Heimurinn er fullur af orðadæmum. Hve mikla peninga þarf til að fylla bensíntank bílsins? Hve mikið ætti að gefa þjóninum á veitingastað í þjórfé? Hve mörg sokkapör ætti að taka með í fríið? Hve stóran kalkún þarf að kaupa fyrir þakkargjörðarkvöldverðinn og hvenær þarf að setja hann í ofninn? Ef systir mín og ég kaupum gjöf handa móður okkar, hve mikið borgar hvort okkar?
Nú þegar við kunnum að leysa jöfnur getum við beitt nýju færninni við orðadæmi. Þekkið þið einhvern sem hefur áður átt neikvæða reynslu af orðadæmum? Hafið þið einhvern tíma hugsað eins og nemandinn á mynd 9.2?
Mynd 9.2. Neikvæðar hugsanir um orðadæmi geta hindrað árangur.
Þegar okkur finnst við ekki hafa neina stjórn og endurtökum neikvæðar hugsanir byggjum við upp hindranir á leið til árangurs. Við þurfum að sefa óttann og breyta neikvæðu hugarfari okkar.
Byrjið upp á nýtt og hugsið jákvætt eins og nemandinn á mynd 9.3. Lesið jákvæðu hugsanirnar upphátt.
Mynd 9.3. Jákvætt hugarfar gagnvart orðadæmum er stórt skref í átt að árangri.
Ef við tökum stjórnina og trúum því að okkur geti tekist ætlunarverkið getum við náð tökum á orðadæmum.
Hugsið um eitthvað sem þið getið gert núna en gátuð ekki gert fyrir þremur árum. Hvort sem það er að aka bíl, fara á snjóbretti, elda dýrindis máltíð eða tala nýtt tungumál hafið þið getað lært og náð tökum á nýrri færni. Orðadæmi eru ekkert öðruvísi. Þótt þið hafið áður átt í erfiðleikum með orðadæmi hafið þið tileinkað ykkur margvíslega nýja stærðfræðifærni sem hjálpar ykkur að ná árangri núna!
Beita verkefnalausnaraðferð við orðadæmi
Í fyrri köflum þýdduð þið orðasambönd yfir á algebrustæður með því að nota grundvallarhugtök og tákn stærðfræðinnar. Síðan þá hafið þið aukið stærðfræðiorðaforða ykkar eftir því sem þið lærðuð fleiri algebruaðferðir og fengið meiri æfingu í að þýða orð yfir á algebru.
Þið hafið einnig þýtt setningar yfir á algebrujöfnur og leyst nokkur orðadæmi. Í orðadæmunum var stærðfræði beitt á hversdagslegar aðstæður. Þið þurftuð að endursegja aðstæðurnar í einni setningu, velja breytu og rita síðan jöfnu til að leysa verkefnið. Þessi aðferð virkar svo lengi sem aðstæðurnar eru kunnuglegar og stærðfræðin er ekki of flókin.
Nú þróum við aðferð sem hægt er að nota til að leysa hvaða orðadæmi sem er. Aðferðin hjálpar ykkur að ná árangri í orðadæmum. Við sýnum hana með því að leysa eftirfarandi verkefni.
Dæmi 9.1
Pete keypti skyrtu á útsölu fyrir sem var helmingur upphaflega verðsins. Hvert var upphaflegt verð skyrtunnar?
Lausn
Skref 1. Lesið verkefnið. Gangið úr skugga um að þið skiljið öll orð og hugmyndir. Þið gætuð þurft að lesa verkefnið tvisvar eða oftar. Flettið ókunnugum orðum upp í orðabók eða á netinu.
Skiljið þið um hvað er fjallað í verkefninu? Skiljið þið hvert orð?
Skref 2. Ákvarðið að hverju er leitað. Erfitt er að finna eitthvað ef ekki er ljóst hvað það er! Lesið verkefnið aftur og leitið að orðum sem segja að hverju er leitað.
Í þessu verkefni segja orðin „hvert var upphaflegt verð skyrtunnar“ að leitað sé að upphaflegu verði skyrtunnar.
