1212 Inngangur að stærðfræðigreiningu

12.4 Afleiður

Námsmarkmið

Í þessum hluta lærir þú að:

finna afleiðu falls.
finna augnabliksbreytingarhraða.
finna jöfnu snertils við graf falls í punkti.
finna augnablikshraða agnar.

Notkun tækja og miðla breytist mishratt hjá ólíkum hópum fólks. Fjarskipta- og tæknifyrirtæki, markaðsfólk, kennarar og talsmenn þeirra fylgjast grannt með þróun og óskum. Samkvæmt gögnum frá Pew Research Center jókst hlutfall aldamótakynslóðarinnar sem á snjallsíma aðeins um eitt prósentustig frá 2018 til 2019 (úr 92% í 93%). Hjá fólki eldra en 74 ára hækkaði hlutfallið hins vegar úr 30% í 40% á sama tímabili.

Önnur þróun í tækjaeign og -notkun getur verið ólík eftir kynslóðum. Frá 2018 til 2019 lækkaði hlutfall aldamótakynslóðarinnar sem á spjaldtölvu úr 64% í 52%. Á sama tímabili stóð hlutfall eftirstríðskynslóðarinnar sem á spjaldtölvu nákvæmlega í stað í 52%. Hjá hópnum 74 ára og eldri jókst spjaldtölvueign úr 25% í 33%. 2

Hvað eiga þessar aðstæður sameiginlegt? Föllin sem lýsa þeim hafa breyst með tíma. Í þessum hluta skoðum við aðferðir til að reikna slíkar breytingar yfir tíma.

Meðalbreytingarhraði falls fundinn

Föllin sem lýsa dæmunum hér á undan fela í sér breytingu með tíma. Breyting deilt með tíma er eitt dæmi um hraða. Breytingarhraðarnir í dæmunum eru ólíkir; sumt breyttist með öðrum orðum hraðar en annað. Ef við teiknuðum gröf fallanna gætum við borið hraðana saman með því að ákvarða hallatölur grafanna.

Snertill við feril er lína sem sker ferilinn aðeins í einum punkti en fer ekki í gegnum hann þar. (Snertillinn getur skorið ferilinn aftur í öðrum punkti fjarri punktinum sem verið er að skoða.) Ef ferillinn er stækkaður upp í grennd við punktinn virðist hann línulegur og halli ferilsins í punktinum er nærri hallatölu snertilsins þar.

Mynd 1 sýnir fallið $f (x) = x^{3} - 4 x .$ Við sjáum hallann í ýmsum punktum á ferlinum.

hallinn við $x = −2$ er 8
hallinn við $x = −1$ er –1
hallinn við $x = 2$ er 8

Graf fallsins f(x) = x^3 - 4x með snertlum við x = -2, sem hefur hallatöluna 8, við x = -3, sem hefur hallatöluna -1, og við x=2, sem hefur hallatöluna 8. — **Mynd 1.** Graf sem sýnir snertla við ferilinn þegar x er –2, –1 og 2.

Hugsum okkur punkt á ferli fallsins $f$ við $x = a$ , eins og sýnt er á mynd 2. Hnit punktsins eru $(a, f (a)) .$ Tengjum þennan punkt við annan punkt á ferlinum örlítið hægra megin við $x = a,$ þar sem x-gildið hefur hækkað um einhverja litla rauntölu $h .$ Hnit síðari punktsins eru $(a + h, f (a + h))$ fyrir eitthvert jákvætt $h .$

Graf vaxandi falls sem sýnir breytingarhraða fallsins með línu milli punktanna tveggja, (a, f(a)) og (a, f(a+h)). — **Mynd 2.** Með því að tengja punktinn við 𝑥 = $a$ við punkt örlítið hægra megin getum við mælt halla sem er nærri hallatölu snertilsins við $x = a .$

Við getum reiknað hallatölu línunnar sem tengir punktana tvo $(a, f (a))$ og $(a + h, f (a + h)),$ og nefnist sniðill, með því að beita hallatöluformúlunni:

$hallatala = \frac{breyting á y}{breyting á x}$

Við táknum hallatölu sniðilsins $m_{\sec}$ sem tengir punktana tvo með 𝑚 s e c . m sec

\begin{array}{l} m_{\sec} = \frac{f (a + h) - f (a)}{(a + h) - (a)} \\ = \frac{f (a + h) - f (a)}{a + h - a} \end{array}

Hallatalan $m_{\sec}$ er jöfn meðalbreytingarhraðanum milli punktanna tveggja $(a, f (a))$ og $(a + h, f (a + h)) .$

m_{\sec} = \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

Dæmi 1

Meðalbreytingarhraði fundinn

Finndu meðalbreytingarhraðann milli punktanna $(2, −6)$ og $(−1, 5) .$

Lausn

Við vitum að meðalbreytingarhraðinn milli tveggja punkta er gefinn með

MBR = \frac{f (a + h) - f (a)}{h} .

Ef annar punkturinn er $(2, - 6),$ eða $(2, f (2)),$ þá er $f (2) = −6.$

Gildið $h$ er hliðrunin frá $2$ til $- 1,$ og er því $- 1 - 2 = −3.$

Fyrir hinn punktinn er $f (a + h)$ y-hnitið við $a + h,$ sem er $2 + (−3)$ eða $−1,$ og því er $f (a + h) = f (−1) = 5.$

\begin{array}{l} MBR = \frac{f (a + h) - f (a)}{h} \\ = \frac{5 - (- 6)}{- 3} \\ = \frac{11}{- 3} \\ = - \frac{11}{3} \end{array}

Augnabliksbreytingarhraði skilinn

Nú getum við fundið meðalbreytingarhraða. Gerum ráð fyrir að við látum $h$ á mynd 2 minnka sífellt. Þá stefnir $a + h$ á $a$ þegar $h$ minnkar og nálgast 0. Á sama hátt nálgast síðari punkturinn $(a + h, f (a + h))$ fyrri punktinn $(a, f (a)) .$ Línan sem tengir punktana tvo, sniðillinn, færist þar af leiðandi sífellt nær því að vera snertill við fallið í $x = a,$ og hallatala sniðilsins nálgast hallatölu snertilsins við $x = a .$ Sjá mynd 3.

