teikna graf sporbauga með miðju utan upphafspunkts.
leysa hagnýt verkefni um sporbauga.
Mynd 1. National Statuary Hall í Washington, D.C. (mynd: Greg Palmer, Flickr)
Geturðu ímyndað þér að standa öðrum megin í stórum sal en heyra samt hvísl frá manneskju sem stendur hinum megin? National Statuary Hall í Washington, D.C., sem sést á mynd 1, er slíkur salur. 1 Hann er hálfhringlaga og kallast hvíslusalur vegna þess að lögun hans gerir hljóði kleift að berast með veggjum og hvolfþaki. Í þessum hluta rannsökum við lögun salarins og hagnýta notkun hennar, meðal annars hversu langt hvort frá öðru tvær manneskjur í salnum geta staðið og samt heyrt hvísl hvor annarrar.
Jöfnur sporbauga ritaðar á staðalformi
Keilusnið er ferill sem myndast þegar plan sker réttan hringkeiluflöt. Hornið sem planið myndar við keiluflötinn ræður lögun ferilsins, eins og sést á mynd 2.
Keilusniðum má einnig lýsa sem punktamengjum í hnitafleti. Síðar í þessum kafla sjáum við að graf sérhverrar annars stigs jöfnu með tveimur breytum er keilusnið. Formerki liðanna og stuðlar breytuliðanna ráða löguninni. Í þessum hluta er fjallað um fjórar gerðir staðalforms jöfnu sporbaugs. Sporbaugur er mengi allra punkta í plani þannig að summa fjarlægða þeirra frá tveimur föstum punktum er fasti. Hvor fastur punktur kallast brennipunktur.
Við getum teiknað sporbaug með pappaspjaldi, tveimur teiknibólum, blýanti og spotta. Stingdu teiknibólunum í spjaldið þannig að þær myndi brennipunkta sporbaugsins. Klipptu spotta sem er lengri en fjarlægðin milli teiknibólanna; lengd spottans táknar fastann í skilgreiningunni. Festu sinn enda spottans undir hvora teiknibólu og teiknaðu feril með blýanti sem heldur spottanum strekktum. Útkoman er sporbaugur. Sjá mynd 3.
Sérhver sporbaugur hefur tvo samhverfuása. Lengri ásinn kallast langás og sá styttri skammás. Hvor endapunktur langássins er hvirfilpunktur sporbaugsins og hvor endapunktur skammássins er aukahvirfilpunktur. Miðja sporbaugs er miðpunktur bæði langáss og skammáss. Ásarnir eru hornréttir hvor á annan í miðjunni. Brennipunktarnir liggja alltaf á langásnum og summa fjarlægðanna frá brennipunktunum að sérhverjum punkti á sporbaugnum, fasta summan, er meiri en fjarlægðin milli brennipunktanna. Sjá mynd 4.
Í þessum hluta takmörkum við okkur við sporbauga sem liggja lóðrétt eða lárétt í hnitafletinum. Ásar þeirra liggja því annaðhvort á x- og y-ásunum eða samsíða þeim. Síðar í kaflanum skoðum við sporbauga sem hefur verið snúið í hnitafletinum.
Þegar við vinnum með lárétta og lóðrétta sporbauga í hnitafletinum skoðum við tvö tilvik: sporbaug með miðju í upphafspunkti og sporbaug með miðju í öðrum punkti. Fyrst leiðum við út jöfnur sporbauga og lærum síðan að rita þær á staðalformi. Að því loknu notum við það sem við höfum lært til að teikna gröf þeirra.
Jafna sporbaugs með miðju í upphafspunkti leidd út
Til að leiða út jöfnu sporbaugs með miðju í upphafspunkti byrjum við á brennipunktunum og Sporbaugurinn er mengi allra punkta þannig að summa fjarlægðanna frá að brennipunktunum er fasti, eins og sýnt er á mynd 5.