Skref 3. Gefið heiti stærðinni sem leitað er að. Veljið breytu sem táknar hana. Nota má hvaða bókstaf sem er, en gagnlegt getur verið að velja bókstaf sem auðvelt er að tengja við stærðina.
Látum p tákna upphaflegt verð skyrtunnar
Skref 4. Þýðið yfir á jöfnu. Gagnlegt getur verið að endursegja verkefnið fyrst í einni setningu með öllum mikilvægu upplýsingunum. Þýðið síðan setninguna yfir á jöfnu.
Skref 5. Leysið jöfnuna með vönduðum algebruaðferðum. Jafnvel þótt lausnin sé augljós er gagnlegt að nota algebru, því það býr ykkur betur undir verkefni þar sem svarið er ekki augljóst.
Ritið jöfnuna.
Margfaldið báðar hliðar með 2.
Einfaldið.
Skref 6. Sannreynið svarið í samhengi við verkefnið og gangið úr skugga um að það sé skynsamlegt.
Við fundum að sem merkir að upphaflega verðið var Er skynsamlegt svar við verkefninu? Já, því er helmingur og skyrtan var á útsölu á hálfvirði.
Skref 7. Svarið spurningunni með heilli setningu.
Í verkefninu var spurt: „Hvert var upphaflegt verð skyrtunnar?“ Svarið er: „Upphaflegt verð skyrtunnar var $36.“
Ef þetta væri heimaverkefni gæti lausnin litið svona út:
Beitum þessari aðferð á annað dæmi.
Dæmi 9.2
Yash kom með epli og banana í lautarferð. Eplin voru þremur fleiri en tvöfaldur fjöldi banananna. Yash kom með epli. Hve marga banana kom hann með?
Lausn
Skref 1. Lesið verkefnið.
Skref 2. Ákvarðið að hverju er leitað.
Hve marga banana kom hann með?
Skref 3. Gefið heiti stærðinni sem leitað er að. Veljið breytu sem táknar fjölda banana.
Látum b tákna fjölda banana b = fjöldi banana
Skref 4. Þýðið. Endursegið verkefnið í einni setningu með öllum mikilvægu upplýsingunum. Þýðið yfir á jöfnu.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Dragið 3 frá báðum hliðum.
Einfaldið.
Deilið báðum hliðum með 2.
Einfaldið.
Skref 6. Sannreynið. Er svarið fyrst og fremst skynsamlegt? Já, fjórir bananar í lautarferð eru skynsamlegur fjöldi. Í verkefninu segir að eplin hafi verið þremur fleiri en tvöfaldur fjöldi banananna. Ef bananarnir eru fjórir, verða eplin þá ellefu? Tvöfaldur fjöldi fjögurra banana er átta og þremur meira en átta er ellefu.
Skref 7. Svarið spurningunni.
Yash kom með 4 banana í lautarferðina.
Í kaflanum Leysa verkefni um söluskatt, söluþóknun og afslátt lærðum við að þýða og leysa einfaldar prósentujöfnur og beittum þeim á verkefni um söluskatt og söluþóknun. Í næsta dæmi beitum við verkefnalausnaraðferðinni á fleiri prósentuverkefni.
Dæmi 9.3
Bifreiðatryggingaiðgjald Nga hækkaði um sem var af upphaflega iðgjaldinu. Hvert var upphaflegt iðgjaldið?
Lausn
Skref 1. Lesið verkefnið. Munið að fletta upp orðum sem þið skiljið ekki.
Skref 2. Ákvarðið að hverju er leitað.
upphaflegt iðgjald
Skref 3. Gefið heiti. Veljið breytu sem táknar upphaflega iðgjaldið.
Látum c tákna upphaflega iðgjaldið c = upphaflegt iðgjald
Skref 4. Þýðið. Endursegið í einni setningu. Þýðið yfir á jöfnu.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Deilið báðum hliðum með 0.08.
Einfaldið.
