3.1 Kynning á heiltölum – Fornám í stærðfræði, 2. útgáfa (IS) | Námsgögn
33 Heiltölur
3.1 Kynning á heiltölum
3.1 Kynning á heiltölum
Námsmarkmið
Í lok þessa hluta eigið þið að geta:
Staðsett jákvæðar og neikvæðar tölur á talnalínu
Raðað jákvæðum og neikvæðum tölum
Fundið samlagningarandhverfur
Einfaldað stæður með tölugildi
Þýtt orðalag yfir á stæður með heiltölum
Staðsetjum jákvæðar og neikvæðar tölur á talnalínu
Búið þið þar sem veturnir eru mjög kaldir? Hafið þið einhvern tíma upplifað hitastig undir núlli? Ef svo er þekkið þið þegar neikvæðar tölur. Hugtakið neikvæð tala merkir tölu sem er minni en Mjög lágu hitastigi er lýst í gráðum undir núlli og má tákna það með neikvæðum tölum. Til dæmis er (lesið „mínus ein gráða á Fahrenheit-kvarða“) undir Mínusmerki er sett framan við tölu til að sýna að hún sé neikvæð. Mynd 3.2 sýnir sem er undir
Mynd 3.2. Hitastigi undir núlli er lýst með neikvæðum tölum.
Hitastig er ekki eina dæmið um neikvæðar tölur. Yfirdráttur á bankareikningi er annað dæmi. Ef einstaklingur skrifar ávísun fyrir hærri fjárhæð en innstæða hans nemur verður staðan á reikningnum neikvæð.
Hæð yfir eða undir sjávarmáli má einnig tákna með neikvæðum tölum. Hæð sjávarmáls er Hæð yfir sjávarmáli er jákvæð en hæð undir sjávarmáli er neikvæð. Dauðahafið, sem liggur að Ísrael og Jórdaníu, er um undir sjávarmáli. Því má tákna hæð Dauðahafsins sem Sjá Mynd 3.3.
Mynd 3.3. Hæð yfirborðs Miðjarðarhafsins er Teikningin sýnir að nálæg fjöll eru hærri (jákvæð hæð) en Dauðahafið er lægra (neikvæð hæð).
Dýpi undir yfirborði sjávar er einnig lýst með neikvæðum tölum. Kafbátur gæti til dæmis kafað niður. Staðsetning hans væri þá eins og merkt er á Mynd 3.4.
Mynd 3.4. Dýpi undir sjávarmáli er lýst með neikvæðum tölum. Kafbátur sem er undir sjávarmáli hefur hæðarhnitið
Bæði jákvæðar og neikvæðar tölur má sýna á talnalínu. Rifjið upp að talnalínan sem búin var til í Samlagningu núlls og jákvæðra heiltalna hófst við og sýndi talningartölurnar vaxa til hægri eins og sýnt er á Mynd 3.5. Talningartölurnar á talnalínunni eru allar jákvæðar. Við gætum skrifað plúsmerki, framan við jákvæða tölu, svo sem eða en venja er að sleppa plúsmerkinu og skrifa aðeins töluna. Ef ekkert formerki er sýnt er gert ráð fyrir að talan sé jákvæð.
Nú þurfum við að framlengja talnalínuna svo hún nái einnig yfir neikvæðar tölur. Við merkjum nokkrar einingar vinstra megin við núll og höfum jafn langt á milli merkja og jákvæða megin. Við skrifum við fyrsta strikið vinstra megin við við næsta strik og höldum þannig áfram. Sjá Mynd 3.6.
Mynd 3.6. Á talnalínu eru jákvæðar tölur hægra megin við núll og neikvæðar tölur vinstra megin við núll. En hvað um núll? Núll er hvorki jákvætt né neikvætt.
Örvarnar á endum línunnar sýna að talnalínan heldur endalaust áfram í báðar áttir. Engin jákvæð tala er stærst og engin neikvæð tala er minnst.
Dæmi 3.1
Setjið tölurnar á talnalínu:
ⓐ 3
ⓑ −3
ⓒ −2
Lausn
Teiknið talnalínu. Merkið í miðjuna og nokkrar einingar til vinstri og hægri.
