9.3 Nota eiginleika horna og þríhyrninga ásamt setningu Pýþagórasar – Fornám í stærðfræði, 2. útgáfa (IS) | Námsgögn
99 Stærðfræðilíkön og rúmfræði
9.3 Nota eiginleika horna og þríhyrninga ásamt setningu Pýþagórasar
9.3 Nota eiginleika horna og þríhyrninga ásamt setningu Pýþagórasar
Námsmarkmið
Í lok þessa kafla eigið þið að geta:
Notað eiginleika horna
Notað eiginleika þríhyrninga
Notað setningu Pýþagórasar
Hingað til í þessum kafla höfum við einbeitt okkur að lausn orðadæma, sem líkjast mörgum raunverulegum notkunardæmum algebru. Í næstu undirköflum beitum við verkefnalausnaraðferðum okkar á nokkur algeng rúmfræðiverkefni.
Nota eiginleika horna
Kannist þið við orðalagið „að snúa við “? Það merkir að snúa sér þannig að maður horfi í gagnstæða átt. Orðalagið er dregið af því að horn sem myndar beina línu er gráður. Sjá mynd 9.5.
Horn myndast af tveimur hálflínum sem eiga sameiginlegan endapunkt. Hvor hálflína kallast armur hornsins og sameiginlegi endapunkturinn kallast hornpunktur. Horn er nefnt eftir hornpunkti sínum. Á mynd 9.6 er hornið með hornpunktinn Stærð er táknuð
Mynd 9.6. ∠𝐴 er hornið með hornpunktinn sem er punktur 𝐴.
Horn eru mæld í gráðum og táknið er notað fyrir gráður. Skammstöfunin táknar stærð horns. Ef er skrifum við
Ef summa stærða tveggja horna er kallast þau frændhorn. Á mynd 9.7 er hvort hornapar frændhorn því stærðir hornanna eru samtals Hvort hornið er frændhorn hins.
Mynd 9.7. Summa stærða frændhorna er
Ef summa stærða tveggja horna er kallast þau lagshorn. Á mynd 9.8 er hvort hornapar lagshorn því stærðir hornanna eru samtals Hvort hornið er lagshorn hins.
Mynd 9.8. Summa stærða lagshorna er
Í þessum kafla og þeim næsta kynnist þið nokkrum algengum rúmfræðiformúlum. Við aðlögum verkefnalausnaraðferð okkar að rúmfræðiverkefnum. Rúmfræðiformúlan tilgreinir breyturnar og gefur okkur jöfnuna sem á að leysa.
Þar sem öll þessi verkefni fjalla um rúmfræðiform er einnig gagnlegt að teikna mynd og merkja inn á hana upplýsingarnar úr verkefninu. Við bætum því skrefi við verkefnalausnaraðferðina fyrir rúmfræðiverkefni.
Næsta dæmi sýnir hvernig beita má verkefnalausnaraðferðinni fyrir rúmfræðiverkefni til að svara spurningum um frændhorn og lagshorn.
Dæmi 9.16
Horn er Finnið ⓐ frændhorn þess og ⓑ lagshorn þess.
Lausn
ⓐ
Skref 1. Lesið verkefnið. Teiknið mynd og merkið gefnar upplýsingar inn á hana.
Skref 2. Finnið að hverju er leitað.
Skref 3. Gefið heiti. Veljið breytu sem táknar stærðina.
Skref 4. Þýðið. Skrifið viðeigandi formúlu fyrir aðstæðurnar og setjið gefnu upplýsingarnar inn.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Skref 6. Sannreynið:
Skref 7. Svarið spurningunni.
ⓑ
Skref 1. Lesið verkefnið. Teiknið mynd og merkið gefnar upplýsingar inn á hana.
Skref 2. Finnið að hverju er leitað.
Skref 3. Gefið heiti. Veljið breytu sem táknar stærðina.
