1010 Rúmfræði með hnitum

Lykilhugtök

Sporbaugur er mengi allra punkta $(x, y)$ í plani þannig að summa fjarlægða þeirra frá tveimur föstum punktum sé fasti. Hvor fasti punktur er kallaður brennipunktur.
Þegar hnit brennipunkta og hvirfilpunkta sporbaugs eru gefin getum við skrifað jöfnu sporbaugsins á staðalformi. Sjá sýnidæmi 1 og sýnidæmi 2 .
Þegar jafna sporbaugs með miðju í upphafspunkti er gefin á staðalformi getum við fundið hvirfilpunkta, aukahvirfilpunkta og brennipunkta hans ásamt lengd og legu langáss og skammáss til að teikna sporbaugin. Sjá sýnidæmi 3 og sýnidæmi 4 .
Þegar jafna sporbaugs með miðju í öðrum punkti en upphafspunkti er gefin getum við fundið helstu einkenni hans og teiknað sporbaugin. Sjá sýnidæmi 5 og sýnidæmi 6 .
Hægt er að líkana raunverulegar aðstæður með staðaljöfnum sporbauga og nota síðan líkanið til að finna helstu stærðir, svo sem lengd ása og fjarlægð milli brennipunkta. Sjá sýnidæmi 7 .

Breiðbogi er mengi allra punkta $(x, y)$ í plani þannig að mismunur fjarlægðanna milli $(x, y)$ og brennipunktanna sé jákvæður fasti.
Nota má staðalform breiðboga til að finna hvirfilpunkta hans og brennipunkta. Sjá sýnidæmi 1 .
Þegar hnit brennipunkta og hvirfilpunkta breiðboga eru gefin getum við skrifað jöfnu breiðbogans á staðalformi. Sjá sýnidæmi 2 og sýnidæmi 3 .
Þegar jafna breiðboga er gefin getum við fundið hvirfilpunkta, aukahvirfilpunkta, brennipunkta og aðfellur hans ásamt lengd og legu megináss og þveráss til að teikna breiðbogann. Sjá sýnidæmi 4 og sýnidæmi 5 .
Hægt er að líkana raunverulegar aðstæður með staðaljöfnum breiðboga. Ef stærðir sjálfdragskæliturns eru til dæmis gefnar getum við fundið breiðbogajöfnu sem lýsir hliðum hans. Sjá sýnidæmi 6 .

Fleygbogi er mengi allra punkta $(x, y)$ í plani sem eru í sömu fjarlægð frá fastri línu, sem kallast stýrilína, og föstum punkti (brennipunktinum) sem liggur ekki á stýrilínunni.
Nota má staðalform fleygboga með hvirfilpunkt $(0, 0)$ og x -ásinn sem samhverfuás til að teikna fleygbogann. Ef $p > 0,$ opnast fleygboginn til hægri. Ef $p < 0,$ opnast fleygboginn til vinstri. Sjá sýnidæmi 1 .
Nota má staðalform fleygboga með hvirfilpunkt $(0, 0)$ og y -ásinn sem samhverfuás til að teikna fleygbogann. Ef $p > 0,$ opnast fleygboginn upp. Ef $p < 0,$ opnast fleygboginn niður. Sjá sýnidæmi 2 .
Þegar brennipunktur og stýrilína fleygboga eru gefin getum við skrifað jöfnu hans á staðalformi. Sjá sýnidæmi 3 .
Nota má staðalform fleygboga með hvirfilpunkt $(h, k)$ og samhverfuás samsíða x -ásnum til að teikna fleygbogann. Ef $p > 0,$ opnast fleygboginn til hægri. Ef $p < 0,$ opnast fleygboginn til vinstri. Sjá sýnidæmi 4 .
Nota má staðalform fleygboga með hvirfilpunkt $(h, k)$ og samhverfuás samsíða y -ásnum til að teikna fleygbogann. Ef $p > 0,$ opnast fleygboginn upp. Ef $p < 0,$ opnast fleygboginn niður. Sjá sýnidæmi 5 .
Hægt er að líkana raunverulegar aðstæður með staðaljöfnum fleygboga. Ef þvermál og brennipunktur þversniðs fleygbogaspegils eru til dæmis gefin getum við fundið jöfnu sem lýsir hliðum hans. Sjá sýnidæmi 6 .

Fjögur grunnform geta myndast þegar plan sker tvær réttar hringkeilur sem liggja odd við odd. Þau eru sporbaugur, hringur, breiðbogi og fleygbogi.
Óúrkynjað keilusnið hefur almenna formið $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0$ þar sem $A, B$ og $C$ eru ekki öll núll. Gildi $A, B,$ og $C$ ákvarða gerð keilusniðsins. Sjá sýnidæmi 1 .
Jöfnum keilusniða með $x y$ -lið hefur verið snúið um upphafspunktinn. Sjá sýnidæmi 2 .
Umbreyta má almenna forminu í jöfnu í $x^{'}$ - og $y^{'}$ -hnitakerfinu án $x^{'} y^{'}$ -liðar. Sjá sýnidæmi 3 og sýnidæmi 4 .
Stæða kallast óbreyta ef hún helst óbreytt við snúning. Þar sem aðgreinirinn er óbreyta getum við greint keilusniðið út frá honum. Sjá sýnidæmi 5 .

Hvert keilusnið má ákvarða með einum brennipunkti, tilheyrandi miðskekkju og stýrilínu. Einnig má skilgreina keilusnið út frá föstum punkti, brennipunktinum $P (r, θ)$ í skautinu, og línu, stýrilínunni, sem er hornrétt á pólhnitaásinn.
Keilusnið er mengi allra punkta $e = \frac{P F}{P D},$ þar sem miðskekkjan $e$ er jákvæð rauntala. Skrifa má hvert keilusnið með póljöfnu sinni. Sjá sýnidæmi 1 .
Teikna má póljöfnur keilusniða. Sjá sýnidæmi 2 , sýnidæmi 3 og sýnidæmi 4 .
Skilgreina má keilusnið út frá brennipunkti, stýrilínu og miðskekkju. Sjá sýnidæmi 5 og sýnidæmi 6 .
Við getum notað samsemdirnar $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, x = r \cos θ,$ og $y = r \sin θ$ til að breyta jöfnu keilusniðs úr pólformi í rétthyrnt form. Sjá sýnidæmi 7 .