Graf vaxandi falls með punktinum P í (a, f(a)). Í punktinum er snertill og tveir sniðlar; annar sniðillinn tengist Q1 og hinn Q2. — **Mynd 3.** Línan sem tengir tvo punkta færist nær því að vera snertill við $x = a .$

Þar sem við leitum að hallatölu snertilsins við 𝑥 = 𝑎 $x = a,$ má líta á halla ferils fallsins $f$ í tilteknum punkti sem breytingarhraða á tilteknu augnabliki. Við köllum þennan halla augnabliksbreytingarhraða eða afleiðu fallsins við $x = a .$ Hvort tveggja má finna með því að reikna markgildi hallatölu línu sem tengir punktinn við $x = a$ við annan punkt óendanlega nærri honum á ferlinum. Fyrir fall $f$ eru bæði augnabliksbreytingarhraði fallsins og afleiða þess við $x = a$ táknuð með $f' (a),$ og má skilgreina sem tvíhliða markgildi sem hefur sama gildi hvort sem nálgast er frá vinstri eða hægri.

f^{'} (a) = \lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

Stæðan sem markgildið er fundið með nefnist mismunakvóti.

Afleiður: túlkun og ritháttur

Afleiðu falls má túlka á ólíka vegu. Hana má sjá í hegðun grafs fallsins eða reikna sem tölulegan breytingarhraða fallsins.

Afleiða falls $f (x)$ í punkti $x = a$ er hallatala snertils við ferilinn $f (x)$ við $x = a .$ Afleiða $f (x)$ við $x = a$ er táknuð með $f^{'} (a) .$
Afleiðan $f^{'} (a)$ mælir hvernig ferillinn breytist í punktinum $(a, f (a)) .$
Líta má á afleiðuna $f^{'} (a)$ sem augnabliksbreytingarhraða fallsins $f (x)$ við $x = a .$
Ef fall mælir vegalengd sem fall af tíma mælir afleiðan augnablikshraðann á tímanum $t = a .$

Dæmi 2

Afleiða margliðufalls fundin

Finndu afleiðu fallsins $f (x) = x^{2} - 3 x + 5$ við $x = a .$

Lausn

Við höfum:

\begin{array}{l} f^{'} (a) = \lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} & Skilgreining afleiðu \end{array}

Settu inn 𝑓⁡(𝑎+ℎ)=(𝑎+ℎ)₂−3⁢(𝑎+ℎ)+5 $f (a + h) = {(a + h)}^{2} - 3 (a + h) + 5$ og 𝑓⁡(𝑎)=𝑎2−3⁢𝑎+5. $f (a) = a^{2} - 3 a + 5.$

\begin{array}{l} f^{'} (a) = \lim_{h \to 0} \frac{(a + h) (a + h) - 3 (a + h) + 5 - (a^{2} - 3 a + 5)}{h} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{a^{2} + 2 a h + h^{2} - 3 a - 3 h + 5 - a^{2} + 3 a - 5}{h} & Reiknaðu til að eyða svigum . \\ = \lim_{h \to 0} \frac{a^{2} + 2 a h + h^{2} - 3 a - 3 h + 5 - a^{2} + 3 a - 5}{h} & Einfaldaðu . \\ = \lim_{h \to 0} \frac{2 a h + h^{2} - 3 h}{h} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{h (2 a + h - 3)}{h} & Taktu út fyrir sviga h . \\ = 2 a + 0 - 3 & Reiknaðu markgildið . \\ = 2 a - 3 \end{array}

Afleiður ræðra falla fundnar

Til að finna afleiðu ræðs falls þurfum við stundum að einfalda stæðuna með algebruaðferðum sem við höfum þegar lært.

Dæmi 3

Afleiða ræðs falls fundin

Finndu afleiðu fallsins $f (x) = \frac{3 + x}{2 - x}$ við $x = a .$

Lausn

𝑓′⁡(𝑎)=limℎ→0⁡𝑓⁡(𝑎+ℎ)−𝑓⁡(𝑎)ℎ =limℎ→0⁡3+(𝑎+ℎ)₂−(𝑎+ℎ)−(3+𝑎2−𝑎)ℎSubstitute 𝑓⁡(𝑎+ℎ) and 𝑓⁡(𝑎) =limℎ→0⁡(2−(𝑎+ℎ))⁢(2−𝑎)⁢[3+(𝑎+ℎ)₂−(𝑎+ℎ)−(3+𝑎2−𝑎)](2−(𝑎+ℎ))⁢(2−𝑎)⁢(ℎ)Multiply numerator and denominator by (2−(𝑎+ℎ))⁢(2−𝑎) =limℎ→0⁡(2−(𝑎+ℎ))⁢(2−𝑎)⁢(3+(𝑎+ℎ)(2−(𝑎+ℎ)))−(2−(𝑎+ℎ))⁢(2−𝑎)⁢(3+𝑎2−𝑎)(2−(𝑎+ℎ))⁢(2−𝑎)⁢(ℎ)Margfaldaðu inn í sviga =limℎ→0⁡6−3⁢𝑎+2⁢𝑎−𝑎2+2⁢ℎ−𝑎⁢ℎ−6+3⁢𝑎+3⁢ℎ−2⁢𝑎+𝑎2+𝑎⁢ℎ(2−(𝑎+ℎ))⁢(2−𝑎)⁢(ℎ)Margfaldaðu =limℎ→0⁡5⁢ℎ(2−(𝑎+ℎ))⁢(2−𝑎)⁢(ℎ)Sameinaðu samkynja liði =limℎ→0⁡5(2−(𝑎+ℎ))⁢(2−𝑎)Strikaðu út sams konar þætti =5(2−(𝑎+0))⁢(2−𝑎)=5(2−𝑎)⁢(2−𝑎)=5(2−𝑎)₂Reiknaðu markgildið $\begin{array}{l} f^{'} (a) = \lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 + (a + h)}{2 - (a + h)} - (\frac{3 + a}{2 - a})}{h} & Settu inn f (a + h) og f (a) \\ = \lim_{h \to 0} \frac{(2 - (a + h)) (2 - a) [\frac{3 + (a + h)}{2 - (a + h)} - (\frac{3 + a}{2 - a})]}{(2 - (a + h)) (2 - a) (h)} & Margfaldaðu teljara og nefnara með (2 - (a + h)) (2 - a) \\ = \lim_{h \to 0} \frac{(2 - (a + h)) (2 - a) (\frac{3 + (a + h)}{(2 - (a + h))}) - (2 - (a + h)) (2 - a) (\frac{3 + a}{2 - a})}{(2 - (a + h)) (2 - a) (h)} & Margfaldaðu inn í sviga \\ = \lim_{h \to 0} \frac{6 - 3 a + 2 a - a^{2} + 2 h - a h - 6 + 3 a + 3 h - 2 a + a^{2} + a h}{(2 - (a + h)) (2 - a) (h)} & Margfaldaðu \\ = \lim_{h \to 0} \frac{5 h}{(2 - (a + h)) (2 - a) (h)} & Sameinaðu samkynja liði \\ = \lim_{h \to 0} \frac{5}{(2 - (a + h)) (2 - a)} & Strikaðu út sams konar þætti \\ = \frac{5}{(2 - (a + 0)) (2 - a)} = \frac{5}{(2 - a) (2 - a)} = \frac{5}{{(2 - a)}^{2}} & Reiknaðu markgildið \end{array}$

Afleiður falla með rótum fundnar

Til að finna afleiður falla með rótum notum við aðferðirnar sem við höfum lært við að finna markgildi rótafalla, meðal annars margföldun með samoka.

