11.4 Skiljið hallatölu línu

11.4 Skiljið hallatölu línu

Þegar við höfum teiknað gröf línulegra jafna höfum við séð að sumar línur hækka frá vinstri til hægri en aðrar lækka. Sumar línur eru mjög brattar en aðrar hallaminni. Hvað ræður því hvort lína hækkar eða lækkar og hvort hún er brött eða hallalítil?

Bratti línu kallast hallatala hennar. Hallatala kemur víða við sögu í daglegu lífi. Þakhalli, veghalli og halli skábrautar fyrir hjólastóla eru dæmi þar sem halla má sjá með berum augum. Þegar þið hjólið finnið þið líka fyrir hallanum þegar þið stígið upp brekku eða rennið niður hana.

Notið pinnabretti til að sýna hallatölu

Í þessum hluta könnum við hugtakið hallatala.

Með teygjum á pinnabretti getum við sýnt línur í hnitakerfi á áþreifanlegan hátt. Með því að strekkja teygju milli tveggja pinna á pinnabretti getum við kannað hvernig hallatala línu er fundin.

Lítur þetta út eins og lína?

Þegar unnið er með pinnabretti er góð venja að byrja við pinna vinstra megin og tengja hann við pinna hægra megin. Síðan teygjum við teygjuna þannig að hún myndi rétthyrndan þríhyrning.

Ef við byrjum á að fara upp er lóðrétta breytingin jákvæð en ef við teygjum teygjuna niður er hún neikvæð. Við teljum láréttu breytinguna frá vinstri til hægri, eins og þið lesið þessa málsgrein, og hún verður því jákvæð.

Þar sem formúlan fyrir hallatölu hefur lóðréttu breytinguna fyrir ofan láréttu breytinguna getur verið auðveldara að telja alltaf fyrst lóðréttu breytinguna og síðan þá láréttu.

Dæmi 11.30

Hver er hallatala línunnar á pinnabrettinu sem sýnt er?

Lausn

Notið skilgreiningu hallatölu.

𝑚=lóðrétt breytinglárétt breyting$m=\frac{\text{lóðrétt breyting}}{\text{lárétt breyting}}$

Byrjið við vinstri pinnann og myndið rétthyrndan þríhyrning með því að teygja teygjuna upp og til hægri að hinum pinnanum.

Teljið lóðréttu og láréttu breytinguna eins og sýnt er.

Lóðrétta breytingin er3einingar.𝑚=3lárétt breytingLárétta breytingin er4einingar.𝑚=34Hallatalan er34.$\begin{array}{cccc}\text{Lóðrétta breytingin er}3\text{einingar}.\hfill & & & m=\frac{3}{\text{lárétt breyting}}\hfill \\ \text{Lárétta breytingin er}4\text{einingar}.\hfill & & & m=\frac{3}{4}\hfill \\ & & & \text{Hallatalan er}\frac{3}{4}.\hfill \end{array}$

Dæmi 11.31

Hver er hallatala línunnar á pinnabrettinu sem sýnt er?

Lausn

Notið skilgreiningu hallatölu.

𝑚=lóðrétt breytinglárétt breyting$m=\frac{\text{lóðrétt breyting}}{\text{lárétt breyting}}$

Byrjið við vinstri pinnann og myndið rétthyrndan þríhyrning með því að teygja teygjuna að pinnanum hægra megin. Í þetta sinn þarf að teygja hana niður til að mynda lóðréttu skammhliðina og því er lóðrétta breytingin neikvæð.

Lóðrétta breytingin er−1.𝑚=−1lárétt breytingLárétta breytingin er3.𝑚=−13𝑚=−13Hallatalan er−13.$\begin{array}{cccc}\text{Lóðrétta breytingin er}\mathrm{-1}.\hfill & & & m=\frac{\mathrm{-1}}{\text{lárétt breyting}}\hfill \\ \text{Lárétta breytingin er}3.\hfill & & & m=\frac{\mathrm{-1}}{3}\hfill \\ & & & m=-\frac{1}{3}\hfill \\ & & & \text{Hallatalan er}-\frac{1}{3}.\hfill \end{array}$

Lesið frá vinstri til hægri hækkar línan á mynd A og hefur jákvæða hallatölu. Línan á mynd B lækkar og hefur neikvæða hallatölu.