ⓐ Til að setja skuluð þið byrja við og telja þrjár einingar til hægri. Merkið punkt eins og sýnt er á Mynd 3.7.
Mynd 3.7
ⓑ Til að setja skuluð þið byrja við og telja þrjár einingar til vinstri. Merkið punkt eins og sýnt er á Mynd 3.8.
Mynd 3.8
ⓒ Til að setja skuluð þið byrja við og telja tvær einingar til vinstri. Merkið punkt eins og sýnt er á Mynd 3.9.
Mynd 3.9
Röðum jákvæðum og neikvæðum tölum
Við getum notað talnalínuna til að bera saman og raða jákvæðum og neikvæðum tölum. Frá vinstri til hægri hækkar gildi talnanna. Frá hægri til vinstri lækkar gildi þeirra. Sjá Mynd 3.10.
Rétt eins og með jákvæðar tölur getum við notað ójöfnumerki til að sýna röð jákvæðra og neikvæðra talna. Munið að við notum ritháttinn (lesið er minna en ) þegar er vinstra megin við á talnalínunni. Við skrifum (lesið er stærra en ) þegar er hægra megin við á talnalínunni. Þetta er sýnt fyrir tölurnar og á Mynd 3.11.
Mynd 3.11. Talan er vinstra megin við á talnalínunni. Því er minni en og stærri en
Eftirfarandi talnalínur sýna nokkur fleiri dæmi.
ⓐ
er hægra megin við á talnalínunni og því er
er vinstra megin við á talnalínunni og því er
ⓑ
er vinstra megin við á talnalínunni og því er
er hægra megin við á talnalínunni og því er
ⓒ
er hægra megin við á talnalínunni og því er
er vinstra megin við á talnalínunni og því er
Dæmi 3.2
Raðið tölunum í hverju eftirfarandi pari með eða
ⓐ 14 ___6
ⓑ −1 ___9
ⓒ −1 ___−4
ⓓ 2 ___−20
Lausn
Byrjið á að merkja tölurnar á talnalínu eins og sýnt er á Mynd 3.12.
Mynd 3.12. Mynd 3.12
ⓐ Berið saman 14 og 6.
1 4 _ _ _ 6 14 ___ 6
14 er hægra megin við 6 á talnalínunni.
1 4 > 6 14 > 6
ⓑ Berið saman −1 og 9.
− 1 _ _ _ 9 −1 ___ 9
−1 er vinstra megin við 9 á talnalínunni.
− 1 < 9 −1 < 9
ⓒ Berið saman −1 og −4.
− 1 _ _ _ − 4 −1 ___ −4
−1 er hægra megin við −4 á talnalínunni.
− 1 > − 4 −1 > −4
ⓓ Berið saman 2 og −20.
2 _ _ _ − 2 0 2 ___ −20
2 er hægra megin við −20 á talnalínunni.
2 > − 2 0 2 > −20
Finnum samlagningarandhverfur
Á talnalínunni eru neikvæðu tölurnar spegilmynd jákvæðu talnanna með núll í miðjunni. Tölurnar og eru jafnlangt frá núlli og kallast því samlagningarandhverfur. Samlagningarandhverfa er og samlagningarandhverfa er eins og sýnt er á Mynd 3.13(a). Á sama hátt eru og samlagningarandhverfur eins og sýnt er á Mynd 3.13(b).
Dæmi 3.3
Finnið samlagningarandhverfu hverrar tölu:
ⓐ 7
ⓑ −10
Lausn
ⓐ Talan er jafnlangt frá og en hinum megin við Því er samlagningarandhverfa eins og sýnt er á Mynd 3.14.
Mynd 3.14
ⓑ Talan er jafnlangt frá og en hinum megin við Því er samlagningarandhverfa eins og sýnt er á Mynd 3.15.
Mynd 3.15
Táknritun samlagningarandhverfu
Rétt eins og sama orðið getur haft mismunandi merkingu getur sama táknið í algebru haft ólíka merkingu. Merkingin ræðst af því hvernig táknið er notað. Þið hafið séð táknið notað á þrjá mismunandi vegu.