𝑐 = 7 5 0 c = 750
Skref 6. Sannreynið. Er svarið skynsamlegt? Já, $750 bifreiðatryggingaiðgjald er skynsamlegt. Sannreynum nú algebruna. Eru 8% af 750 jöfn 60?
Skref 7. Svarið spurningunni.
Upphaflegt tryggingaiðgjald Nga var $750.
Leysa töluverkefni
Nú þýðum við og leysum töluverkefni. Í töluverkefnum eru gefnar vísbendingar um eina eða fleiri tölur og þær notaðar til að setja fram jöfnu. Töluverkefni koma yfirleitt ekki fyrir í daglegu lífi, en þau veita góða byrjun á að æfa verkefnalausnaraðferðina. Munið að leita að vísbendingarorðum á borð við mismunur, af og og.
Dæmi 9.4
Mismunur tölu og sex er Finnið töluna.
Lausn
Skref 1. Lesið verkefnið. Skiljið þið öll orðin?
Skref 2. Ákvarðið að hverju er leitað.
talan
Skref 3. Gefið heiti. Veljið breytu sem táknar töluna.
Látum n tákna töluna n = talan
Skref 4. Þýðið. Endursegið í einni setningu. Þýðið yfir á jöfnu.
Skref 5. Leysið jöfnuna. Leggið 6 við báðar hliðar. Einfaldið.
Skref 6. Sannreynið. Mismunur 19 og 6 er 13. Svarið stenst sannprófun.
Skref 7. Svarið spurningunni.
Talan er 19.
Dæmi 9.5
Summa tvöfaldrar tölu og sjö er Finnið töluna.
Lausn
Skref 1. Lesið verkefnið.
Skref 2. Ákvarðið að hverju er leitað.
talan
Skref 3. Gefið heiti. Veljið breytu sem táknar töluna.
Látum n tákna töluna n = talan
Skref 4. Þýðið. Endursegið verkefnið í einni setningu. Þýðið yfir á jöfnu.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Dragið 7 frá báðum hliðum og einfaldið.
Deilið báðum hliðum með 2 og einfaldið.
Skref 6. Sannreynið. Er summa tvöfalds gildis 4 og 7 jöfn 15?
Skref 7. Svarið spurningunni.
Talan er 4.
Í sumum orðadæmum um tölur er beðið um að finna tvær eða fleiri tölur. Freistandi getur verið að tákna þær allar með mismunandi breytum, en hingað til höfum við aðeins leyst jöfnur með einni breytu. Við skilgreinum tölurnar með sömu breytunni. Lesið verkefnið vandlega til að greina hvernig allar tölurnar tengjast hver annarri.
Dæmi 9.6
Ein tala er fimm stærri en önnur. Summa talnanna er 21. Finnið tölurnar.
Lausn
Skref 1. Lesið verkefnið.
Skref 2. Ákvarðið að hverju er leitað.
Leitað er að tveimur tölum.
Skref 3. Gefið heiti. Veljið breytu sem táknar fyrri töluna. Hvað vitið þið um hina töluna? Þýðið.
Látum n = fyrri talan tákna fyrri töluna. Ein tala er fimm stærri en önnur. n + 5 táknar hina töluna.n + 5 = 2 . tala
Skref 4. Þýðið. Endursegið verkefnið í einni setningu með öllum mikilvægu upplýsingunum. Þýðið yfir á jöfnu. Setjið stæðurnar með breytunni inn.
Summa talnanna er 21. Summa fyrri tölunnar og hinnar tölunnar er 21.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Sameinið samkynja liði.
Dragið fimm frá báðum hliðum og einfaldið.
Deilið með tveimur og einfaldið.
Finnið einnig hina töluna.
Setjið n = 8 inn.
Skref 6. Sannreynið:
Standast þessar tölur sannprófun í verkefninu? Er önnur talan 5 stærri en hin? Er 13 fimm stærri en 8? Já. Er summa talnanna tveggja 21?
Skref 7. Svarið spurningunni.
Tölurnar eru 8 og 13.