Dæmi 11.32

Notið pinnabretti til að sýna línu með hallatöluna $\frac{1}{2}.$

Lausn

Til að sýna línu með tiltekinni hallatölu á pinnabretti þurfum við að þekkja lóðréttu og láréttu breytinguna.

Notið formúluna fyrir hallatölu.	𝑚 = r i s e r u n m = rise/run
Setjið 1 2 $\frac{1}{2}$ í mstað 𝑚 m $\frac{1}{2}$.	1 2 = r i s e r u n $\frac{1}{2}$ = rise/run

Lóðrétta breytingin er því $1$ eining og sú lárétta $2$ einingar.

Byrjið við pinna neðst til vinstri á pinnabrettinu. Teygið teygjuna $1$ einingu upp og síðan $2$ einingar til hægri.

Langhlið rétthyrnda þríhyrningsins sem teygjan myndar táknar línu með hallatöluna $\frac{1}{2}.$

Dæmi 11.33

Notið pinnabretti til að sýna línu með hallatöluna $\frac{\mathrm{-1}}{4},$

Lausn

Notið formúluna fyrir hallatölu.	𝑚 = r i s e r u n m = rise/run
Setjið − 1 4 − $\frac{1}{4}$ mí stað 𝑚 m − $\frac{1}{4}$.	− 1 4 = r i s e r u n − $\frac{1}{4}$ = rise/run

Lóðrétta breytingin er því $\mathrm{-1}$ og sú lárétta $4.$

Þar sem lóðrétta breytingin er neikvæð veljum við upphafspinna efst til vinstri svo nægilegt rými sé til að telja niður. Við teygjum teygjuna $1$ einingu niður og síðan $4$ einingar til hægri.

Langhlið rétthyrnda þríhyrningsins sem teygjan myndar táknar línu með hallatöluna $-\frac{1}{4}.$

Finnið hallatölu línu út frá grafi hennar

Nú skoðum við nokkur gröf í hnitakerfi og finnum hallatölur þeirra. Aðferðin er mjög lík þeirri sem við sýndum á pinnabrettunum.

Til að finna hallatöluna verðum við að telja lóðréttu og láréttu breytinguna. En hvar byrjum við?

Við finnum tvo punkta á línunni. Til að auðvelda útreikningana reynum við að velja punkta með heiltöluhnit. Síðan byrjum við við punktinn vinstra megin og teiknum rétthyrndan þríhyrning svo hægt sé að telja lóðréttu og láréttu breytinguna.

Dæmi 11.34

Finnið hallatölu línunnar sem sýnd er:

Lausn

Finnið tvo punkta á grafinu og veljið punkta með heiltöluhnit. Við notum $(0,\mathrm{-3})$ og $(5,1).$

Byrjið við punktinn vinstra megin, $(0,\mathrm{-3}),$ og teiknið rétthyrndan þríhyrning frá fyrri punktinum að þeim síðari, $(5,1).$

Teljið lóðréttu breytinguna eftir lóðréttri skammhlið þríhyrningsins.	Lóðrétta breytingin er 4 einingar.
Teljið láréttu breytinguna eftir láréttu skammhliðinni.	Lárétta breytingin er 5 einingar.
Notið formúluna fyrir hallatölu.	𝑚 = r i s e r u n m = rise/run
Setjið gildi lóðréttu og láréttu breytingarinnar inn í formúluna.	𝑚 = 4 5 m = $\frac{4}{5}$
	Hallatala línunnar er $\frac{4}{5}$ .

Takið eftir að hallatalan er jákvæð þar sem línan hækkar frá vinstri til hægri.

Dæmi 11.35

Finnið hallatölu línunnar sem sýnd er:

Lausn

Finnið tvo punkta á grafinu og leitið að punktum með heiltöluhnit. Velja má hvaða punkta sem er, en við notum (0, 5) og (3, 3). Byrjið við punktinn vinstra megin og teiknið rétthyrndan þríhyrning þannig að langhliðin liggi frá fyrri punktinum að þeim síðari.