1 0 − 4 10 − 4
Á milli tveggja talna táknar merkið frádrátt. Við lesum 10 − 4 sem tíu mínus 4.
− 8 −8
Framan við tölu sýnir merkið að talan sé neikvæð. Við lesum −8 sem mínus átta.
− 𝑥 − x
Framan við breytu eða tölu táknar merkið samlagningarandhverfu.Við lesum− x sem samlagningarandhverfu x.
− ( − 2 ) − ( −2 )
Hér eru tvö mínusmerki. Merkið innan sviganna sýnir að talan er mínus 2. Merkið utan sviganna táknar samlagningarandhverfu. Við lesum − ( −2 ) sem samlagningarandhverfu −2.
Dæmi 3.4
Einfaldið:
Lausn
− ( − 6 ) − ( −6 )
Samlagningarandhverfa − 6 er 6 .
6 6
Heiltölur
Mengi talningartalna, samlagningarandhverfa þeirra og er mengi heiltalna.
Gæta þarf vel að formerkjum þegar við finnum gildi samlagningarandhverfu breytu.
Dæmi 3.5
Finnið gildi
ⓐ þegar
ⓑ þegar
Lausn
ⓐ Til að finna gildi − x þegar x = 8 skuluð þið setja 8 inn fyrir x .
− 𝑥 − x
Einfaldið.
− 8 −8
ⓑ Til að finna gildi − x þegar x = −8 skuluð þið setja −8 inn fyrir x .
− 𝑥 − x
Einfaldið.
8 8
Einföldum stæður með tölugildi
Við sáum að tölur á borð við og eru samlagningarandhverfur vegna þess að þær eru jafnlangt frá á talnalínunni. Báðar eru fimm einingar frá Fjarlægðin frá að hvaða tölu sem er á talnalínunni kallast tölugildi tölunnar. Þar sem fjarlægð er aldrei neikvæð er tölugildi tölu aldrei neikvætt.
Tölugildi er táknað með tveimur lóðréttum strikum, einu hvorum megin við tölu. Tölugildi er því skrifað og tölugildi er skrifað eins og sýnt er á Mynd 3.16.
Dæmi 3.6
Einfaldið:
ⓐ |3|
ⓑ |−44|
ⓒ |0|
Lausn
ⓐ
| 3 | | 3 |
3 er 3 einingar frá núlli.
3 3
ⓑ
| − 4 4 | | −44 |
−44 er 44 einingar frá núlli.
4 4 44
ⓒ
| 0 | | 0 |
0 er við núll.
0 0
Við meðhöndlum tölugildisstrik eins og sviga í forgangsröð reikniaðgerða. Fyrst einföldum við stæðuna innan strikanna.
Dæmi 3.7
Finnið gildið:
ⓐ |𝑥|þegar𝑥=−35
ⓑ |−𝑦|þegar𝑦=−20
ⓒ −|𝑢|þegar𝑢=12
ⓓ −|𝑝|þegar𝑝=−14
Lausn
ⓐ Til að finna | x | þegar x = −35 :
| 𝑥 | | x |
Finnið tölugildið.
3 5 35
ⓑ Til að finna | − y | þegar y = −20 :
| − 𝑦 | | − y |
Einfaldið.
| 2 0 | | 20 |
Finnið tölugildið.
2 0 20
ⓒ Til að finna − | u | þegar u = 12 :
− | 𝑢 | − | u |
Finnið tölugildið.
− 1 2 −12
ⓓ Til að finna − | p | þegar p = −14 :
− | 𝑝 | − | p |
Finnið tölugildið.
− 1 4 −14
Athugið að niðurstaðan er aðeins neikvæð þegar mínusmerki er utan tölugildisstrikanna.
Dæmi 3.8
Setjið í hverja eftirfarandi eyðu:
ⓐ |−5| ___−|−5|
ⓑ 8 ___−|−8|
ⓒ −9 ___−|−9|
ⓓ −|−7| ___−7
Lausn
Til að bera saman tvær stæður skuluð þið fyrst einfalda hvora um sig og bera þær síðan saman.