Ef er hvirfilpunktur sporbaugsins er fjarlægðin frá að jöfn Fjarlægðin frá að er . Summa fjarlægðanna frá brennipunktunum að hvirfilpunktinum er
Ef er punktur á sporbaugnum getum við skilgreint eftirfarandi breytur:
Samkvæmt skilgreiningu sporbaugs er fasti fyrir sérhvern punkt á sporbaugnum. Við vitum að summa þessara fjarlægða er fyrir hvirfilpunktinn Því gildir fyrir sérhvern punkt á sporbaugnum. Við hefjum útleiðsluna með því að beita fjarlægðarformúlunni. Afgangurinn af útleiðslunni er algebrulegur.
Staðaljafna sporbaugs er því Þessi jafna skilgreinir sporbaug með miðju í upphafspunkti. Ef 𝑎 > 𝑏 teygist sporbaugurinn meira í lárétta stefnu en ef 𝑏 > 𝑎 teygist hann meira í lóðrétta stefnu.
Jöfnur sporbauga með miðju í upphafspunkti ritaðar á staðalformi
Staðalform jafna veita upplýsingar um lykileiginleika grafa. Rifjum upp nokkur staðalform jafna sem við höfum áður unnið með: línulegar jöfnur, annars og þriðja stigs jöfnur, vísisjöfnur, lograjöfnur og fleiri. Með því að læra að túlka staðalform jafna tengjum við saman algebrulega og rúmfræðilega framsetningu stærðfræðilegra fyrirbæra.
Lykileinkenni sporbaugs eru miðja hans, hvirfilpunktar, aukahvirfilpunktar og brennipunktar, auk lengdar og legu langáss og skammáss. Rétt eins og í öðrum jöfnum getum við fundið öll þessi einkenni með því einu að skoða staðalform jöfnunnar. Staðalform jöfnu sporbaugs hefur fjórar gerðir. Þær eru fyrst flokkaðar eftir staðsetningu miðjunnar, það er hvort hún er í upphafspunkti eða ekki, og síðan eftir legu sporbaugsins, láréttri eða lóðréttri. Hvert form er sett fram ásamt lýsingu á tengslum liða jöfnunnar við grafið. Með því að túlka þessa liði getum við myndað okkur huglæga mynd af sporbaugnum.
Dæmi 1
Jafna sporbaugs með miðju í upphafspunkti rituð á staðalformi
Hver er jafna sporbaugsins á staðalformi ef hvirfilpunktar hans eru og brennipunktar hans eru
Lausn
Brennipunktarnir liggja á x-ásnum og því er langásinn x-ásinn. Jafnan verður því á forminu
Hvirfilpunktarnir eru svo og
Brennipunktarnir eru svo og
Við vitum að hvirfilpunktar og brennipunktar tengjast með jöfnunni Þegar leyst er fyrir 𝑏 2 fæst:
Nú þurfum við aðeins að setja og inn í staðalform jöfnunnar. Jafna sporbaugsins er
Jöfnur sporbauga með miðju utan upphafspunkts ritaðar
Líkt og gröfum annarra jafna má hliðra grafi sporbaugs. Ef sporbaugi er hliðrað um einingar lárétt og einingar lóðrétt verður miðja sporbaugsins Við þessa hliðrun fæst staðalform jöfnunnar sem við sáum áður, þar sem er skipt út fyrir og y er skipt út fyrir
Dæmi 2
Jafna sporbaugs með miðju utan upphafspunkts rituð
Hver er jafna sporbaugsins á staðalformi ef hvirfilpunktar hans eru og
og brennipunktar hans eru og
Lausn
x-hnit hvirfilpunktanna og brennipunktanna eru jöfn og því er langásinn samsíða y-ásnum. Jafna sporbaugsins verður því á forminu
Fyrst finnum við miðjuna, Miðjan er mitt á milli hvirfilpunktanna og Þegar miðpunktsformúlunni er beitt fæst:
Næst finnum við Langásinn, sem er 2 𝑎 á lengd, afmarkast af hvirfilpunktunum. Við leysum fyrir með því að finna fjarlægðina milli y-hnita hvirfilpunktanna.