Teljið lóðréttu breytinguna — hún er neikvæð.	Lóðrétta breytingin er −2.
Teljið láréttu breytinguna.	Lárétta breytingin er 3.
Notið formúluna fyrir hallatölu.	𝑚 = r i s e r u n m = rise/run
Setjið gildi lóðréttu og láréttu breytingarinnar inn í formúluna.	𝑚 = − 2 3 m = −$\frac{2}{3}$
Einfaldið.	𝑚 = − 2 3 m = − $\frac{2}{3}$
	Hallatala línunnar er − $\frac{2}{3}$ .

Takið eftir að hallatalan er neikvæð þar sem línan lækkar frá vinstri til hægri.

Hvað gerist ef við veljum aðra punkta? Finnum hallatölu línunnar aftur og notum nú aðra punkta. Við notum punktana $(\mathrm{-3},7)$ og $(6,1).$

Byrjið í $(\mathrm{-3},7),$ og teiknið rétthyrndan þríhyrning að $(6,1).$

Teljið lóðréttu breytinguna.	Lóðrétta breytingin er −6.
Teljið láréttu breytinguna.	Lárétta breytingin er 9.
Notið formúluna fyrir hallatölu.	𝑚 = r i s e r u n m = rise/run
Setjið gildi lóðréttu og láréttu breytingarinnar inn í formúluna.	𝑚 = − 6 9 m = −$\frac{6}{9}$
Fullstyttið brotið.	𝑚 = − 2 3 m = − $\frac{2}{3}$
	Hallatala línunnar er − $\frac{2}{3}$ .

Það skiptir ekki máli hvaða punkta þið notið — hallatala línunnar er alltaf sú sama. Hallatala línu er föst tala.

Dæmi 11.36

Finnið hallatölu línunnar sem sýnd er:

Lausn

Finnið tvo punkta á grafinu sem hafa heiltöluhnit.	( 2 , 3 ) og ( 7 , 6 )
Hvor punkturinn er vinstra megin?	( 2 , 3 ) ( 2 , 3 )
Byrjið í ( 2 , 3 ) og teiknið rétt horn að ( 7 , 6 ) eins og sýnt er hér á eftir.

Teljið lóðréttu breytinguna.	Lóðrétta breytingin er 3.
Teljið láréttu breytinguna.	Lárétta breytingin er 5.
Notið formúluna fyrir hallatölu.	𝑚 = r i s e r u n m = rise/run
Setjið gildi lóðréttu og láréttu breytingarinnar inn í formúluna.	𝑚 = 3 5 m = $\frac{3}{5}$
	Hallatala línunnar er $\frac{3}{5}$ .

Finnið hallatölu láréttra og lóðréttra lína

Munið þið hvað var sérstakt við láréttar og lóðréttar línur? Jöfnur þeirra höfðu aðeins eina breytu.

• lárétt lína $y=b;$ öll $y$ -hnitin eru eins.
• lóðrétt lína $x=a;$ öll $x$ -hnitin eru eins.

Notið formúluna fyrir hallatölu til að finna hallatölu línu milli tveggja punkta

Stundum þurfum við að finna hallatölu línu milli tveggja punkta án þess að hafa graf til að telja lóðréttu og láréttu breytinguna. Við gætum merkt punktana inn á rúðustrikaðan pappír og talið breytingarnar, en einnig má finna hallatöluna án þess að teikna graf.

Stærðfræðingar nota lágvísa til að greina punktana að. Lágvísir er lítil tala sem er rituð hægra megin við breytu og örlítið neðar.

• (𝑥1,𝑦1)lesið𝑥lágvísir1,𝑦lágvísir1$(x_1,y_1)\text{lesið}x\text{lágvísir}1,y\text{lágvísir}1$
• (𝑥2,𝑦2)lesið𝑥lágvísir2,𝑦lágvísir2$(x_2,y_2)\text{lesið}x\text{lágvísir}2,y\text{lágvísir}2$

Þar sem við höfum tvo punkta notum við rithátt með lágvísum.