Dæmi 9.7
Summa tveggja talna er −14. Ein tala er fjórum minni en hin. Finnið tölurnar.
Lausn
Skref 1. Lesið verkefnið.
Skref 2. Ákvarðið að hverju er leitað.
tvær tölur
Skref 3. Gefið heiti. Veljið breytu. Hvað vitið þið um hina töluna? Þýðið.
Látum n tákna fyrri töluna. Önnur talan er 4 minni en hin. n − 4 táknar hina töluna.
Skref 4. Þýðið. Ritið sem eina setningu. Þýðið yfir á jöfnu. Setjið stæðurnar með breytunni inn.
Summa tveggja talna er −14.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Sameinið samkynja liði.
Leggið 4 við báðar hliðar og einfaldið.
Deilið með 2.
Setjið n = −5 inn til að finna hina töluna.
Skref 6. Sannreynið:
Er −9 fjórum minna en −5? Er summa talnanna −14?
Skref 7. Svarið spurningunni.
Tölurnar eru −5 og −9.
Dæmi 9.8
Ein tala er tíu stærri en tvöföld önnur tala. Summa þeirra er 1. Finnið tölurnar.
Lausn
Skref 1. Lesið verkefnið.
Skref 2. Ákvarðið að hverju er leitað.
tvær tölur
Skref 3. Gefið heiti. Veljið breytu. Ein tala er tíu stærri en tvöföld önnur tala.
Látum x tákna fyrri töluna. 2x + 10 táknar hina töluna.
Skref 4. Þýðið. Endursegið sem eina setningu.
Summa þeirra er 1.
Þýðið yfir á jöfnu.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Sameinið samkynja liði.
Dragið 10 frá báðum hliðum.
Deilið báðum hliðum með 3 til að finna fyrri töluna.
Setjið gildið inn til að finna hina töluna.
Skref 6. Sannreynið.
Er 4 tíu stærri en tvöfalt −3? Er summa talnanna 1?
Skref 7. Svarið spurningunni.
Tölurnar eru −3 og 4.
Samliggjandi heiltölur eru heiltölur sem koma hver á eftir annarri. Nokkur dæmi um samliggjandi heiltölur eru:
Takið eftir að hver tala er ei um stærri en talan á undan. Ef fyrsta heiltalan er táknuð með n er næsta samliggjandi heiltala Heiltalan þar á eftir er einum stærri en svo hún er eða
Dæmi 9.9
Summa tveggja samliggjandi heiltalna er Finnið tölurnar.
Lausn
Skref 1. Lesið verkefnið.
Skref 2. Ákvarðið að hverju er leitað.
tvær samliggjandi heiltölur
Skref 3. Gefið heiti.
Látum n tákna fyrri heiltöluna og n + 1 næstu samliggjandi heiltölu.
Skref 4. Þýðið. Endursegið sem eina setningu. Þýðið yfir á jöfnu.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Sameinið samkynja liði.
Dragið 1 frá báðum hliðum.
Deilið báðum hliðum með 2.
Setjið gildið inn til að finna hina töluna.
Skref 6. Sannreynið:
Skref 7. Svarið spurningunni.
Samliggjandi heiltölurnar tvær eru 23 og 24.
Dæmi 9.10
Finnið þrjár samliggjandi heiltölur sem hafa summuna
Lausn
Skref 1. Lesið verkefnið.
Skref 2. Ákvarðið að hverju er leitað.
þrjár samliggjandi heiltölur
Skref 3. Gefið heiti.
Látum n tákna fyrstu heiltöluna, n + 1 næstu samliggjandi heiltölu og n + 2 þá þriðju.
Skref 4. Þýðið. Endursegið sem eina setningu. Þýðið yfir á jöfnu.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Sameinið samkynja liði.
Dragið 3 frá báðum hliðum.
Deilið báðum hliðum með 3.
Setjið gildið inn til að finna aðra töluna.
Setjið gildið inn til að finna þriðju töluna.
Skref 6. Sannreynið:
Skref 7. Svarið spurningunni.