Skref 4. Þýðið. Skrifið viðeigandi formúlu fyrir aðstæðurnar og setjið gefnu upplýsingarnar inn.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Skref 6. Sannreynið:
Skref 7. Svarið spurningunni.
Tókuð þið eftir því að á ensku koma orðin complementary („lagshorn“) og supplementary („frændhorn“) í stafrófsröð, rétt eins og og eru í talnaröð?
Dæmi 9.17
Tvö horn eru frændhorn. Stærra hornið er stærra en minna hornið. Finnið stærð beggja hornanna.
Lausn
Skref 1. Lesið verkefnið. Teiknið mynd og merkið gefnar upplýsingar inn á hana.
Skref 2. Finnið að hverju er leitað.
Skref 3. Gefið heiti. Veljið breytu sem táknar minna hornið. Stærra hornið er 30° stærra en minna hornið.
Skref 4. Þýðið. Skrifið viðeigandi formúlu og setjið gildin inn.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Skref 6. Sannreynið:
Skref 7. Svarið spurningunni.
Nota eiginleika þríhyrninga
Hvað vitið þið nú þegar um þríhyrninga? Þríhyrningur hefur þrjár hliðar og þrjú horn. Þríhyrningar eru nefndir eftir hornpunktum sínum. Þríhyrningurinn á mynd 9.9 nefnist sem lesið er „þríhyrningur “. Hver hlið er merkt með lágstaf sem samsvarar þeim hástaf sem stendur við hornpunktinn á móti.
Mynd 9.9. Δ𝐴𝐵𝐶 hefur hornpunktana 𝐴,𝐵,og 𝐶 og hliðarnar 𝑎,𝑏,og 𝑐.
Hornin þrjú í þríhyrningi tengjast á sérstakan hátt. Summa stærða þeirra er
Dæmi 9.18
Tvö horn þríhyrnings eru og Finnið stærð þriðja hornsins.
Lausn
Skref 1. Lesið verkefnið. Teiknið mynd og merkið gefnar upplýsingar inn á hana.
Skref 2. Finnið að hverju er leitað.
Skref 3. Gefið heiti. Veljið breytu sem táknar stærðina.
Skref 4. Þýðið. Skrifið viðeigandi formúlu og setjið gildin inn.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Skref 6. Sannreynið:
Skref 7. Svarið spurningunni.
Rétthyrndir þríhyrningar
Sumir þríhyrningar bera sérstök heiti. Fyrst skoðum við rétthyrndan þríhyrning. Rétthyrndur þríhyrningur hefur eitt horn sem oft er merkt með tákninu á mynd 9.10.
Ef við vitum að þríhyrningur er rétthyrndur vitum við að eitt hornið er . Því þurfum við aðeins að vita stærð annars hinna hornanna til að ákvarða stærð þriðja hornsins.
Dæmi 9.19
Eitt horn rétthyrnds þríhyrnings er Hver er stærð þriðja hornsins?
Lausn
Skref 1. Lesið verkefnið. Teiknið mynd og merkið gefnar upplýsingar inn á hana.
Skref 2. Finnið að hverju er leitað.
Skref 3. Gefið heiti. Veljið breytu sem táknar stærðina.
Skref 4. Þýðið. Skrifið viðeigandi formúlu og setjið gildin inn.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Skref 6. Sannreynið:
Skref 7. Svarið spurningunni.
Í dæmunum hingað til höfum við getað teiknað mynd og merkt inn á hana strax eftir að verkefnið var lesið. Í næsta dæmi þurfum við að skilgreina eitt horn út frá öðru. Við bíðum því með að teikna myndina þar til við höfum skrifað stæður fyrir öll hornin sem leitað er að.
Dæmi 9.20
Eitt horn rétthyrnds þríhyrnings er stærra en minnsta hornið. Finnið stærðir allra hornanna þriggja.
Lausn
Skref 1. Lesið verkefnið.