Segið formúluna upphátt við ykkur sjálf til að auðveldara sé að muna hana:

Dæmi 11.38

Finnið hallatölu línunnar milli punktanna $\left(1,2\right)$ og $\left(4,5\right).$

Lausn

Við köllum ( 1 , 2 ) punkt nr. 1 og ( 4 , 5 ) punkt nr. 2.	𝑥 1 , 𝑦 1 ( 1 , 2 ) a n d 𝑥 2 , 𝑦 2 ( 4 , 5 ) ( 1 , 2 ) x1 , y 1 and ( 4 , 5 ) x2 , y2
Notið formúluna fyrir hallatölu.	𝑚 = 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1 m = y2 − y 1/x2 − x1
Setjið gildin inn í formúluna fyrir hallatölu:
y seinni punktsins mínus y fyrri punktsins	𝑚 = 5 − 2 𝑥 2 − 𝑥 1 m = 5 − 2/x2 − x1
x seinni punktsins mínus x fyrri punktsins	𝑚 = 5 − 2 4 − 1 m = 5 − $\frac{2}{4}$ − 1
Einfaldið teljarann og nefnarann.	𝑚 = 3 3 m = $\frac{3}{3}$
	𝑚 = 1 m = 1

Staðfestum þetta með því að telja breytingarnar á grafinu.

Lóðrétta breytingin er $3$ og sú lárétta $3,$ og því

𝑚=lóðrétt breytinglárétt breyting𝑚=33𝑚=1$\begin{array}{}\\ m=\frac{\text{lóðrétt breyting}}{\text{lárétt breyting}}\hfill \\ m=\frac{3}{3}\hfill \\ m=1\hfill \end{array}$

Hvernig vitum við hvorn punktinn á að kalla nr. 1 og hvorn nr. 2? Finnum hallatöluna aftur, en víxlum nú heitum punktanna til að sjá hvað gerist. Þar sem við teljum nú láréttu breytinguna frá hægri til vinstri verður hún neikvæð.

Hallatalan verður sú sama óháð því í hvaða röð punktarnir eru notaðir.

Dæmi 11.39

Finnið hallatölu línunnar gegnum punktana $\left(\mathrm{-2},\mathrm{-3}\right)$ og $\left(\mathrm{-7},4\right).$

Lausn

Við köllum ( −2 , −3 ) punkt nr. 1 og ( −7 , 4 ) punkt nr. 2.	𝑥 1 , 𝑦 1 ( − 2 , − 3 ) a n d 𝑥 2 , 𝑦 2 ( − 7 , 4 ) ( −2 , −3 ) x1 , y 1 and ( −7 , 4 ) x2 , y2
Notið formúluna fyrir hallatölu.	𝑚 = 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1 m = y2 − y 1/x2 − x1
Setjið gildin inn
y seinni punktsins mínus y fyrri punktsins	𝑚 = 4 − ( − 3 ) 𝑥 2 − 𝑥 1 m = 4 − ( −3 )/x 2 − x1
x seinni punktsins mínus x fyrri punktsins	𝑚 = 4 − ( − 3 ) − 7 − ( − 2 ) m = 4 − ( −3 )/−7 − ( −2 )
Einfaldið.	𝑚 = 7 − 5 m = 7/−5
	𝑚 = − 7 5 m = − $\frac{7}{5}$

Staðfestum þetta á grafinu sem sýnt er.

𝑚=lóðrétt breytinglárétt breyting𝑚=−75𝑚=−75$\begin{array}{}\\ \\ \\ m=\frac{\text{lóðrétt breyting}}{\text{lárétt breyting}}\\ m=\frac{\mathrm{-7}}{5}\\ m=-\frac{7}{5}\end{array}$

Teiknið graf línu þegar punktur og hallatala eru gefin

Í þessum kafla höfum við teiknað gröf lína með því að merkja punkta, nota skurðpunkta við ása og þekkja láréttar og lóðréttar línur.

Önnur aðferð til að teikna gröf lína er punkthallaaðferðin. Stundum er gefinn einn punktur og hallatala línunnar í stað jöfnu hennar. Þá notum við skilgreiningu hallatölu til að teikna graf línunnar.