Dæmi 4

Afleiða falls með rót fundin

Finndu afleiðu fallsins $f (x) = 4 \sqrt{x}$ við $x = 36.$

Lausn

Við höfum

\begin{array}{l} f^{'} (a) = \lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{4 \sqrt{a + h} - 4 \sqrt{a}}{h} & Settu inn f (a + h) og f (a) \end{array}

Margfaldaðu teljara og nefnara með samokanum: $\frac{4 \sqrt{a + h} + 4 \sqrt{a}}{4 \sqrt{a + h} + 4 \sqrt{a}} .$

\begin{array}{l} f^{'} (a) = \lim_{h \to 0} (\frac{4 \sqrt{a + h} - 4 \sqrt{a}}{h}) \cdot (\frac{4 \sqrt{a + h} + 4 \sqrt{a}}{4 \sqrt{a + h} + 4 \sqrt{a}}) \\ = \lim_{h \to 0} (\frac{16 (a + h) - 16 a}{h 4 (\sqrt{a + h} + \sqrt{a})}) & Margfaldaðu . \\ = \lim_{h \to 0} (\frac{16 a + 16 h - 16 a}{h 4 (\sqrt{a + h} + \sqrt{a})}) & Margfaldaðu inn í sviga og sameinaðu samkynja liði . \\ = \lim_{h \to 0} (\frac{16 h}{h (4 \sqrt{a + h} + 4 \sqrt{a})}) & Einfaldaðu . \\ = \lim_{h \to 0} (\frac{16}{4 \sqrt{a + h} + 4 \sqrt{a}}) & Reiknaðu markgildið með því að setja h = 0. \\ = \frac{16}{8 \sqrt{a}} = \frac{2}{\sqrt{a}} \\ f^{'} (36) = \frac{2}{\sqrt{36}} & Reiknaðu gildi afleiðunnar við x = 36. \\ = \frac{2}{6} \\ = \frac{1}{3} \end{array}

Augnabliksbreytingarhraðar fundnir

Í mörgum notkunardæmum afleiðu er breytingarhraði falls ákvarðaður á tilteknu augnabliki þar sem óháða breytan er tími; af þeim sökum er talað um augnabliksbreytingarhraða. Skoðum hæð bolta sem kastað er upp á við með upphafshraðann 64 fet á sekúndu, gefna með $s (t) = −16 t^{2} + 64 t + 6,$ þar sem $t$ er mælt í sekúndum og $s (t)$ í fetum. Við vitum að ferillinn er fleygbogi. Afleiðan segir okkur hvernig hæðin breytist á hverju augnabliki. Hæð boltans er sýnd sem fall af tíma á mynd 4. Í eðlisfræði köllum við þetta „s - t-graf“.

Graf niðurvísandi fleygboga með hvirfilpunkt í (2, 70) og punktana (1, 55) og (3, 55).

Dæmi 5

Augnabliksbreytingarhraði fundinn

Notaðu fallið hér á undan, 𝑠 ⁡ ( 𝑡 ) = − 1 6 ⁢ 𝑡 2 + 6 4 ⁢ 𝑡 + 6 . $s (t) = −16 t^{2} + 64 t + 6,$ Hver er augnablikshraði boltans eftir 1 sekúndu og 3 sekúndur af fluginu?

Lausn

Hraðinn við $t = 1$ og $t = 3$ er augnabliksbreytingarhraði vegalengdar með tilliti til tíma, það er hraði. Athugum að upphafshæðin er 6 fet. Til að finna augnablikshraðann finnum við afleiðuna og reiknum gildi hennar við $t = 1$ og $t = 3 :$

𝑓′⁡(𝑎)=limℎ⁡→⁢0𝑓⁡(𝑎+ℎ)−𝑓⁡(𝑎)ℎ𝑠′⁡(𝑡)=limℎ⁡→⁢0−16⁢(𝑡+ℎ)₂+64⁢(𝑡+ℎ)+6−(−16⁢𝑡2+64⁢𝑡+6)ℎSubstitute 𝑠⁡(𝑡+ℎ) and 𝑠⁡(𝑡). =limℎ⁡→⁢0⁢−16⁢𝑡2−32⁢ℎ⁡𝑡−ℎ2+64⁢𝑡+64⁢ℎ+6+16⁢𝑡2−64⁢𝑡−6ℎMargfaldaðu inn í sviga. =limℎ⁡→⁢0−32⁢ℎ⁡𝑡−ℎ2+64⁢ℎℎEinfaldaðu. =limℎ⁡→⁢0ℎ⁢(−32⁢𝑡−ℎ+64)ℎÞáttaðu teljarann . =limℎ⁡→⁢0−32⁢𝑡−ℎ+64Cancel out the common factor ℎ.𝑠′⁡(𝑡)=−32⁢𝑡+64Evaluate the limit by letting ℎ=0. $\begin{array}{l} f^{'} (a) = \lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} \\ s^{'} (t) = \lim_{h \to 0} \frac{- 16 {(t + h)}^{2} + 64 (t + h) + 6 - (- 16 t^{2} + 64 t + 6)}{h} & Settu inn s (t + h) og s (t) . \\ = \lim_{h \to 0} \frac{- 16 t^{2} - 32 h t - h^{2} + 64 t + 64 h + 6 + 16 t^{2} - 64 t - 6}{h} & Margfaldaðu inn í sviga . \\ = \lim_{h \to 0} \frac{- 32 h t - h^{2} + 64 h}{h} & Einfaldaðu . \\ = \lim_{h \to 0} \frac{h (- 32 t - h + 64)}{h} & Þáttaðu teljarann . \\ = \lim_{h \to 0} - 32 t - h + 64 & Strikaðu út sameiginlega þáttinn h . \\ s^{'} (t) = - 32 t + 64 & Reiknaðu markgildið með því að setja h = 0. \end{array}$

Fyrir sérhvert gildi $t$ gefur $s^{'} (t)$ hraðann við það gildi $t .$

Reiknaðu við $t = 1$ og $t = 3.$

\begin{array}{l} s^{'} (1) = −32 (1) + 64 = 32 \\ s^{'} (3) = −32 (3) + 64 = −32 \end{array}

Hraði boltans eftir 1 sekúndu er 32 fet á sekúndu þegar hann er á uppleið.

