið lengd hverrar hliðar jafnhliða þríhyrnings með ummálið $54$ metra.

185.

Ummál jafnhliða þríhyrnings er $18$ metrar. Finnið lengd hverrar hliðar.

186.

Ummál jafnhliða þríhyrnings er $42$ mílur. Finnið lengd hverrar hliðar.

187.

Ummál jafnarma þríhyrnings er $42$ fet. Stysta hliðin er $12$ fet að lengd. Finnið lengd hinna hliðanna tveggja.

188.

Ummál jafnarma þríhyrnings er $83$ tommur. Stysta hliðin er $24$ tommur að lengd. Finnið lengd hinna hliðanna tveggja.

189.

Diskur er í laginu eins og jafnhliða þríhyrningur. Hver hlið er $8$ tommur að lengd. Finnið ummálið.

190.

Gólfflís er í laginu eins og jafnhliða þríhyrningur. Hver hlið er $1.5$ fet að lengd. Finnið ummálið.

191.

Umferðarskilti í laginu eins og jafnarma þríhyrningur hefur grunnlínuna $36$ tommur. Ef ummálið er $91$ tomma skuluð þið finna lengd hvorrar hinna hliðanna.

192.

Trefill í laginu eins og jafnarma þríhyrningur hefur grunnlínuna $0.75$ metra. Ef ummálið er $2$ metrar skuluð þið finna lengd hvorrar hinna hliðanna.

193.

Ummál þríhyrnings er $39$ fet. Ein hlið þríhyrningsins er $1$ feti lengri en önnur hliðin. Þriðja hliðin er $2$ fetum lengri en önnur hliðin. Finnið lengd hverrar hliðar.

194.

Ummál þríhyrnings er $35$ fet. Ein hlið þríhyrningsins er $5$ fetum lengri en önnur hliðin. Þriðja hliðin er $3$ fetum lengri en önnur hliðin. Finnið lengd hverrar hliðar.

195.

Ein hlið þríhyrnings er tvöfalt lengri en stysta hliðin. Þriðja hliðin er $5$ fetum lengri en stysta hliðin. Ummálið er $17$ fet. Finnið lengd allra þriggja hliðanna.

196.

Ein hlið þríhyrnings er þrefalt lengri en stysta hliðin. Þriðja hliðin er $3$ fetum lengri en stysta hliðin. Ummálið er $13$ fet. Finnið lengd allra þriggja hliðanna.

Nota eiginleika trapisa

Leysið eftirfarandi dæmi með eiginleikum trapisa.

197.

Hæð trapisu er $12$ fet og grunnlínurnar eru $9$ fet og $15$ fet. Hvert er flatarmálið?

198.

Hæð trapisu er $24$ jardar og grunnlínurnar eru $18$ jardar og $30$ jardar. Hvert er flatarmálið?

199.

Finnið flatarmál trapisu með hæðina $51$ metra og grunnlínurnar $43$ metra og $67$ metra.

200.

Finnið flatarmál trapisu með hæðina $62$ tommur og grunnlínurnar $58$ tommur og $75$ tommur.

201.

Hæð trapisu er $15$ sentímetrar og grunnlínurnar eru $12.5$ sentímetrar og $18.3$ sentímetrar. Hvert er flatarmálið?

202.

Hæð trapisu er $48$ fet og grunnlínurnar eru $38.6$ fet og $60.2$ fet. Hvert er flatarmálið?

203.

Finnið flatarmál trapisu með hæðina $4.2$ metra og grunnlínurnar $8.1$ metra og $5.5$ metra.

204.

Finnið flatarmál trapisu með hæðina $32.5$ sentímetra og grunnlínurnar $54.6$ sentímetra og $41.4$ sentímetra.

205.

Laurel er að búa til borða í laginu eins og trapisa. Hæð borðans er $3$ fet og grunnlínurnar eru $4$ fet og $5$ fet. Hvert er flatarmál borðans?

206.

Niko ætlar að flísaleggja baðherbergisgólfið sitt. Gólfið er í laginu eins og trapisa með breiddina $5$ fet og lengdirnar $5$ fet og $8$ fet. Hvert er flatarmál gólfsins?

207.

Theresa þarf nýja borðplötu á eldhúsbekkinn sinn. Borðplatan er í laginu eins og trapisa með breiddina $18.5$ tommur og lengdirnar $62$ tommur og $50$ tommur. Hvert er flatarmál borðplötunnar?

208.

Elena er að prjóna trefil. Trefillinn verður í laginu eins og trapisa með breiddina $8$ tommur og lengdirnar $48.2$ tommur og $56.2$ tommur. Hvert er flatarmál trefilsins?

Stærðfræði daglegs lífs

209.

Girðing Jose fjarlægði nýlega leiktæki barnanna úr bakgarðinum sínum til að rýma fyrir rétthyrndum garði. Hann vill setja girðingu umhverfis garðinn til að halda hundinum frá. Í bílskúrnum á hann $50$ feta girðingarrúllu sem hann hyggst nota. Til að garðurinn komist fyrir í bakgarðinum verður breidd hans að vera $10$ fet. Hve langa getur hann haft hina hliðina ef hann vill nota alla girðingarrúlluna?

210.

Garðrækt Lupita vill girða af tómatagarðinn sinn. Garðurinn er rétthyrndur og lengdin er tvöföld breiddin. Það þarf $48$ fet af girðingu til að loka garðinum. Finnið lengd og breidd garðsins.

211.

Girðing Christa vill setja girðingu umhverfis þríhyrnt blómabeð sitt. Hliðar blómabeðsins eru $6$ fet, $8$ fet og $10$ fet. Girðingin kostar $$10$ á fet. Hve mikið kostar Christu að girða blómabeðið?

212.

Málun Caleb vill mála einn vegg á háaloftinu sínu. Veggurinn er í laginu eins og trapisa með hæðina $8$ fet og grunnlínurnar $20$ fet og $12$ fet. Það kostar um $$0.05 .$ að mála hvert ferfet af veggnum. Hve mikið kostar Caleb um það bil að mála háaloftsvegginn?

Ritunaræfingar

213.

Ef þið þurfið að flísaleggja eldhúsgólfið, þurfið þið þá að þekkja ummál eða flatarmál eldhússins? Rökstyðjið svarið.

214.

Ef þið þurfið að girða bakgarðinn af, þurfið þið þá að þekkja ummál eða flatarmál hans? Rökstyðjið svarið.

215.

Skoðið myndirnar tvær.

Rétthyrningur er sýndur til vinstri. Hann er merktur 2 sinnum 8. Ferningur er sýndur til hægri. Hann er merktur 4 sinnum 4.

ⓐ Hvor myndin virðist hafa stærra flatarmál? Hvor virðist hafa stærra ummál?

ⓑ Reiknið nú flatarmál og ummál hvorrar myndar. Hvor hefur stærra flatarmál? Hvor hefur stærra ummál?

216.

Lengd rétthyrnings er $5$ fetum meiri en breiddin. Flatarmálið er $50$ ferfet. Finnið lengdina og breiddina.

ⓐ Skrifið jöfnuna sem þið mynduð nota til að leysa dæmið.

ⓑ Hvers vegna getið þið ekki leyst þessa jöfnu með aðferðunum sem þið lærðuð í fyrri kafla?

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið æfingunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hve vel þið hafið náð markmiðum kaflans.

ⓑ Á kvarðanum 1–10, hvernig mynduð þið meta tök ykkar á þessum kafla með hliðsjón af svörum ykkar við gátlistanum? Hvernig getið þið bætt þau?