Dæmi 11.40

Teiknið graf línunnar sem liggur um punktinn $\left(1,\mathrm{-1}\right)$ og hefur hallatöluna $m=\frac{3}{4}.$

Lausn

Merkið gefna punktinn ( 1 , − 1 ) . ( 1 , −1 ) inn. $\left(1,\mathrm{-1}\right).$

Notið formúluna fyrir hallatölu $m=\frac{\text{lóðrétt breyting}}{\text{lárétt breyting}}$ til að finna lóðréttu og láréttu breytinguna.

$$\begin{array}{}\\ \\ m=\frac{3}{4}\hfill \\ \frac{\text{lóðrétt breyting}}{\text{lárétt breyting}}=\frac{3}{4}\hfill \\ \\ \\ \text{lóðrétt breyting}=3\hfill \\ \text{lárétt breyting}=4\hfill \end{array}$$

Byrjið við punktinn sem við merktum inn, teljið lóðréttu og láréttu breytinguna og merkið seinni punktinn. Við teljum $3$ einingar upp og $4$ einingar til hægri.

Síðan tengjum við punktana með línu og teiknum örvar á enda hennar til að sýna að hún heldur áfram.

Við getum sannreynt línuna með því að byrja í hvaða punkti hennar sem er, telja $3$ einingar upp og fara síðan til hægri um $4.$ Þá eigum við að lenda í öðrum punkti á línunni.

Dæmi 11.41

Teiknið graf línunnar sem hefur skurðpunkt við $y$-ás, $\left(0,2\right)$, og hallatöluna $m=-\frac{2}{3}.$

Lausn

Merkið skurðpunktinn við $y$-ás, $\left(0,2\right).$

Notið formúluna fyrir hallatölu $m=\frac{\text{lóðrétt breyting}}{\text{lárétt breyting}}$ til að finna lóðréttu og láréttu breytinguna.

$$\begin{array}{}\\ \\ m=-\frac{2}{3}\hfill \\ \frac{\text{lóðrétt breyting}}{\text{lárétt breyting}}=\frac{\mathrm{-2}}{3}\hfill \\ \\ \\ \text{lóðrétt breyting}=\mathrm{–2}\hfill \\ \text{lárétt breyting}=3\hfill \end{array}$$

Byrjið í $(0,2),$ teljið lóðréttu og láréttu breytinguna og merkið seinni punktinn inn.

Tengið punktana með línu.

Dæmi 11.42

Teiknið graf línunnar sem liggur um punktinn $(\mathrm{-1},\mathrm{-3})$ og hefur hallatöluna $m=4.$

Lausn

Merkið gefna punktinn inn.

Finnið lóðréttu og láréttu breytinguna.	𝑚 = 4 m = 4
Ritið 4 sem brot.	r i s e r u n = 4 1 rise/run = $\frac{4}{1}$
	r i s e = 4 r u n = 1 rise = 4 run = 1

Teljið lóðréttu og láréttu breytinguna.

Merkið seinni punktinn inn og tengið punktana tvo með línu.

Leysið hagnýt verkefni um hallatölu

Í upphafi kaflans sögðum við að hallatala kæmi víða við sögu í daglegu lífi. Skoðum nú nokkur dæmi.

Dæmi 11.43

Þakhalli byggingar er hallatala þaksins. Mikilvægt er að þekkja þakhallann á svæðum þar sem snjóar mikið. Ef þakið er of flatt getur snjóþunginn valdið því að það hrynur. Hver er hallatala þaksins sem sýnt er?

Lausn

Notið formúluna fyrir hallatölu.	𝑚 = r i s e r u n m = rise/run
Setjið inn gildi lóðréttu og láréttu breytingarinnar.	𝑚 = 9 f t 1 8 f t m = 9 ft/18 ft
Einfaldið.	𝑚 = 1 2 m = $\frac{1}{2}$
	Hallatala þaksins er $\frac{1}{2}$ .

Hafið þið einhvern tíma hugsað um frárennslislagnirnar sem liggja frá húsinu ykkar að götunni? Halli þeirra skiptir miklu fyrir það hvernig þær flytja úrgang frá húsinu.

Dæmi 11.44

Frárennslislagnir verða að halla niður um $\frac{1}{4}$ tommu á hvert fet til að frárennslið virki rétt. Hver þarf hallatalan að vera?