Hraði boltans eftir 3 sekúndur er $−32$ fet á sekúndu þegar hann er á niðurleið.

Gröf notuð til að finna augnabliksbreytingarhraða

Við getum áætlað augnabliksbreytingarhraða við $x = a$ með því að skoða halla ferils fallsins $f (x)$ við $x = a .$ Það gerum við með því að teikna snertil við fallið í $x = a$ og finna hallatölu hans.

Dæmi 6

Afleiða í punkti á grafi falls áætluð

Áætlaðu hvert eftirfarandi gilda út frá grafi fallsins $y = f (x)$ á mynd 5:

ⓐ 𝑓⁡(0) $f (0)$
ⓑ 𝑓⁡(2) $f (2)$
ⓒ 𝑓′(0) $f' (0)$
ⓓ 𝑓′(2) $f' (2)$

Graf oddstæðs falls með margfeldni tvo og punktana (0, 1) og (2, 1). — Mynd 5

Lausn

Til að finna fallgildið 𝑓 ⁡ ( 𝑎 ) $f (a),$ finnum við y-hnitið við $x = a .$

Til að finna afleiðuna við $x = a,$ $f^{'} (a),$ teiknum við snertil við 𝑥 = 𝑎 $x = a,$ og áætlum hallatölu hans. Sjá mynd 6.

Graf fallsins hér á undan með snertlum í punktunum (0, 1) og (2, 1). Grafið sýnir hallatölur snertlanna. Hallatala snertilsins við x = 0 er 0 og hallatala snertilsins við x = 2 er 4. — Mynd 6

ⓐ $f (0)$ er y-hnitið við $x = 0.$ Punkturinn hefur hnitin $(0, 1),$ og því er $f (0) = 1.$
ⓑ $f (2)$ er y-hnitið við $x = 2.$ Punkturinn hefur hnitin $(2, 1),$ og því er $f (2) = 1.$
ⓒ $f^{'} (0)$ er fundið með því að áætla hallatölu snertils við ferilinn við $x = 0.$ Snertillinn við ferilinn við $x = 0$ virðist láréttur. Láréttar línur hafa hallatöluna 0 og því er $f^{'} (0) = 0.$
ⓓ $f^{'} (2)$ er fundið með því að áætla hallatölu snertils við ferilinn við $x = 2.$ Skoðaðu legu snertilsins við ferilinn við $x = 2.$ Þegar $x$ færist eina einingu til hægri færist $y$ fjórar einingar upp í annan punkt á línunni. Hallatalan er því 4 og $f^{'} (2) = 4.$

Augnabliksbreytingarhraði notaður til að leysa raunveruleg viðfangsefni

Önnur leið til að túlka augnabliksbreytingarhraða við $x = a$ er að skoða fallið í raunverulegu samhengi. Eining afleiðu falls $f (x)$ er

\frac{úttakseiningar}{inntakseining}

Slík eining sýnir um hve margar einingar úttakið breytist fyrir hverja einnar einingar breytingu á inntakinu. Augnabliksbreytingarhraði á tilteknu augnabliki sýnir hið sama: breytingareiningar úttaks fyrir hverja einnar einingar breytingu á inntaki.

Jaðarkostnaður er eitt dæmi um augnabliksbreytingarhraða. Gerum til dæmis ráð fyrir að kostnaður fyrirtækis við að framleiða $x$ einingar sé gefinn með 𝐶 ⁡ ( 𝑥 ) $C (x),$ í þúsundum Bandaríkjadala. Afleiðufallið segir hvernig kostnaðurinn breytist fyrir hvert gildi $x$ í skilgreiningarmengi fallsins. Með öðrum orðum er $C^{'} (x)$ túlkað sem jaðarkostnaður, það er viðbótarkostnaður í þúsundum Bandaríkjadala við að framleiða eina einingu til viðbótar þegar $x$ einingar hafa verið framleiddar. Til dæmis er $C^{'} (11)$ áætlaður viðbótarkostnaður í þúsundum Bandaríkjadala við að framleiða 12 th eininguna eftir ^að11 einingar hafa verið framleiddar. Jafnan $C^{'} (11) = 2.50$ merkir að þegar 11 einingar hafa verið framleiddar myndi framleiðsla 12 th einingarinnar auka heildarkostnaðinn um um það bil $2,500.00.

Dæmi 7

Jaðarkostnaður fundinn

Kostnaðurinn í Bandaríkjadölum við að framleiða $x$ fartölvur er $f (x) = x^{2} - 100 x .$ Þegar 200 tölvur hafa verið framleiddar, hver er þá áætlaður kostnaður við að framleiða 201 st eininguna?

Lausn

Ef $f (x) = x^{2} - 100 x$ lýsir kostnaðinum við að framleiða $x$ tölvur lýsir $f^{'} (x)$ jaðarkostnaðinum. Við þurfum að finna afleiðuna. Við útreikning hennar getum við notað eftirfarandi föll:

\begin{array}{l} f (x + h) = {(x + h)}^{2} - 100 (x + h) \\ f (x) = x^{2} - 100 x \end{array}

