Meginatriði

Meginatriði

12.1 Markgildi fundin með tölulegum og myndrænum aðferðum

• Fall hefur markgildi ef úttaksgildin stefna á eitthvert gildi $L$ þegar inntaksgildin stefna á einhverja tölu $a.$ Sjá dæmi 1 .
• Styttur ritháttur er notaður til að lýsa markgildi falls á forminu $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L,$ sem gefur til kynna að þegar $x$ stefnir á $a,$ bæði frá vinstri við $x=a$ og hægri við $x=a,$ nálgast úttaksgildið $L.$
• Fall hefur markgildi frá vinstri ef $f\left(x\right)$ stefnir á $L$ þegar $x$ stefnir á $a$ þar sem $x<a.$ Fall hefur markgildi frá hægri ef $f\left(x\right)$ stefnir á $L$ þegar $x$ stefnir á $a$ þar sem $x>a.$
• Tvíhliða markgildi er til ef markgildi fallsins frá vinstri og hægri eru jöfn. Fall er sagt hafa markgildi ef það hefur tvíhliða markgildi.
• Graf gefur sjónræna aðferð til að ákvarða markgildi falls.
• Ef fallið hefur markgildi þegar $x$ stefnir á $a,$ nálgast greinar grafsins sama $y\text{-}$ hnitið í grennd við $x=a$ frá vinstri og hægri. Sjá dæmi 2 .
• Nota má töflu til að ákvarða hvort fall hafi markgildi. Taflan á að sýna inntaksgildi sem stefna á $a$ úr báðum áttum svo hægt sé að meta úttaksgildin sem fást. Ef úttaksgildin stefna á einhverja tölu hefur fallið markgildi. Sjá dæmi 3 .
• Einnig má nota grafreikni til að finna markgildi. Sjá dæmi 4 .

12.2 Markgildi fundin með eiginleikum markgilda

• Nota má eiginleika markgilda til að framkvæma reikniaðgerðir á markgildum falla í stað fallanna sjálfra. Sjá dæmi 1 .
• Markgildi margliðufalls má finna með því að leggja saman markgildi einstakra liða. Sjá dæmi 2 og dæmi 3 .
• Markgildi veldis af falli er jafnt sama veldi af markgildi fallsins. Önnur aðferð er bein innsetning. Sjá dæmi 4 .
• Markgildi rótar af falli er jafnt samsvarandi rót af markgildi fallsins.
• Ein leið til að finna markgildi falls sem er ritað sem kvóti er að þátta kvótann og einfalda. Sjá dæmi 5 .
• Önnur aðferð til að finna markgildi flókins brots er að finna minnsta samnefnarann. Sjá dæmi 6 .
• Meta má markgildi sem inniheldur fall með rót með því að nota samoka stæðu. Sjá dæmi 7 .
• Finna má markgildi sumra falla sem rituð eru sem kvótar með þáttun. Sjá dæmi 8 .
• Ein leið til að meta markgildi kvóta með tölugildum er að nota tölulegar upplýsingar. Einnig getur verið gagnlegt að setja stæðuna fram kaflaskipt. Sjá dæmi 9 .

12.3 Samfelldni

• Samfellt fall má sýna með grafi sem hefur hvorki göt né rof.
• Fall sem hefur göt í grafi sínu er ósamfellt fall.
• Fall er samfellt í tiltekinni tölu ef þrjú skilyrði eru uppfyllt:
  Skilyrði 1: $f(a)$ er til. Skilyrði 2: $\underset{x\to a}{\lim }f(x)$ er til í $x=a.$ Skilyrði 3: $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a).$
  • Skilyrði 1: $f(a)$ er til.
  • Skilyrði 2: $\underset{x\to a}{\lim }f(x)$ er til í $x=a.$
  • Skilyrði 3: $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a).$
• Fall hefur stökkósamfelldni ef markgildin frá vinstri og hægri eru ólík þannig að grafið „stökkvi“.
• Fall hefur afmáanlega ósamfelldni ef hægt er að endurskilgreina það í ósamfelldnipunktinum þannig að það verði samfellt. Sjá dæmi 1 .
• Sum föll, svo sem margliðuföll, eru samfelld alls staðar. Önnur föll, svo sem lograföll, eru samfelld á skilgreiningarmengi sínu. Sjá dæmi 2 og dæmi 3 .
• Til að kaflaskipt fall sé samfellt þarf hver grein þess að vera samfelld á sínum hluta skilgreiningarmengisins og fallið í heild að vera samfellt á skilpunktunum. Sjá dæmi 4 og dæmi 5 .

12.4 Afleiður

• Hallatala sniðilsins sem tengir tvo punkta er meðalbreytingarhraði fallsins milli punktanna. Sjá dæmi 1 .
• Afleiðan, eða augnabliksbreytingarhraðinn, mælir halla ferils falls í tilteknum punkti, eða hallatölu snertils við ferilinn í punktinum. Sjá dæmi 2 , dæmi 3 og dæmi 4 .
• Mismunakvótinn er kvótinn í formúlunni fyrir augnabliksbreytingarhraða:
  $\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}$
• Nota má augnabliksbreytingarhraða til að leysa mörg raunveruleg viðfangsefni. Sjá dæmi 5 .
• Finna má augnabliksbreytingarhraða með því að skoða halla falls í punkti á grafi og draga snertil við fallið í þeim punkti. Sjá dæmi 6 .
• Túlka má augnabliksbreytingarhraða til að lýsa raunverulegum aðstæðum. Sjá dæmi 7 og dæmi 8 .
• Sum föll eru ekki deildanleg í einum eða fleiri punktum. Sjá dæmi 9 .
• Nota má punkthallaform línu til að finna jöfnu snertils við feril falls. Sjá dæmi 10 .
• Hraði er breyting staðsetningar með tilliti til tíma. Augnablikshraði lýsir hraða hlutar á tilteknu augnabliki. Meðalhraði lýsir hraðanum sem hluturinn heldur að meðaltali á tímabili.
• Með afleiðu er unnt að reikna augnablikshraða þótt enginn tími líði. Sjá dæmi 11 .