Því er
Nú finnum við Brennipunktarnir eru gefnir með Því er og Við setjum inn í annaðhvort þessara punkta og leysum fyrir
Því er
Næst leysum við fyrir með jöfnunni
Að lokum setjum við gildin sem fundust á og inn í staðaljöfnu sporbaugs:
Gröf sporbauga með miðju í upphafspunkti teiknuð
Rétt eins og við getum ritað jöfnu sporbaugs þegar graf hans er gefið getum við teiknað graf sporbaugs þegar jafna hans er gefin. Til að teikna gröf sporbauga með miðju í upphafspunkti notum við staðalformið fyrir lárétta sporbauga og fyrir lóðrétta sporbauga.
Dæmi 3
Graf sporbaugs með miðju í upphafspunkti teiknað
Teiknið sporbauginn sem jafnan 𝑥 2 9 + 𝑦 2 2 5 = 1 lýsir. Finnið og merkið miðju, hvirfilpunkta, aukahvirfilpunkta og brennipunkta.
Lausn
Fyrst ákvarðum við legu langássins. Þar sem 2 5 > 9 liggur langásinn á y-ásnum. Jafnan er því á forminu þar sem og Því gildir:
miðja sporbaugsins er
hnit hvirfilpunktanna eru
hnit aukahvirfilpunktanna eru
hnit brennipunktanna eru þar sem 𝑐 2 = 𝑎 2 − 𝑏 2. Þegar leyst er fyrir 𝑐 fæst:
Hnit brennipunktanna eru því
Næst merkjum við miðju, hvirfilpunkta, aukahvirfilpunkta og brennipunkta inn á hnitaflatann og drögum sléttan feril sem myndar sporbauginn. Sjá mynd 8.
Mynd 8
Dæmi 4
Graf sporbaugs með miðju í upphafspunkti teiknað út frá jöfnu sem er ekki á staðalformi
Teiknið sporbauginn sem jafnan 4 𝑥 2 + 2 5 𝑦 2 = 1 0 0 lýsir. Ritið jöfnuna á staðalformi. Finnið og merkið síðan miðju, hvirfilpunkta, aukahvirfilpunkta og brennipunkta.
Lausn
Notum fyrst algebru til að rita jöfnuna á staðalformi.
Næst ákvarðum við legu langássins. Þar sem 2 5 > 4 liggur langásinn á x-ásnum. Jafnan er því á forminu þar sem og Því gildir:
miðja sporbaugsins er
hnit hvirfilpunktanna eru
hnit aukahvirfilpunktanna eru
hnit brennipunktanna eru þar sem Þegar leyst er fyrir 𝑐 fæst:
Hnit brennipunktanna eru því
Næst merkjum við miðju, hvirfilpunkta, aukahvirfilpunkta og brennipunkta inn á hnitaflatann og drögum sléttan feril sem myndar sporbauginn.
Mynd 9
Gröf sporbauga með miðju utan upphafspunkts teiknuð
Þótt miðja sporbaugs sé ekki í upphafspunkti getum við samt notað staðalformin til að finna lykileinkenni grafsins. Þegar miðja sporbaugsins er í einhverjum punkti ( ℎ , 𝑘 ) notum við staðalformin fyrir lárétta sporbauga og fyrir lóðrétta sporbauga. Út frá þessum staðaljöfnum getum við auðveldlega ákvarðað miðju, hvirfilpunkta, aukahvirfilpunkta og brennipunkta, ásamt legu langáss og skammáss.
Dæmi 5
Graf sporbaugs með miðju í (h, k) teiknað
Teiknið sporbauginn sem jafnan ( 𝑥 + 2 ) 2 4 + ( 𝑦 − 5 ) 2 9 = 1 lýsir. Finnið og merkið miðju, hvirfilpunkta, aukahvirfilpunkta og brennipunkta.
Lausn
Fyrst ákvarðum við legu langássins. Þar sem 9 > 4 er langásinn samsíða y-ásnum. Jafnan er því á forminu þar sem og Því gildir:
miðja sporbaugsins er
hnit hvirfilpunktanna eru eða og
hnit aukahvirfilpunktanna eru eða og
hnit brennipunktanna eru þar sem Þegar leyst er fyrir 𝑐 fæst:
Hnit brennipunktanna eru því og
Næst merkjum við miðju, hvirfilpunkta, aukahvirfilpunkta og brennipunkta inn á hnitaflatann og drögum sléttan feril sem myndar sporbauginn.