𝑓′⁡(𝑥)=limℎ→0⁡𝑓⁡(𝑥+ℎ)−𝑓⁡(𝑥)ℎFormúla fyrir afleiðu =limℎ→0⁡(𝑥+ℎ)₂−100⁢(𝑥+ℎ)−(𝑥2−100⁢𝑥)ℎSubstitute 𝑓⁡(𝑥+ℎ) and 𝑓⁡(𝑥). =limℎ→0⁡𝑥2+2⁢𝑥⁢ℎ+ℎ2−100⁢𝑥−100⁢ℎ−𝑥2+100⁢𝑥ℎMargfaldaðu margliður og dreifðu. =limℎ→0⁡2⁢𝑥⁢ℎ+ℎ2−100⁢ℎℎSameinaðu samkynja liði. =limℎ→0⁡ℎ⁢(2⁢𝑥+ℎ−100)ℎÞáttaðu og strikaðu út sams konar þætti. =limℎ→02⁢𝑥+ℎ−100Einfaldaðu. =(2⁢𝑥−100)Evaluate when ℎ=0. 𝑓′⁡(𝑥)=2⁢𝑥−100Formúla fyrir jaðarkostnað𝑓′⁡(200)=2⁢(200)−100=300Reiknaðu fyrir 200 einingar. $\begin{array}{l} f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} & Formúla fyrir afleiðu \\ = \lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} - 100 (x + h) - (x^{2} - 100 x)}{h} & Settu inn f (x + h) og f (x) . \\ = \lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + 2 x h + h^{2} - 100 x - 100 h - x^{2} + 100 x}{h} & Margfaldaðu margliður og dreifðu . \\ = \lim_{h \to 0} \frac{2 x h + h^{2} - 100 h}{h} & Sameinaðu samkynja liði . \\ = \lim_{h \to 0} \frac{h (2 x + h - 100)}{h} & Þáttaðu og strikaðu út sams konar þætti . \\ = \lim_{h \to 0} 2 x + h - 100 & Einfaldaðu . \\ = (2 x - 100) & Reiknaðu þegar h = 0. \\ f^{'} (x) = 2 x - 100 & Formúla fyrir jaðarkostnað \\ f^{'} (200) = 2 (200) - 100 = 300 & Reiknaðu fyrir 200 einingar . \end{array}$

Jaðarkostnaður við að framleiða 201 st ^einingunaer um það bil $300.

Dæmi 8

Afleiða túlkuð í samhengi

Bíll ekur frá gatnamótum. Vegalengdin sem hann ekur í mílum er gefin með fallinu $f (t),$ þar sem $t$ táknar klukkustundir. Útskýrðu eftirfarandi rithátt:

ⓐ 𝑓⁡(0)=0 $f (0) = 0$
ⓑ 𝑓′⁡(1)=60 $f^{'} (1) = 60$
ⓒ 𝑓⁡(1)=70 $f (1) = 70$
ⓓ 𝑓⁡(2.5)=150 $f (2.5) = 150$

Lausn

Fyrst þurfum við að reikna gildi fallsins $f (t)$ og afleiðu þess 𝑓 ′ ⁡ ( 𝑡 ) $f^{'} (t),$ og greina þar á milli. Þegar við reiknum gildi fallsins 𝑓 ⁡ ( 𝑡 ) $f (t),$ finnum við vegalengdina sem bíllinn hefur ekið á $t$ klukkustundum. Þegar við reiknum gildi afleiðunnar 𝑓 ′ ⁡ ( 𝑡 ) $f^{'} (t),$ finnum við hraða bílsins eftir $t$ klukkustundir.

ⓐ $f (0) = 0$ merkir að eftir núll klukkustundir hefur bíllinn ekið núll mílur.
ⓑ $f^{'} (1) = 60$ merkir að einni klukkustund eftir upphaf ferðarinnar ekur bíllinn á 60 mílna hraða á klukkustund.
ⓒ $f (1) = 70$ merkir að einni klukkustund eftir upphaf ferðarinnar hefur bíllinn ekið 70 mílur. Einhvern tíma á fyrstu klukkustundinni hlýtur bíllinn því að hafa ekið hraðar en við 1 klukkustunda markið.
ⓓ $f (2.5) = 150$ merkir að tveimur klukkustundum og þrjátíu mínútum eftir upphaf ferðarinnar hefur bíllinn ekið 150 mílur.

Punktar þar sem afleiða falls er ekki til fundnir

Til að skilja hvar afleiða falls er ekki til þurfum við að rifja upp hvað gerist að jafnaði þegar fall $f (x)$ hefur afleiðu við 𝑥 = 𝑎 . $x = a$ Gerum ráð fyrir að við notum grafteikniforrit til að stækka upp grafið við 𝑥 = 𝑎 . $x = a$ Ef fallið $f (x)$ er deildanlegt, það er unnt er að deilda það, nálgast grafið beina línu því meira sem stækkunin er meiri. Þessi eiginleiki nefnist línuleiki.

Skoðaðu grafið á mynd 8. Því nær sem við stækkum punktinn upp, þeim mun línulegri virðist ferillinn.

Graf niðurvísandi fleygboga sem er stækkað upp við punkt til að sýna að ferillinn verður línulegri því meira sem hann er stækkaður.

Ætla mætti að hið sama gerðist fyrir sérhvert samfellt fall en svo er ekki. Fallið 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = | 𝑥 | $f (x) = | x |,$ er til dæmis samfellt við 𝑥 = 0 $x = 0,$ en ekki deildanlegt þar. $x = 0.$ Þegar við stækkum upp grafið nærri 0 á mynd 9 nálgast það ekki beina línu. Sama hve mikið er stækkað heldur grafið hvössu horninu.

Graf tölugildisfalls. — **Mynd 9.** Graf fallsins 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = | 𝑥 | $f (x) = | x |,$ með x-ás frá –0.1 til 0.1 og y-ás frá –0.1 til 0.1.

Við stækkum grafið enn frekar með því að þrengja gildissviðið og fáum mynd 10. Lögunin er enn sú sama. Grafið virðist ekki línulegt við $x = 0.$

Hvaða einkenni hefur graf sem er ekki deildanlegt í punkti? Hér eru nokkur dæmi þar sem fallið $f (x)$ er ekki deildanlegt við $x = a .$

Á mynd 11 sjáum við grafið af

f (x) = {\begin{array}{l} x^{2}, & x \leq 2 \\ 8 - x, & x > 2 \end{array} .

Athugum að þegar $x$ stefnir á 2 frá vinstri sést að markgildið frá vinstri er 4, en þegar $x$ stefnir á 2 frá hægri sést að markgildið frá hægri er 6. Fallið er því ósamfellt við $x = 2.$

Graf kaflaskipts falls þar sem uppvísandi fleygbogi liggur frá mínus óendanlegu að (2, 4) og bein lína frá (2, 6) að plús óendanlegu. — **Mynd 11.** Graf $f (x)$ er ósamfellt við $x = 2.$

Á mynd 12 sjáum við graf $f (x) = | x | .$ Grafið hefur hornpunkt við $x = 0.$

Á mynd 13 sjáum við að graf $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ hefur brodd við $x = 0.$ Broddur hefur sérstakt einkenni. Þegar farið er frá broddinum stefna markgildin bæði frá vinstri og hægri annaðhvort á óendanlegt eða mínus óendanlegt. Athugum að þegar $x$ stefnir á 0 frá báðum hliðum virðast snertlarnir verða sífellt brattari, en annar hefur neikvæða hallatölu og hinn jákvæða.