Skref 2. Finnið að hverju er leitað.
stærðir hornanna þriggja
Skref 3. Gefið heiti. Veljið breytu sem táknar minnsta hornið. Teiknið nú mynd og merkið gefnar upplýsingar inn á hana.
Skref 4. Þýðið. Skrifið viðeigandi formúlu og setjið stæðurnar inn í hana.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Skref 6. Sannreynið:
Skref 7. Svarið spurningunni.
Líkir þríhyrningar
Þegar við notum kort til að skipuleggja ferð, skissu til að smíða bókahillu eða snið til að sauma kjól vinnum við með líkar myndir. Í rúmfræði kallast tvær myndir líkar ef þær hafa nákvæmlega sömu lögun en ólíka stærð. Önnur er kvarðalíkan af hinni. Samsvarandi hliðar myndanna tveggja hafa sama hlutfall og öll samsvarandi horn þeirra eru jafn stór.
Þríhyrningarnir tveir á mynd 9.11 eru líkir. Hver hlið er fjórfalt lengri en samsvarandi hlið og samsvarandi horn þeirra eru jafn stór.
Mynd 9.11. Δ𝐴𝐵𝐶 og Δ𝑋𝑌𝑍 eru líkir þríhyrningar. Samsvarandi hliðar þeirra hafa sama hlutfall og samsvarandi horn eru jafn stór.
Vísa má til hliðar þríhyrnings með endapunktum hennar, það er tveimur hornpunktum þríhyrningsins. Til dæmis í
Við notum þessa táknun oft þegar við leysum verkefni um líka þríhyrninga því hún auðveldar okkur að para saman samsvarandi hliðarlengdir.
Dæmi 9.21
Δ𝐴𝐵𝐶 og Δ𝑋𝑌𝑍 eru líkir þríhyrningar. Lengdir tveggja hliða hvors þríhyrnings eru sýndar. Finnið lengd þriðju hliðar hvors þríhyrnings.
Lausn
Skref 1. Lesið verkefnið. Teiknið mynd og merkið gefnar upplýsingar inn á hana.
Myndin er gefin.
Skref 2. Finnið að hverju er leitað.
Lengdir hliða líkra þríhyrninga
Skref 3. Gefið heiti. Veljið breytu sem táknar stærðina.
Látum a tákna lengd þriðju hliðar ΔABC og Δ A B Cy tákna lengd þriðju hliðar ΔXYZ. Δ X Y Z
Skref 4. Þýðið.
Þríhyrningarnir eru líkir og því eru samsvarandi hliðar í sama hlutfalli. Því er AB/XY = BC/YZ = AC/XZ. A B/X Y = B C/Y Z = A C/X ZÞar sem hliðin A B = 4AB = 4 samsvarar hliðinni X Y = 3XY = 3 notum við AB/XY = 4/3hlutfallið AB/XY = til að finna hinar hliðarnar. Gætið þess að para samsvarandi hliðar rétt saman.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Skref 6. Sannreynið:
Skref 7. Svarið spurningunni.
Þriðja hliðin í ΔABC Δ A B Cer 6 og þriðja hliðin í ΔXYZ Δ X Y Zer 2,4.
Nota setningu Pýþagórasar
Setning Pýþagórasar er sérstakur eiginleiki rétthyrndra þríhyrninga sem hefur verið notaður frá fornu fari. Hún er kennd við gríska heimspekinginn og stærðfræðinginn Pýþagóras, sem var uppi um f.Kr.
Munið að rétthyrndur þríhyrningur hefur eitt horn, sem við merkjum yfirleitt með litlum ferningi í horninu. Hliðin á móti horninu kallast langhlið og hinar tvær hliðarnar kallast skammhliðar. Sjá mynd 9.12.
Mynd 9.12. Í rétthyrndum þríhyrningi kallast hliðin á móti horninu langhlið og hvor hinna hliðanna kallast skammhlið.