ⓐ
| − 5 | _ _ _ − | − 5 | | −5 | ___ − | −5 |
Einfaldið.
5 _ _ _ − 5 5 ___ −5
Raðið.
5 > − 5 5 > −5
ⓑ
8 _ _ _ − | − 8 | 8 ___ − | −8 |
Einfaldið.
8 _ _ _ − 8 8 ___ − 8
Raðið.
8 > − 8
ⓒ
− 9 _ _ _ − | − 9 | −9 ___ − | −9 |
Einfaldið.
− 9 _ _ _ − 9 −9 ___ − 9
Raðið.
− 9 = − 9 −9 = −9
ⓓ
− | − 7 | _ _ _ − 7 − | −7 | ___ −7
Einfaldið.
− 7 _ _ _ − 7 −7 ___ − 7
Raðið.
− 7 = − 7 −7 = − 7
Tölugildisstrik virka eins og flokkunartákn. Einfaldið fyrst stæðuna innan tölugildisstrikanna eins mikið og hægt er. Finnið síðan tölugildi niðurstöðunnar og ljúkið að lokum þeim reikniaðgerðum sem eru utan strikanna.
Dæmi 3.9
Einfaldið:
ⓐ |9−3|
ⓑ 4|−2|
Lausn
Fylgið forgangsröð reikniaðgerða fyrir hvora stæðu. Byrjið innan tölugildisstrikanna, rétt eins og þegar um sviga er að ræða.
ⓐ
|9−3|
Einfaldið innan tölugildisstrikanna.
|6|
Finnið tölugildið.
6
ⓑ
4|−2|
Finnið tölugildið.
4⋅2
Margfaldið.
8
Dæmi 3.10
Einfaldið:
Lausn
Fylgið forgangsröð reikniaðgerða fyrir hvora stæðu. Byrjið innan tölugildisstrikanna rétt eins og þegar um sviga er að ræða.
|8+7|−|5+6|
Einfaldið innan hvorra tölugildisstrika.
|15|−|11|
Dragið frá.
4
Dæmi 3.11
Einfaldið:
Lausn
Við notum forgangsröð reikniaðgerða. Munið að einfalda flokkunartákn fyrst; svigar innan tölugildisstrika koma því fyrst.
Nú getum við þýtt orðalag yfir á stæður með heiltölum. Leitið að orðum sem gefa til kynna mínusmerki. Orðið mínus í „mínus tuttugu“ gefur til dæmis til kynna Sama á við um orðið samlagningarandhverfa í „samlagningarandhverfa
Dæmi 3.12
Þýðið hvert orðalag yfir á stæðu með heiltölum:
ⓐ samlagningarandhverfa jákvæðu tölunnar fjórtán
ⓑ samlagningarandhverfa
ⓒ mínus sextán
ⓓ tveir mínus mínus sjö
Lausn
ⓐ samlagningarandhverfa fjórtán
ⓑ samlagningarandhverfa −11
ⓒ mínus sextán
ⓓ tveir mínus mínus sjö
Eins og við sáum í upphafi þessa hluta þarf neikvæðar tölur til að lýsa mörgum aðstæðum úr daglegu lífi. Í næsta dæmi skoðum við fleiri notkunardæmi neikvæðra talna.
Dæmi 3.13
Þýðið yfir á stæðu með heiltölum:
ⓐ Hitastigið er undir núlli.
ⓑ Fótboltaliðið færðist fram um
ⓒ Dauðahafið er undir sjávarmáli.
ⓓ Yfirdráttur á tékkareikningi er
Lausn
Leitið að lykilorðum í hverri setningu og síðan að orðum sem gefa til kynna mínusmerki. Munið að hafa með þær mælieiningar sem setningin tilgreinir.
ⓐ
Hitastigið er 12 gráður á Fahrenheit-kvarða undir núlli.
Orðin undir núlli segja okkur að 12 sé neikvæð tala.
− 1 2 º F − 12ºF
ⓑ
Fótboltaliðið færðist fram um 3 jarda.
Að færast fram segir okkur að 3 sé jákvæð tala.