Graf f(x) = x^(2/3) með skoðunargluggann [-3, 3] á móti [-2, 3]. — **Mynd 13.** Graf $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ hefur brodd við $x = 0.$

Á mynd 14 sjáum við að graf $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ hefur lóðréttan snertil við $x = 0.$ Rifjum upp að lóðréttir snertlar eru lóðréttar línur. Þar sem lóðréttur snertill er til er hallatala línunnar því óskilgreind. Afleiðan, sem mælir hallann, er þess vegna ekki til þar.

Graf f(x) = x^(1/3) með skoðunargluggann [-3, 3] á móti [-3, 3]. — **Mynd 14.** Graf $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ hefur lóðréttan snertil við $x = 0.$

Dæmi 9

Samfelldni og deildanleiki falls ákvörðuð út frá grafi

Notaðu mynd 15 til að ákvarða hvar fallið er

samfellt
ósamfellt
deildanlegt
ekki deildanlegt

Útskýrðu ástæðuna í punktunum þar sem grafið er ósamfellt eða ekki deildanlegt.

Graf kaflaskipts falls með afmáanlega ósamfelldni í (-2, -1) og ósamfelldni þegar x =1. — Mynd 15

Lausn

Graf $f (x)$ er samfellt á $(−∞, −2) \cup (−2, 1) \cup (1, \infty).$ Graf $f (x)$ hefur afmáanlega ósamfelldni við $x = −2$ og stökkósamfelldni við $x = 1.$ Sjá mynd 16.

Graf fallsins hér á undan sem sýnir samfelldnibilin. — **Mynd 16.** Þrjú bil þar sem fallið er samfellt

Grafið er deildanlegt á $(−∞, −2) \cup (−2, −1) \cup (−1, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty) .$ Graf $f (x)$ er ekki deildanlegt við $x = −2$ vegna ósamfelldni, við $x = −1$ vegna hvass horns, við $x = 1$ vegna ósamfelldni og við $x = 2$ vegna hvass horns. Sjá mynd 17.

Graf fallsins hér á undan sem sýnir ekki aðeins samfelldnibilin heldur merkir einnig þá hluta grafsins þar sem eru hvöss horn og ósamfelldni. Hvössu hornin eru í (-1, -1) og (2, 3) og ósamfelldnin í (-2, -1) og (1, 1). — **Mynd 17.** Fimm bil þar sem fallið er deildanlegt

Jafna snertils við graf falls fundin

Jafna snertils við feril fallsins $f (x)$ við $x = a$ er leidd af punkthallaformi línu, $y = m (x - x_{1}) + y_{1} .$ Hallatala línunnar er halli ferilsins við $x = a$ og því jöfn $f^{'} (a),$ afleiðu $f (x)$ við $x = a .$ Hnit punktsins á línunni við $x = a$ eru $(a, f (a)) .$

Með innsetningu í punkthallaformið fæst

Punkthallaformúlan sem sýnir að m = f(a), x1 = a og y_1 = f(a).

Jafna snertilsins er

y = f' (a) (x - a) + f (a)

Dæmi 10

Jafna snertils við fall í punkti fundin

Finndu jöfnu snertils við ferilinn $f (x) = x^{2} - 4 x$ við $x = 3.$

Lausn

Notum:

f' (a) = \lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

Settu inn 𝑓⁡(𝑎+ℎ)=(𝑎+ℎ)₂−4⁢(𝑎+ℎ) $f (a + h) = {(a + h)}^{2} - 4 (a + h)$ og 𝑓⁡(𝑎)=𝑎2−4⁢𝑎. $f (a) = a^{2} - 4 a .$

\begin{array}{l} f^{'} (a) = \lim_{h \to 0} \frac{(a + h) (a + h) - 4 (a + h) - (a^{2} - 4 a)}{h} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{a^{2} + 2 a h + h^{2} - 4 a - 4 h - a^{2} + 4 a}{h} & Eyddu svigum . \\ = \lim_{h \to 0} \frac{a^{2} + 2 a h + h^{2} - 4 a - 4 h - a^{2} + 4 a}{h} & Sameinaðu samkynja liði . \\ = \lim_{h \to 0} \frac{2 a h + h^{2} - 4 h}{h} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{h (2 a + h - 4)}{h} & Taktu út fyrir sviga h . \\ = 2 a + 0 - 4 \\ f^{'} (a) = 2 a - 4 & Reiknaðu markgildið . \\ f^{'} (3) = 2 (3) - 4 = 2 \end{array}

Jafna snertils við $x = 3:$

\begin{array}{l} y = f' (a) (x - a) + f (a) \\ y = f' (3) (x - 3) + f (3) \\ y = 2 (x - 3) + (- 3) \\ y = 2 x - 9 \end{array}

Greining

Við getum notað grafteikniforrit til að teikna fallið og snertilinn. Þá sést snertipunkturinn við $x = 3$ , eins og sýnt er á mynd 19.

Graf f(x) = x^2-4x með snertil við x = 3 sem hefur jöfnuna y = 2x - 9. — **Mynd 19.** Grafið staðfestir snertipunktinn við x = 3.

Augnabliksferð agnar fundin

Ef fall mælir staðsetningu sem fall af tíma mælir afleiðan færslu með tilliti til tíma, það er hraða hlutarins. Stærð hraðans nefnist ferð. Hraði á tilteknu augnabliki nefnist augnablikshraði.

Þegar reynt er að finna ferð eða hraða hlutar á tilteknu augnabliki virðist koma upp mótsögn. Við skilgreinum ferð venjulega sem farna vegalengd deilt með liðnum tíma. Á einu augnabliki er þó engin vegalengd farin og enginn tími líður. Hvernig eigum við þá að deila núlli með núlli? Afleiða leysir þennan vanda. Hún gerir okkur kleift að segja að þótt hraði hlutarins breytist stöðugt hafi hann ákveðinn hraða á tilteknu augnabliki. Það merkir að ef hluturinn ferðaðist með nákvæmlega þeim hraða í eina tímaeiningu myndi hann fara tiltekna vegalengd.