Samliggjandi heiltölurnar þrjár eru 13, 14 og 15.
Æfingar úr kafla 9.1
Æfingin skapar meistarann
Beita verkefnalausnaraðferð við orðadæmi
Leysið eftirfarandi æfingar með verkefnalausnaraðferðinni við orðadæmi. Svarið með heilum setningum.
1.
Tveir þriðju nemenda í fjórða bekk eru stúlkur. Ef stúlkurnar eru , hve margir nemendur eru alls í bekknum?
2.
Þrír fimmtu meðlima skólakórsins eru konur. Ef konurnar eru , hve margir eru alls í kórnum?
3.
Zachary á geisladiska með kántrítónlist, sem eru einn fimmti af geisladiskasafni hans. Hve marga geisladiska á Zachary?
4.
Fjórðungur sælgætismolanna í poka er rauður. Ef rauðu molarnir eru , hve margir sælgætismolar eru í pokanum?
5.
Í skólaklúbbi eru stúlkur. Stúlkurnar eru fleiri en tvöfaldur fjöldi drengjanna. Finnið fjölda drengja í klúbbnum.
6.
Í skátasveit 645 eru 18 ungskátar. Ungskátarnir eru 3 fleiri en fimmfaldur fjöldi fullorðnu foringjanna. Finnið fjölda fullorðinna foringja.
7.
Lee er að taka diska og glös úr uppþvottavélinni. Diskarnir eru færri en glösin. Ef diskarnir eru , hve mörg eru glösin?
8.
Hvolparnir í sýningarglugga gæludýraverslunarinnar eru tólf færri en hundarnir í versluninni. Ef hvolpar eru í glugganum, hve margir hundar eru í versluninni?
9.
Eftir mánuði á sérstöku mataræði hafði Lisa misst af upphaflegri þyngd sinni. Hún léttist um pund. Hver var upphafleg þyngd Lisa?
10.
Tricia fékk launahækkun á vikulaunum sínum. Hækkunin nam á viku. Hver voru upphafleg vikulaun hennar?
11.
Tim skildi eftir í þjórfé fyrir veitingareikning upp á . Hve mörg prósent gaf hann í þjórfé?
12.
Rashid skildi eftir í þjórfé fyrir veitingareikning upp á . Hve mörg prósent gaf hann í þjórfé?
13.
Yuki keypti kjól á útsölu fyrir Útsöluverðið var af upphaflega verðinu. Hvert var upphaflegt verð kjólsins?
14.
Kim keypti skópar á útsölu fyrir Útsöluverðið var af upphaflega verðinu. Hvert var upphaflegt verð skónna?
Leysa töluverkefni
Leysið hvert töluverkefni í eftirfarandi æfingum.
15.
Summa tölu og átta er Finnið töluna.
16.
Summa tölu og níu er Finnið töluna.
17.
Mismunur tölu og tólf er Finnið töluna.
18.
Mismunur tölu og átta er Finnið töluna.
19.
Summa þrefaldrar tölu og átta er Finnið töluna.
20.
Summa tvöfaldrar tölu og sex er Finnið töluna.
21.
Mismunur tvöfaldrar tölu og sjö er Finnið töluna.
22.
Mismunur fjórfaldrar tölu og sjö er Finnið töluna.
23.
Þreföld summa tölu og níu er Finnið töluna.
24.
Sexföld summa tölu og átta er Finnið töluna.
25.
Ein tala er sex stærri en hin. Summa þeirra er 42. Finnið tölurnar.
26.
Ein tala er fimm stærri en hin. Summa þeirra er 33. Finnið tölurnar.
27.
Summa tveggja talna er 20. Ein tala er fjórum minni en hin. Finnið tölurnar.
28.
Summa tveggja talna er 27. Ein tala er sjö minni en hin. Finnið tölurnar.
29.
Ein tala er einum stærri en tvöföld önnur tala. Summa þeirra er −5. Finnið tölurnar.
30.
Ein tala er sex stærri en fimmföld önnur tala. Summa þeirra er 6. Finnið tölurnar.
31.