Mynd 10
Dæmi 6
Graf sporbaugs með miðju í (h, k) teiknað eftir að jafnan hefur verið sett á staðalform
Flokkið saman liði sem innihalda sömu breytu og færið fastaliðinn yfir á hina hlið jöfnunnar.
Takið stuðla ferningsliðanna út fyrir sviga.
Fyllið tvisvar í ferninginn. Munið að halda jöfnunni í jafnvægi með því að bæta sömu föstum við báðar hliðar hennar.
Ritið liðina sem ferninga tvíliða.
Deilið báðum hliðum með fastanum til að setja jöfnuna á staðalform.
Nú þegar jafnan er á staðalformi getum við ákvarðað legu langássins. Þar sem 9 > 4 er langásinn samsíða x-ásnum. Jafnan er því á forminu þar sem og Því gildir:
miðja sporbaugsins er
hnit hvirfilpunktanna eru eða og
hnit aukahvirfilpunktanna eru eða og
hnit brennipunktanna eru þar sem Þegar leyst er fyrir 𝑐 fæst:
Hnit brennipunktanna eru því og
Næst merkjum við miðju, hvirfilpunkta, aukahvirfilpunkta og brennipunkta inn á hnitaflatann og drögum sléttan feril sem myndar sporbauginn, eins og sýnt er á mynd 11.
Mynd 11
Hagnýt verkefni um sporbauga leyst
Sporbaugar koma við sögu við margar raunverulegar aðstæður, til dæmis í brautum reikistjarna, gervitungla, tungla og halastjarna og í lögun kjöla og stýra báta og sumra flugvélavængja. Lækningatæki sem nefnist nýrnasteinbrjótur notar sporbauglaga endurkastara til að brjóta nýrnasteina með hljóðbylgjum. Sumar byggingar, svokallaðir hvíslasalir, eru hannaðar með sporbauglaga hvolfþökum þannig að hvísl manneskju í öðrum brennipunktinum heyrist auðveldlega í hinum brennipunktinum. Þetta stafar af hljóðfræðilegum eiginleikum sporbaugs. Þegar hljóðbylgja á upptök sín í öðrum brennipunkti hvíslasalar endurkastast hún af sporbauglaga hvolfþakinu og að hinum brennipunktinum. Sjá mynd 12. Í hvíslasal Vísinda- og iðnaðarsafnsins í Chicago geta tvær manneskjur sem standa í brennipunktunum, með um 43 fet á milli sín, heyrt hvísl hvor annarrar. Þegar slíkir salir eru á óvæntum stöðum, eins og í George Bush-alþjóðaflugstöðinni í Houston og Grand Central Terminal í New York, geta þeir vakið undrun ferðalanga.
Mynd 12. Hljóðbylgjur endurkastast milli brennipunkta í sporbauglaga sal sem kallast hvíslasalur.
Dæmi 7
Brennipunktar hvíslasalar fundnir
Stór salur í listasafni er hvíslasalur. Hann er 46 fet á breidd og 96 fet á lengd, eins og sýnt er á mynd 13.
Hvert er staðalform jöfnu sporbaugsins sem lýsir útlínum salarins? Ábending: Gerið ráð fyrir láréttum sporbaugi og látið miðju salarins vera punktinn
Ef tveir gestir sem standa í brennipunktum salarins geta heyrt hvísl hvor annars, hversu langt er á milli þeirra? Námundið að næsta feti.