3 jardar
ⓒ
Dauðahafið er 1.302 fet undir sjávarmáli.
Orðin undir sjávarmáli segja okkur að 1.302 sé neikvæð tala.
− 1,302 fet
ⓓ
Yfirdráttur á tékkareikningi er 40 dalir.
Orðið yfirdráttur segir okkur að 40 sé neikvæð tala.
− $ 4 0 − $40
Æfingar hluta 3.1
Æfingin skapar meistarann
Staðsetning jákvæðra og neikvæðra talna á talnalínu
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið teikna talnalínu og staðsetja og merkja gefnu punktana á henni.
1.
ⓐ 2
ⓑ −2
ⓒ −5
2.
ⓐ 5
ⓑ −5
ⓒ −2
3.
ⓐ −8
ⓑ 8
ⓒ −6
4.
ⓐ −7
ⓑ 7
ⓒ −1
Röðun jákvæðra og neikvæðra talna á talnalínu
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið raða tölunum í hverju pari með eða
5.
ⓐ 9__4
ⓑ −3__6
ⓒ −8__−2
ⓓ 1__−10
6.
ⓐ 6__2;
ⓑ −7__4;
ⓒ −9__−1;
ⓓ 9__−3
7.
ⓐ −5__1;
ⓑ −4__−9;
ⓒ 6__10;
ⓓ 3__−8
8.
ⓐ −7__3;
ⓑ −10__−5;
ⓒ 2__−6;
ⓓ 8__9
Að finna samlagningarandhverfur
Finnið samlagningarandhverfu hverrar tölu í eftirfarandi verkefnum.
9.
ⓐ 2
ⓑ −6
10.
ⓐ 9
ⓑ −4
11.
ⓐ −8
ⓑ 1
12.
ⓐ −2
ⓑ 6
Einfaldið í eftirfarandi dæmum.
13.
−(−4)
14.
−(−8)
15.
−(−15)
16.
−(−11)
Reiknið gildið í eftirfarandi verkefnum.
17.
−𝑚 þegar
ⓐ 𝑚 =3
ⓑ 𝑚 =−3
18.
−𝑝 þegar
ⓐ 𝑝 =6
ⓑ 𝑝 =−6
19.
−𝑐 þegar
ⓐ 𝑐 =12
ⓑ 𝑐 =−12
20.
−𝑑 þegar
ⓐ 𝑑 =21
ⓑ 𝑑 =−21
Einföldun stæða með tölugildi
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið einfalda hverja tölugildisstæðu.
21.
ⓐ |7|
ⓑ |−25|
ⓒ |0|
22.
ⓐ |5|
ⓑ |20|
ⓒ |−19|
23.
ⓐ |−32|
ⓑ |−18|
ⓒ |16|
24.
ⓐ |−41|
ⓑ |−40|
ⓒ |22|
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna gildi hverrar tölugildisstæðu.
25.
ⓐ |𝑥| þegar 𝑥 =−28
ⓑ |−𝑢| þegar 𝑢 =−15
26.
ⓐ |𝑦| þegar 𝑦 =−37
ⓑ |−𝑧| þegar 𝑧 =−24
27.
ⓐ −|𝑝| þegar 𝑝 =19
ⓑ −|𝑞| þegar 𝑞 =−33
28.
ⓐ −|𝑎| þegar 𝑎 =60
ⓑ −|𝑏| þegar 𝑏 =−12
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið setja til að bera saman stæðurnar.
29.
ⓐ −6__|−6|
ⓑ −|−3|__−3
30.
ⓐ −8__|−8|
ⓑ −|−2|__−2
31.
ⓐ |−3|__ −|−3|
ⓑ 4__ −|−4|
32.
ⓐ |−5|__ −|−5|
ⓑ 9__ −|−9|
Einfaldið hverja stæðu í eftirfarandi verkefnum.
33.
|8−4|
34.
|9−6|
35.
8|−7|
36.
5|−5|
37.
|15−7|−|14−6|
38.
|17−8|−|13−4|
39.
18−|2(8−3)|
40.
15−|3(8−5)|
41.