Summa tveggja talna er 14. Ein tala er tveimur minni en þreföld hin talan. Finnið tölurnar.
32.
Summa tveggja talna er 0. Ein tala er níu minni en tvöföld hin talan. Finnið tölurnar.
33.
Ein tala er fjórtán minni en önnur. Ef sjö er bætt við summu þeirra fæst Finnið tölurnar.
34.
Ein tala er ellefu minni en önnur. Ef átta er bætt við summu þeirra fæst Finnið tölurnar.
35.
Summa tveggja samliggjandi heiltalna er Finnið heiltölurnar.
36.
Summa tveggja samliggjandi heiltalna er Finnið heiltölurnar.
37.
Summa tveggja samliggjandi heiltalna er Finnið heiltölurnar.
38.
Summa tveggja samliggjandi heiltalna er Finnið heiltölurnar.
39.
Summa þriggja samliggjandi heiltalna er Finnið heiltölurnar.
40.
Summa þriggja samliggjandi heiltalna er Finnið heiltölurnar.
41.
Finnið þrjár samliggjandi heiltölur sem hafa summuna
42.
Finnið þrjár samliggjandi heiltölur sem hafa summuna
Stærðfræði daglegs lífs
43.
Innkaup Patty greiddi fyrir handtösku á útsölu, en höfðu verið dregnir frá upphaflega verðinu. Hvert var upphaflegt verð handtöskunnar?
44.
Innkaup Travis keypti stígvél á útsölu með afslætti af upphaflega verðinu. Hann greiddi fyrir stígvélin. Hvert var upphaflegt verð þeirra?
45.
Innkaup Minh greiddi fyrir límmiðabækur sem hann ætlaði að gefa systursonum sínum. Finnið verð hverrar límmiðabókar.
46.
Innkaup Alicia keypti pakka með ferskjum fyrir Finnið verð hverrar ferskju.
47.
Innkaup Tom greiddi fyrir nýjan ísskáp, að meðtöldum í skatti. Hvert var verð ísskápsins fyrir skatt?
48.
Innkaup Kenji greiddi fyrir nýtt stofusett, að meðtöldum í skatti. Hvert var verð stofusettsins fyrir skatt?
Ritunarverkefni
49.
Skrifið nokkrar setningar um hugsanir ykkar og skoðanir á orðadæmum. Eru hugsanirnar jákvæðar, neikvæðar eða hlutlausar? Ef þær eru neikvæðar, hvernig gætuð þið breytt hugsunarhætti ykkar til að standa ykkur betur?
50.
Hvernig ákveðið þið hvað breytan á að tákna þegar þið byrjið að leysa orðadæmi?
Sjálfsmat
ⓐ Þegar þið hafið lokið við verkefnin skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum kaflans.
ⓑ Ef flest gátmerkin ykkar voru við:
…örugglega. Til hamingju! Þið hafið náð markmiðum þessa kafla. Hugleiðið hvaða námsaðferðir þið notuðuð svo að þið getið haldið áfram að beita þeim. Hvað gerðuð þið til að öðlast fullvissu um að þið gætuð þetta? Verið nákvæm.
…með nokkurri aðstoð. Taka þarf á þessu fljótt, því efni sem þið náið ekki tökum á verður að holum á veginum til árangurs. Í stærðfræði byggir hvert viðfangsefni á fyrri vinnu. Mikilvægt er að tryggja traustan grunn áður en haldið er áfram. Hvern getið þið beðið um aðstoð? Samnemendur og kennari eru góð úrræði. Er staður á skólasvæðinu þar sem stærðfræðileiðbeinendur eru til aðstoðar? Má bæta námsaðferðir ykkar?
…nei — ég skil þetta ekki! Þetta er viðvörunarmerki sem ekki má hunsa. Þið ættuð að fá aðstoð strax, annars gæti efnið fljótt orðið yfirþyrmandi. Ræðið stöðuna við kennarann eins fljótt og unnt er. Saman getið þið gert áætlun um þá aðstoð sem þið þurfið.