Setning Pýþagórasar lýsir tengslum milli lengda hliðanna þriggja í rétthyrndum þríhyrningi. Hún segir að í sérhverjum rétthyrndum þríhyrningi sé summa ferninga skammhliðanna jöfn ferningi langhliðarinnar.
Til að leysa verkefni með setningu Pýþagórasar þurfum við að finna ferningsrætur. Í kaflanum Einfalda og nota ferningsrætur kynntum við ritháttinn og skilgreindum hann á eftirfarandi hátt:
Til dæmis komumst við að því að er vegna þess að
Við notum þessa skilgreiningu á ferningsrót til að finna lengd hliðar í rétthyrndum þríhyrningi.
Dæmi 9.22
Notið setningu Pýþagórasar til að finna lengd langhliðarinnar.
Lausn
Skref 1. Lesið verkefnið.
Skref 2. Finnið að hverju er leitað.
lengd langhliðar þríhyrningsins
Skref 3. Gefið heiti. Veljið breytu sem táknar stærðina.
Látum c tákna lengd langhliðarinnar. c = lengd langhliðarinnar
Kelvin er að byggja garðskála og vill styrkja hvert horn með því að setja 10 tommu timburstífu á ská eins og sýnt er. Hve langt niður frá horninu á hann að festa stífuna ef fjarlægðin frá horninu að hvorum enda stífunnar á að vera sú sama? Námundið að næsta tíunda hluta tommu.
Lausn
Skref 1. Lesið verkefnið.
Skref 2. Finnið að hverju er leitað.
fjarlægðina frá horninu þar sem festa á stífuna
Skref 3. Gefið heiti. Veljið breytu sem táknar stærðina.
Kelvin á að festa hvora timburstífu um það bil 7,1 tommu frá horninu.
Æfingar í kafla 9.3
Æfingin skapar meistarann
Nota eiginleika horna
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna ⓐ frændhorn og ⓑ lagshorn gefna hornsins.
81.
53°
82.
16°
83.
29°
84.
72°
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota eiginleika horna til að leysa verkefnin.
85.
Finnið frændhorn horns.
86.
Finnið lagshorn horns.
87.
Finnið lagshorn 27.5° horns.
88.
Finnið frændhorn 109.5° horns.
89.
Tvö horn eru frændhorn. Stærra hornið er stærra en minna hornið. Finnið stærð beggja hornanna.
90.
Tvö horn eru frændhorn. Minna hornið er minna en stærra hornið. Finnið stærð beggja hornanna.
91.
Tvö horn eru lagshorn. Minna hornið er minna en stærra hornið. Finnið stærð beggja hornanna.
92.
Tvö horn eru lagshorn. Stærra hornið er stærra en minna hornið. Finnið stærð beggja hornanna.
Nota eiginleika þríhyrninga
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið leysa verkefnin með eiginleikum þríhyrninga.
93.
Tvö horn þríhyrnings eru og Finnið stærð þriðja hornsins.
94.
Tvö horn þríhyrnings eru og Finnið stærð þriðja hornsins.
95.
Tvö horn þríhyrnings eru og Finnið stærð þriðja hornsins.
96.
Tvö horn þríhyrnings eru og Finnið stærð þriðja hornsins.
97.
Eitt horn rétthyrnds þríhyrnings er Hver er stærð hins hvassa hornsins?
98.
Eitt horn rétthyrnds þríhyrnings er Hver er stærð hins hvassa hornsins?
99.
Eitt horn rétthyrnds þríhyrnings er 22.5°. Hver er stærð hins hvassa hornsins?
100.
Eitt horn rétthyrnds þríhyrnings er 36.5°. Hver er stærð hins hvassa hornsins?
101.
Hvössu hornin tvö í rétthyrndum þríhyrningi eru jafnstór. Finnið stærðir hornanna þriggja.
102.
Minnsta horn rétthyrnds þríhyrnings er minna en hitt hvassa hornið. Finnið stærðir allra hornanna þriggja.
103.