Lausn

Notið formúluna fyrir hallatölu.	𝑚 = r i s e r u n m = rise/run
	𝑚 = − 1 4 i n . 1 f t m = − $\frac{1}{4}$ in ./1 ft
	𝑚 = − 1 4 i n . 1 f t m = − $\frac{1}{4}$ in ./1 ft
Breytið 1 feti í 12 tommur.	𝑚 = − 1 4 i n . 1 2 i n . m = − $\frac{1}{4}$ in ./12 in.
Einfaldið.	𝑚 = − 1 4 8 m = − $\frac{1}{48}$
	Hallatala lagnarinnar er − $\frac{1}{48}$ .

Æfingar úr kafla 11.4

Æfingin skapar meistarann

Finnið hallatöluna sem sýnd er á hverju pinnabretti í eftirfarandi verkefnum.

203.

204.

205.

206.

Sýnið hverja hallatölu í eftirfarandi æfingum. Teiknið mynd af niðurstöðunni.

207.

23$\frac{2}{3}$

208.

34$\frac{3}{4}$

209.

14$\frac{1}{4}$

210.

43$\frac{4}{3}$

211.

−12$-\frac{1}{2}$

212.

−34$-\frac{3}{4}$

213.

−23$-\frac{2}{3}$

214.

−32$-\frac{3}{2}$

Finnið hallatölu línu út frá grafi hennar

Finnið hallatölu hverrar línu sem sýnd er í eftirfarandi æfingum.

215.

216.

217.

218.

219.

220.

221.

222.

223.

224.

225.

226.

227.

228.

229.

230.

Finnið hallatölu láréttra og lóðréttra lína

Finnið hallatölu hverrar línu í eftirfarandi æfingum.

231.

𝑦=3$y=3$

232.

𝑦=1$y=1$

233.

𝑥=4$x=4$

234.

𝑥=2$x=2$

235.

𝑦=−2$y=\mathrm{-2}$

236.

𝑦=−3$y=\mathrm{-3}$

237.

𝑥=−5$x=\mathrm{-5}$

238.

𝑥=−4$x=\mathrm{-4}$

Notið formúluna fyrir hallatölu til að finna hallatölu línu milli tveggja punkta

Notið formúluna fyrir hallatölu í eftirfarandi æfingum til að finna hallatölu línunnar milli hvers punktapars.

239.

(1,4),(3,9)$\left(1,4\right),\left(3,9\right)$

240.

(2,3),(5,7)$\left(2,3\right),\left(5,7\right)$

241.

(0,3),(4,6)$\left(0,3\right),\left(4,6\right)$

242.

(0,1),(5,4)$\left(0,1\right),\left(5,4\right)$

243.

(2,5),(4,0)$\left(2,5\right),\left(4,0\right)$

244.

(3,6),(8,0)$\left(3,6\right),\left(8,0\right)$

245.

(−3,3),(2,−5)$\left(\mathrm{-3},3\right),\left(2,\mathrm{-5}\right)$

246.

(−2,4),(3,−1)$\left(\mathrm{-2},4\right),\left(3,\mathrm{-1}\right)$

247.

(−1,−2),(2,5)$\left(\mathrm{-1},\mathrm{-2}\right),\left(2,5\right)$

248.

(−2,−1),(6,5)$\left(\mathrm{-2},\mathrm{-1}\right),\left(6,5\right)$

249.

(4,−5),(1,−2)$\left(4,\mathrm{-5}\right),\left(1,\mathrm{-2}\right)$

250.

(3,−6),(2,−2)$\left(3,\mathrm{-6}\right),\left(2,\mathrm{-2}\right)$

Teiknið graf línu þegar punktur og hallatala eru gefin

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið teikna graf línunnar út frá gefnum punkti og hallatölu.

251.

(1,−2);𝑚=34$\left(1,\mathrm{-2}\right);m=\frac{3}{4}$

252.

(1,−1);𝑚=12$\left(1,\mathrm{-1}\right);m=\frac{1}{2}$

253.

(2,5);𝑚=−13$\left(2,5\right);m=-\frac{1}{3}$

254.

(1,4);𝑚=−12$\left(1,4\right);m=-\frac{1}{2}$

255.

(−3,4);𝑚=−32$\left(\mathrm{-3},4\right);m=-\frac{3}{2}$

256.