Mynd 13
Lausn
Við gerum ráð fyrir láréttum sporbaugi með miðju í svo við þurfum að finna jöfnu á forminu þar sem Við vitum að langásinn, sem er 2 𝑎 á lengd, er lengri en skammásinn, sem er 2 𝑏 á lengd. Lengd salarins, 96, er því táknuð með langásnum og breidd salarins, 46, með skammásnum. Þegar leyst er
fyrir 𝑎 fæst svo 𝑎 = 4 8 og
Þegar leyst er fyrir 𝑏 fæst svo 𝑏 = 2 3 og
Jafna sporbaugsins er því
Til að finna fjarlægðina milli gestanna þurfum við að finna fjarlægðina milli brennipunktanna þar sem Þegar leyst er fyrir 𝑐 fæst: 𝑐 2 = 𝑎 2 − 𝑏 2 𝑐 2 = 2 3 0 4 − 5 2 9 S e t j i ð i n n g i l d i n s e m f u n d u s t í l i ð t ( a ). 𝑐 = ± √ 2 3 0 4 − 5 2 9 T a k i ð k v a ð r a t r ó t a f b á ð u m h l i ð u m. 𝑐 = ± √ 1 7 7 5 D r a g i ð f r á. 𝑐 ≈ ± 4 2 N á m u n d i ð a ð n æ s t a f e t i.
Punktarnir tákna brennipunktana. Fjarlægðin milli gestanna er því fet.
10.1 Verkefni hlutans
Orðleg verkefni
1.
Skilgreinið sporbaug út frá brennipunktum hans.
2.
Hvar verða brennipunktar sporbaugs að liggja?
3.
Hvaða sértilvik sporbaugs fæst þegar langás og skammás eru jafnlangir?
4.
Hvað gildir um brennipunkta sporbaugsins í sértilvikinu sem nefnt var í fyrri spurningunni?
5.
Hvað má segja um samhverfu grafs sporbaugs með miðju í upphafspunkti og brennipunkta á y-ásnum?
Algebruverkefni
Ákvarðið í eftirfarandi verkefnum hvort gefnu jöfnurnar lýsi sporbaugum. Ef svo er skal rita þær á staðalformi.
6.
2𝑥2+𝑦=4
7.
4𝑥2+9𝑦2=36
8.
4𝑥2−𝑦2=4
9.
4𝑥2+9𝑦2=1
10.
4𝑥2−8𝑥+9𝑦2−72𝑦+112=0
Ritið í eftirfarandi verkefnum jöfnu sporbaugs á staðalformi og finnið endapunkta langáss og skammáss ásamt brennipunktunum.
11.
𝑥24+𝑦249=1
12.
𝑥2100+𝑦264=1
13.
𝑥2+9𝑦2=1
14.
4𝑥2+16𝑦2=1
15.
(𝑥−2)249+(𝑦−4)225=1
16.
(𝑥−2)281+(𝑦+1)216=1
17.
(𝑥+5)24+(𝑦−7)29=1
18.
(𝑥−7)249+(𝑦−7)249=1
19.
4𝑥2−8𝑥+9𝑦2−72𝑦+112=0
20.
9𝑥2−54𝑥+9𝑦2−54𝑦+81=0
21.
4𝑥2−24𝑥+36𝑦2−360𝑦+864=0
22.
4𝑥2+24𝑥+16𝑦2−128𝑦+228=0
23.
4𝑥2+40𝑥+25𝑦2−100𝑦+100=0
24.
𝑥2+2𝑥+100𝑦2−1000𝑦+2401=0
25.
4𝑥2+24𝑥+25𝑦2+200𝑦+336=0
26.
9𝑥2+72𝑥+16𝑦2+16𝑦+4=0
Finnið brennipunkta gefnu sporbauganna í eftirfarandi verkefnum.
27.
(𝑥+3)225+(𝑦+1)236=1
28.
(𝑥+1)2100+(𝑦−2)24=1
29.
𝑥2+𝑦2=1
30.
𝑥2+4𝑦2+4𝑥+8𝑦=1
31.
10𝑥2+𝑦2+200𝑥=0
Myndræn verkefni
Teiknið gefnu sporbaugana í eftirfarandi verkefnum og merkið miðju, hvirfilpunkta og brennipunkta.
32.
𝑥225+𝑦236=1
33.
𝑥216+𝑦29=1
34.
4𝑥2+9𝑦2=1
35.
81𝑥2+49𝑦2=1
36.
(𝑥−2)264+(𝑦−4)216=1
37.
(𝑥+3)29+(𝑦−3)29=1
38.
𝑥22+(𝑦+1)25=1
39.