Dæmi 11

Augnablikshraði fundinn

Bolta er kastað upp frá 200 feta hæð með upphafshraðann 36 ft/sec. Ef hæð boltans í fetum eftir $t$ sekúndur er gefin með $s (t) = −16 t^{2} + 36 t + 200,$ finndu þá augnablikshraða boltans við $t = 2.$

Lausn

Fyrst finnum við afleiðuna 𝑠 ′ ⁡ ( 𝑡 ) . $s^{'} (t)$ Síðan reiknum við gildi hennar við 𝑡 = 2 $t = 2,$ með $s (a + h) = - 16 {(a + h)}^{2} + 36 (a + h) + 200$ og $s (a) = - 16 a^{2} + 36 a + 200.$

\begin{array}{l} s^{'} (a) = \lim_{h \to 0} \frac{s (a + h) - s (a)}{h} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{- 16 {(a + h)}^{2} + 36 (a + h) + 200 - (- 16 a^{2} + 36 a + 200)}{h} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{- 16 (a^{2} + 2 a h + h^{2}) + 36 (a + h) + 200 - (- 16 a^{2} + 36 a + 200)}{h} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{- 16 a^{2} - 32 a h - 16 h^{2} + 36 a + 36 h + 200 + 16 a^{2} - 36 a - 200}{h} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{- 16 a^{2} - 32 a h - 16 h^{2} + 36 a + 36 h + 200 + 16 a^{2} - 36 a - 200}{h} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{- 32 a h - 16 h^{2} + 36 h}{h} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{h (- 32 a - 16 h + 36)}{h} \\ = \lim_{h \to 0} (- 32 a - 16 h + 36) \\ = - 32 a - 16 \cdot 0 + 36 \\ s^{'} (a) = - 32 a + 36 \\ s^{'} (2) = - 32 (2) + 36 \\ = - 28 \end{array}

Greining

Niðurstaðan merkir að á tímanum $t = 2$ sekúndur fellur boltinn með hraðanum 28 ft/sec.

12.4 Verkefni hluta

Hugtakaspurningar

Að hvaða leyti er hallatala línulegs falls svipuð afleiðu?

Hver er munurinn á meðalbreytingarhraða falls á bilinu $[x, x + h]$ og afleiðu fallsins við $x ?$

Bíll ók 110 mílur frá kl. 2:00 e.h. til kl. 4:00 e.h. Hver var meðalhraði bílsins? Nákvæmlega kl. 2:30 e.h. sýndi hraðamælirinn nákvæmlega 62 mílur á klukkustund. Hvað nefnist ferð bílsins kl. 2:30 e.h. öðru nafni? Hvers vegna er þessi ferð frábrugðin meðalhraðanum?

Útskýrðu hugtakið halli ferils í punkti $x .$

Gerum ráð fyrir að vatn renni í tank með meðalrennslið 45 gallon á mínútu. Settu fullyrðinguna fram á máli stærðfræðinnar.

Algebruverkefni

Í eftirfarandi dæmum skaltu nota skilgreiningu afleiðu, l i m ℎ → 0 ⁡ 𝑓 ⁡ ( 𝑥 + ℎ ) − 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) ℎ , $\lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ til að reikna afleiðu hvers falls.

𝑓⁡(𝑥)=3⁢𝑥−4 $f (x) = 3 x - 4$

𝑓⁡(𝑥)=−2⁢𝑥+1 $f (x) = - 2 x + 1$

𝑓⁡(𝑥)=𝑥2−2⁢𝑥+1 $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$

𝑓⁡(𝑥)=2⁢𝑥2+𝑥−3 $f (x) = 2 x^{2} + x - 3$

10.

𝑓⁡(𝑥)=2⁢𝑥2+5 $f (x) = 2 x^{2} + 5$

11.

𝑓⁡(𝑥)=−1𝑥−2 $f (x) = \frac{- 1}{x - 2}$

12.

𝑓⁡(𝑥)=2+𝑥1−𝑥 $f (x) = \frac{2 + x}{1 - x}$

13.

𝑓⁡(𝑥)=5−2⁢𝑥3+2⁢𝑥 $f (x) = \frac{5 - 2 x}{3 + 2 x}$

14.

𝑓⁡(𝑥)=√1+3⁢𝑥 $f (x) = \sqrt{1 + 3 x}$

15.

𝑓⁡(𝑥)=3⁢𝑥3−𝑥2+2⁢𝑥+5 $f (x) = 3 x^{3} - x^{2} + 2 x + 5$

16.

𝑓⁡(𝑥)=5 $f (x) = 5$

17.

𝑓⁡(𝑥)=5⁢𝜋 $f (x) = 5 π$

Í eftirfarandi dæmum skaltu finna meðalbreytingarhraðann milli punktanna tveggja.

18.

$(−2, 0)$ og $(−4, 5)$

19.

$(4, −3)$ og $(−2, −1)$

20.

$(0, 5)$ og $(6, 5)$

21.

$(7, −2)$ og $(7, 10)$

Finndu afleiður eftirfarandi margliðufalla.

22.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥3+1 $f (x) = x^{3} + 1$

23.

𝑓⁡(𝑥)=−3⁢𝑥2−7⁢𝑥=6 $f (x) = - 3 x^{2} - 7 x = 6$

24.

𝑓⁡(𝑥)=7⁢𝑥2 $f (x) = 7 x^{2}$

25.

𝑓⁡(𝑥)=3⁢𝑥3+2⁢𝑥2+𝑥−26 $f (x) = 3 x^{3} + 2 x^{2} + x - 26$

Í eftirfarandi dæmum skaltu finna jöfnu snertils við feril fallsins í gefnum punkti $x$ á ferlinum.

26.

𝑓⁡(𝑥)=2⁢𝑥2−3⁢𝑥𝑥=3 $\begin{array}{l} f (x) = 2 x^{2} - 3 x & x = 3 \end{array}$

27.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥3+1𝑥=2 $\begin{array}{l} f (x) = x^{3} + 1 & x = 2 \end{array}$

28.

𝑓⁡(𝑥)=√𝑥𝑥=9 $\begin{array}{l} f (x) = \sqrt{x} & x = 9 \end{array}$

Í eftirfarandi dæmi skaltu finna $k$ þannig að gefna línan sé snertill við graf fallsins.

29.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥2−𝑘⁢𝑥,𝑦=4⁢𝑥−9 $\begin{array}{l} f (x) = x^{2} - k x, & y = 4 x - 9 \end{array}$

Myndræn verkefni

Í eftirfarandi dæmum skaltu skoða graf fallsins $f$ og ákvarða hvar fallið er continuous/discontinuous og differentiable/not deildanlegt.

30.

Graf kaflaskipts falls með þremur greinum. Fyrsta greinin liggur frá mínus óendanlegu að opna punktinum (-3, -2); önnur greinin liggur frá opna punktinum (-3, 1) að opna punktinum (2, 3); síðasta greinin liggur frá opna punktinum (2, 2) að plús óendanlegu.

31.

Graf kaflaskipts falls með þremur greinum. Fyrsta greinin liggur frá mínus óendanlegu að opna punktinum (-2, -1); önnur greinin liggur frá opna punktinum (-2, -4) að lokaða punktinum (0, 0); síðasta greinin liggur frá opna punktinum (0, 1) að plús óendanlegu.