Horn þríhyrnings eru þannig að eitt hornið er tvöfalt stærra en minnsta hornið og þriðja hornið er þrefalt stærra en minnsta hornið. Finnið stærðir allra hornanna þriggja.
104.
Horn þríhyrnings eru þannig að eitt hornið er stærra en minnsta hornið og þriðja hornið er þrefalt stærra en minnsta hornið. Finnið stærðir allra hornanna þriggja.
Finna lengd hliðarinnar sem vantar
Í eftirfarandi æfingum er þríhyrningurinn líkur þríhyrningnum Finnið lengd tilgreindu hliðarinnar.
105.
hlið
106.
hlið
Á korti mynda San Francisco, Las Vegas og Los Angeles þríhyrning með hliðarnar sem sýndar eru á myndinni hér fyrir neðan. Raunveruleg fjarlægð frá Los Angeles til Las Vegas er mílur.
107.
Finnið fjarlægðina frá Los Angeles til San Francisco.
108.
Finnið fjarlægðina frá San Francisco til Las Vegas.
Nota setningu Pýþagórasar
Notið setningu Pýþagórasar í eftirfarandi æfingum til að finna lengd langhliðarinnar.
109.
110.
111.
112.
Finna lengd hliðarinnar sem vantar
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota setningu Pýþagórasar til að finna lengd hliðarinnar sem vantar. Námundið að næsta tíunda hluta ef þess þarf.
113.
114.
115.
116.
117.
118.
119.
120.
Leysið eftirfarandi æfingar. Námundið að næsta tíunda hluta ef þess þarf.
121.
Ljósasería, 13 feta löng, verður fest efst á 12 feta háum staur sem hluti af hátíðarskreytingu. Hve langt frá neðri enda staursins á að festa hinn enda ljósaseríunnar?
122.
Pam vill setja borða á ská yfir bílskúrshurðina til að óska syni sínum til hamingju með háskólaútskriftina. Bílskúrshurðin er fet á hæð og fet á breidd. Hve langur þarf borðinn að vera til að ná yfir hurðina?
123.
Chi ætlar að leggja stíg úr hellum á ská í gegnum blómagarðinn sinn. Garðurinn er ferningur með feta hliðar. Hve langur verður stígurinn?
124.
Brian fékk lánaðan 20 feta framlengingarstiga til að mála húsið sitt. Ef hann setur neðri enda stigans 6 fet frá húsinu, hve langt upp nær efri endi stigans?
Stærðfræði daglegs lífs
125.
Smíði kvarðalíkans: Joe vill smíða dúkkuhús handa dóttur sinni. Hann vill að dúkkuhúsið líti nákvæmlega eins út og húsið hans. Húsið er 30 fet á breidd og 35 fet á hæð þar sem þakið er hæst. Ef dúkkuhúsið verður 2.5 fet á breidd, hve hátt verður það þar sem þakið er hæst?
126.
Mæling: Borgarverkfræðingur ætlar að byggja göngubrú yfir stöðuvatn frá punkti X að punkti Y, eins og sýnt er á myndinni. Til að finna lengd brúarinnar teiknar hún rétthyrndan þríhyrning XYZ, með rétt horn við X. Hún mælir fjarlægðina frá X að Z,800 fetum og frá Y að Z,1,000 fetum. Hve löng verður brúin?
Ritunaræfingar
127.
Skrifið þrjá eiginleika þríhyrninga úr þessum kafla og útskýrið síðan hvern þeirra með eigin orðum.
128.
Útskýrið hvernig myndin hér fyrir neðan sýnir setningu Pýþagórasar fyrir þríhyrning með skammhliðar sem eru 3 og 4.
Sjálfsmat
ⓐ Þegar þið hafið lokið æfingunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hve vel þið hafið náð markmiðum kaflans.
ⓑ Hvað segir gátlistinn um hve vel þið hafið náð tökum á efni kaflans? Hvaða skref ætlið þið að taka til að bæta ykkur?