4𝑥2−8𝑥+16𝑦2−32𝑦−44=0
40.
𝑥2−8𝑥+25𝑦2−100𝑦+91=0
41.
𝑥2+8𝑥+4𝑦2−40𝑦+112=0
42.
64𝑥2+128𝑥+9𝑦2−72𝑦−368=0
43.
16𝑥2+64𝑥+4𝑦2−8𝑦+4=0
44.
100𝑥2+1000𝑥+𝑦2−10𝑦+2425=0
45.
4𝑥2+16𝑥+4𝑦2+16𝑦+16=0
Notið gefnar upplýsingar um graf hvers sporbaugs í eftirfarandi verkefnum til að ákvarða jöfnu hans.
46.
Miðja í upphafspunkti, samhverfur um x- og y-ás, brennipunktur í ( 4 , 0 ) og punktur á grafinu í
47.
Miðja í upphafspunkti, samhverfur um x- og y-ás, brennipunktur í ( 0 , − 2 ) og punktur á grafinu í
48.
Miðja í upphafspunkti, samhverfur um x- og y-ás, brennipunktur í ( 3 , 0 ) og langásinn tvöfalt lengri en skammásinn.
49.
Miðja ; hvirfilpunktur ; annar brennipunkturinn: .
50.
Miðja ; hvirfilpunktur ; annar brennipunkturinn:
51.
Miðja ; hvirfilpunktur ; annar brennipunkturinn:
Ákvarðið jöfnu sporbaugsins út frá gefnu grafi í eftirfarandi verkefnum.
52.
53.
54.
55.
56.
Viðbótarverkefni
Finnið flatarmál sporbaugsins í eftirfarandi verkefnum. Flatarmál sporbaugs er gefið með formúlunni F l a t a r m á l = 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝜋.
57.
(𝑥−3)29+(𝑦−3)216=1
58.
(𝑥+6)216+(𝑦−6)236=1
59.
(𝑥+1)24+(𝑦−2)25=1
60.
4𝑥2−8𝑥+9𝑦2−72𝑦+112=0
61.
9𝑥2−54𝑥+9𝑦2−54𝑦+81=0
Hagnýt verkefni
62.
Finnið jöfnu sporbaugs sem passar nákvæmlega inn í rétthyrning sem er 8 einingar á breidd og 4 einingar á hæð.
63.
Finnið jöfnu sporbaugs sem passar nákvæmlega inn í rétthyrning sem er fjórum sinnum breiðari en hann er hár. Setjið jöfnuna fram með ℎ , hæðinni.
64.
Bogi er í laginu eins og hálfur sporbaugur, það er efri helmingur sporbaugs. Boginn er 8 fet á hæð og hefur 20 feta haf. Finnið jöfnu sporbaugsins og notið hana til að finna hæð bogans, námundaða að næsta 0.01 úr feti, í 4 feta fjarlægð frá miðju.
65.
Bogi er í laginu eins og hálfur sporbaugur. Boginn er 12 fet á hæð og hefur 40 feta haf. Finnið jöfnu sporbaugsins og notið hana til að finna fjarlægðina frá miðju að punkti þar sem hæðin er 6 fet. Námundið að næsta hundraðshluta.
66.
Byggja á brú í laginu eins og hálfur sporbaugsbogi með 120 feta hafi. Hæð bogans í 40 feta fjarlægð frá miðju á að vera 8 fet. Finnið hæð bogans í miðju hans.
67.
Manneskja sem stendur í öðrum brennipunkti hvíslasalar getur hvíslað og manneskja í hinum brennipunktinum heyrt hvíslið vegna þess að allar hljóðbylgjur sem ná til loftsins endurkastast að hinni manneskjunni. Ef hvíslasalur er 120 fet á lengd og brennipunktarnir eru 30 fet frá miðju skal finna lofthæðina í miðju salarins.
68.
Manneskja stendur 8 fet frá næsta vegg í hvíslasal. Ef hún stendur í öðrum brennipunktinum og hinn brennipunkturinn er í 80 feta fjarlægð, hver eru þá lengd salarins og hæð hans í miðju?