32.

Graf kaflaskipts falls með tveimur greinum og aðfellu við x = 3. Fyrsta greinin, sem hefur afmáanlega ósamfelldni við x = -2, liggur frá mínus óendanlegu að aðfellunni og síðasta greinin frá aðfellunni að plús óendanlegu.

33.

Graf kaflaskipts falls með tveimur greinum. Fyrsta greinin liggur frá opna punktinum (-4, 0) að punktinum (5, -2) og síðasta greinin frá opna punktinum (5, 3) að plús óendanlegu.

Í eftirfarandi dæmum skaltu nota mynd 20 til að áætla, eftir því sem tilgreint er, annaðhvort fallgildið við gefið gildi $x$ 𝑥 x eða afleiðuna við gefið gildi 𝑥 $x,$ . x ,

Graf oddstæðs falls með margfeldni 2 og vendipunkta í (0, -2) og (2, -6).

34.

𝑓⁡(−1) $f (- 1)$

35.

𝑓⁡(0) $f (0)$

36.

𝑓⁡(1) $f (1)$

37.

𝑓⁡(2) $f (2)$

38.

𝑓⁡(3) $f (3)$

39.

𝑓′⁡(−1) $f^{'} (- 1)$

40.

𝑓′⁡(0) $f^{'} (0)$

41.

𝑓′⁡(1) $f^{'} (1)$

42.

𝑓′⁡(2) $f^{'} (2)$

43.

𝑓′⁡(3) $f^{'} (3)$

44.

Teiknaðu skissu af fallinu út frá eftirfarandi upplýsingum:

𝑓′⁡(𝑥)=2⁢𝑥 $f^{'} (x) = 2 x$ , 𝑓⁡(2)=4 $f (2) = 4$

Tækniverkefni

45.

Reiknaðu afleiðuna tölulega. Kannaðu hegðun grafsins $f (x) = x^{2}$ í grennd við $x = 1$ með því að teikna fallið á eftirfarandi skilgreiningarmengjum: $[0.9, 1.1]$ , $[0.99, 1.01]$ , [ 0 . 9 9 9 , 1 . 0 0 1 ] $[0.999, 1.001],$ og $[0.9999, 1.0001]$ . [ 0.9999 , 1.0001 ] Við getum notað reiknivélaraðgerð sem stillir Ymin og Ymax sjálfkrafa á fyrirfram valin Xmin- og Xmax-gildi. (Í sumum algengum grafreiknivélum nefnist þessi aðgerð ZOOM FIT eða ZOOM AUTO.) Áætlaðu út frá samsvarandi gildissviðsgildum skoðunargluggans hvernig ferillinn breytist við $x = 1,$ það er áætlaðu afleiðuna við $x = 1.$

Raunveruleg viðfangsefni

Í eftirfarandi dæmum skaltu útskýra ritháttinn með orðum. Rúmmál bensíns í tanki er $f (t)$ gallon, $t$ mínútum eftir hádegi.

46.

𝑓⁡(0)=600 $f (0) = 600$

47.

𝑓′(30)=−20 $f' (30) = −20$

48.

𝑓⁡(30)=0 $f (30) = 0$

49.

𝑓′(200)=30 $f' (200) = 30$

50.

𝑓⁡(240)=500 $f (240) = 500$

Í eftirfarandi dæmum skaltu útskýra föllin með orðum. Hæð kasthlutar eftir 𝑡 t sekúndur er 𝑠 s , og er gefin með 𝑠 ⁡ ( 𝑡 ) = − 1 6 ⁢ 𝑡 2 + 8 $s,$ 0 ⁢ 𝑡 . s ⁡ ( t ) = $t$ − 16 ⁢ t 2 + 80 ⁢ t . $s (t) = - 16 t^{2} + 80 t .$

51.

𝑠⁡(2)=96 $s (2) = 96$

52.

𝑠′(2)=16 $s' (2) = 16$

53.

𝑠⁡(3)=96 $s (3) = 96$

54.

𝑠′(3)=−16 $s' (3) = −16$

55.

𝑠⁡(0)=0,𝑠⁡(5)=0. $s (0) = 0, s (5) = 0.$

Í eftirfarandi dæmum er rúmmál $V$ kúlu sem fall af radíus hennar $r$ gefið með $V = \frac{4}{3} π r^{3} .$

56.

Finndu meðalbreytingarhraða $V$ þegar $r$ breytist úr 1 cm í 2 cm.

57.

Finndu augnabliksbreytingarhraða $V$ þegar $r = 3 cm .$

Í eftirfarandi dæmum eru tekjur af sölu $x$ eininga gefnar með $R (x) = 2 x^{2} + 10 x .$

58.

Finndu meðalbreytingu tekjufallsins þegar $x$ breytist úr $x = 10$ í $x = 20.$

59.

Finndu $R' (10)$ og túlkaðu niðurstöðuna.

60.

Finndu $R' (15)$ og túlkaðu niðurstöðuna. Berðu $R' (15)$ saman við 𝑅 ′ ( 1 0 ) $R' (10),$ og útskýrðu muninn.

Í eftirfarandi dæmum er kostnaði við að framleiða $x$ farsíma lýst með fallinu $C (x) = x^{2} - 4 x + 1000.$

61.

Finndu meðalbreytingarhraða heildarkostnaðarins þegar $x$ breytist úr 𝑥 = 1 0 í 𝑥 = 1 5 . $x = 10 til x = 15.$

62.

Finndu áætlaðan jaðarkostnað við að framleiða 16 th farsímann þegar 15 farsímar hafa ^veriðframleiddir.

63.

Finndu áætlaðan jaðarkostnað við að framleiða 21 st farsímann þegar 20 farsímar hafa ^veriðframleiddir.

Viðbótarverkefni

Í eftirfarandi dæmum skaltu nota skilgreiningu afleiðu í punkti $x = a,$ $\lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a},$ til að finna afleiður fallanna.

64.

𝑓⁡(𝑥)=1𝑥2 $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

65.

𝑓⁡(𝑥)=5⁢𝑥2−𝑥+4 $f (x) = 5 x^{2} - x + 4$

66.

𝑓⁡(𝑥)=−𝑥2+4⁢𝑥+7 $f (x) = - x^{2} + 4 x + 7$

67.

𝑓⁡(𝑥)=−43−𝑥2 $f (x) = \frac{- 4}{3 - x^{2}}$

Neðanmálsgreinar

2https://www.pewresearch.org/fact-tank/2019/09/09/us-generations-technology-use/