8(14−2|−2|)
42.
6(13−4|−2|)
Orðalag þýtt yfir á stæður með heiltölum
Þýðið hvert orðalag yfir á stæðu með heiltölum. Ekki einfalda.
43.
ⓐ samlagningarandhverfa
ⓑ samlagningarandhverfa
ⓒ mínus þrír
ⓓ mínus mínus
44.
ⓐ samlagningarandhverfa
ⓑ samlagningarandhverfa
ⓒ mínus níu
ⓓ mínus mínus
45.
ⓐ samlagningarandhverfa
ⓑ samlagningarandhverfa
ⓒ mínus tólf
ⓓ mínus mínus
46.
ⓐ samlagningarandhverfa
ⓑ samlagningarandhverfa
ⓒ mínus sextíu
ⓓ mínus
47.
hitastig sem er undir núlli
48.
hitastig sem er undir núlli
49.
hæð sem er undir sjávarmáli
50.
hæð sem er undir sjávarmáli
51.
fótboltalið færist aftur um
52.
fótboltalið færist fram um
53.
hlutabréf hækkar um
54.
hlutabréf lækkar um
55.
golfskor einu höggi yfir pari
56.
golfskor höggum undir pari
Stærðfræði daglegs lífs
57.
Hæð Hæsti staður Bandaríkjanna er McKinley-fjall í Alaska, yfir sjávarmáli. Lægsti staðurinn er Death Valley í Kaliforníu, undir sjávarmáli. Notið heiltölur til að skrá hæð:
ⓐ McKinley-fjalls
ⓑ Death Valley
58.
Öfgahitastig Hæsta skráða hitastig á jörðinni er . Lægsta skráða hitastigið er undir . Notið heiltölur til að skrá:
ⓐ hæsta skráða hitastigið
ⓑ lægsta skráða hitastigið
59.
Fjárlög fylkja Í júní 2011 áætlaði Pennsylvaníufylki að afgangur á fjárlögum yrði Í sama mánuði áætlaði Texasfylki að halli á fjárlögum yrði Notið heiltölur til að skrá:
ⓐ afganginn
ⓑ hallann
60.
Nemendafjöldi í háskólum Víðs vegar um Bandaríkin fjölgaði nemendum í tveggja ára háskólum um frá til Í Kaliforníu fækkaði nemendum í slíkum háskólum um frá til Notið heiltölur til að skrá breytinguna á nemendafjölda:
ⓐ fjölgunina
ⓑ fækkunina
Ritunaræfingar
61.
Nefnið dæmi um neikvæða tölu úr eigin reynslu.
62.
Á hvaða þrjá vegu er mínusmerkið „−“ notað í algebru? Útskýrið muninn.
Sjálfsmat
ⓐ Þegar þið hafið lokið æfingunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð námsmarkmiðum hlutans.
ⓑ Ef flest gátmerkin ykkar voru við:
… af öryggi. Til hamingju! Þið hafið náð markmiðum þessa hluta. Íhugið hvaða námsaðferðir þið notuðuð svo þið getið haldið áfram að beita þeim. Hvað gerðuð þið til að öðlast öryggi í þessum viðfangsefnum? Nefnið tiltekin atriði.
…með nokkurri hjálp. Bregðast þarf fljótt við því að atriði sem þið náið ekki tökum á verða að hindrunum á leiðinni að árangri. Í stærðfræði byggist hvert viðfangsefni á fyrri vinnu. Mikilvægt er að tryggja traustan grunn áður en haldið er áfram. Hvern getið þið beðið um hjálp? Samnemendur og kennari eru góðir kostir. Er aðstaða í skólanum þar sem stærðfræðileiðbeinendur eru tiltækir? Getið þið bætt námsaðferðir ykkar?
…nei — ég skil þetta ekki! Þetta er viðvörunarmerki sem þið megið ekki hunsa. Leitið strax aðstoðar, annars gæti efnið fljótt orðið yfirþyrmandi. Ræðið stöðuna við kennarann eins fljótt og hægt er. Saman getið þið gert áætlun um þá hjálp sem þið þurfið.