(−2,5);𝑚=−54$\left(\mathrm{-2},5\right);m=-\frac{5}{4}$

257.

(−1,−4);𝑚=43$\left(\mathrm{-1},\mathrm{-4}\right);m=\frac{4}{3}$

258.

(−3,−5);𝑚=32$\left(\mathrm{-3},\mathrm{-5}\right);m=\frac{3}{2}$

259.

(0,3);𝑚=−25$\left(0,3\right);m=-\frac{2}{5}$

260.

(0,5);𝑚=−43$\left(0,5\right);m=-\frac{4}{3}$

261.

(−2,0);𝑚=34$\left(\mathrm{-2},0\right);m=\frac{3}{4}$

262.

(−1,0);𝑚=15$\left(\mathrm{-1},0\right);m=\frac{1}{5}$

263.

(−3,3);𝑚=2$\left(\mathrm{-3},3\right);m=2$

264.

(−4,2);𝑚=4$\left(\mathrm{-4},2\right);m=4$

265.

(1,5);𝑚=−3$\left(1,5\right);m=\mathrm{-3}$

266.

(2,3);𝑚=−1$\left(2,3\right);m=\mathrm{-1}$

Leysið hagnýt verkefni um hallatölu

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið leysa hagnýt verkefni um hallatölu.

267.

Þakhalli. Tiltölulega auðveld leið til að ákvarða hallatölu þaks er að leggja $\text{12 tommur}$ hallamál með annan endann á þakflötinn. Mælið síðan frá hinum enda hallamálsins niður að þakfletinum með málbandi eða reglustiku. Nota má þessar mælingar til að reikna hallatölu þaksins. Hver er hallatala þaksins á myndinni?

268.

Hver er hallatala þaksins sem sýnt er?

269.

Veghalli. Vegur í nágrenninu hefur hallann $\text{6\%}.$ Veghalli er hallatala vegarins gefin upp í prósentum.

1. ⓐ Finnið hallatölu vegarins sem brot og fullstyttið síðan brotið.
2. ⓑ Hvaða lóðrétta og lárétta breyting endurspeglar þessa hallatölu eða þennan veghalla?

270.

Hallatala þjóðvegar. Vegur í nágrenninu hækkar um $2$ fet fyrir hver $50$ fet eftir veginum.

1. ⓐ Hver er hallatala vegarins?
2. ⓑ Veghalli er hallatala vegar gefin upp í prósentum. Hver er veghalli þessa vegar?

Stærðfræði daglegs lífs

271.

Hjólstólarampur. Samkvæmt reglum um hjólstólarampa má lóðrétt hækkun að hámarki vera $1$ tomma fyrir hverjar $12$ tommur í lárétta átt.

1. ⓐ Hvaða láréttu lengd þarf rampurinn að hafa til að ná lóðréttri hækkun upp að dyrunum sem nemur $\text{24 tommur}$?
2. ⓑ Teiknið líkan af rampinum.

272.

Hjólstólarampur. Ef lóðrétt hækkun er $\text{1 tomma}$ fyrir hverjar $\text{16 tommur}$ í lárétta átt er auðveldara fyrir hjólastólanotanda að fara upp rampinn.

1. ⓐ Hvaða láréttu lengd þarf rampurinn að hafa svo auðvelt sé að ná lóðréttri hækkun upp að dyrunum sem nemur $\text{24 tommur}$?
2. ⓑ Teiknið líkan af rampinum.

Ritunaræfingar

273.

Hvað segir formerki hallatölunnar um línu?

274.

Hvernig er graf línu með hallatöluna $m=\frac{1}{2}$ frábrugðið grafi línu með hallatöluna $m=2?$

275.

Hvers vegna er hallatala lóðréttrar línu óskilgreind?

276.

Útskýrið hvernig teikna má graf línu þegar punktur á henni og hallatala hennar eru gefin.

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið æfingunum skulið þið nota þennan gátlista til að meta hversu góðum tökum þið hafið náð á markmiðum kaflans.

ⓑ Hversu góðum tökum teljið þið ykkur hafa náð á efni kaflans á kvarðanum 1–10 í ljósi svaranna á gátlistanum? Hvernig getið þið bætt ykkur?