44 Vísis- og lograföll

4.2 Gröf vísisfalla

Námsmarkmið

Teikna gröf vísisfalla.
Teikna gröf vísisfalla með ummyndunum.

Eins og kom fram í síðasta hluta eru vísisföll notuð til að lýsa ýmsum raunverulegum fyrirbærum, meðal annars í fjármálum, réttarrannsóknum, tölvunarfræði og lífvísindum. Með jöfnu sem lýsir slíkum aðstæðum má spá fyrir um þróun samkvæmt forsendum líkansins. Jafnan ein og sér gefur þó ekki alltaf skýra mynd af þróuninni. Graf fallsins gerir hana sýnilega og auðveldar okkur að skilja líkanið og túlka spár þess.

Gröf vísisfalla teiknuð

Áður en við teiknum gröf skulum við rifja upp vísisvöxt. Skoðum fall á forminu f(x) = b^x, þar sem grunntalan b er stærri en 1. Við notum f(x) = 2^x sem dæmi. Skoðið í töflu 1 hvernig fallgildin breytast þegar x hækkar um 1.

	$x$		$- 3$		$- 2$		$- 1$		$0$		$1$		$2$		$3$
	$f (x) = 2^{x}$		$\frac{1}{8}$		$\frac{1}{4}$		$\frac{1}{2}$		$1$		$2$		$4$		$8$

Hvert fallgildi í töflunni fæst með því að margfalda næsta gildi á undan með grunntölunni 2. Hlutfall samliggjandi fallgilda er því alltaf 2. Almennt gildir fyrir vísisfallið f(x) = a·b^x að f(x + 1) = b·f(x). Þegar x hækkar um 1 margfaldast fallgildið því með b, óháð gildinu á a. Grunntalan b er þannig fast hlutfall samliggjandi fallgilda þegar x hækkar í einingarskrefum.

Gildin í töflunni sýna dæmi um hegðun fallsins f(x) = 2^x. Almennt gildir um þetta fall:

Fallgildin eru jákvæð fyrir öll raungildi x.
Þegar x stefnir á jákvætt óendanlegt vex fallgildið ótakmarkað.
Þegar x stefnir á neikvætt óendanlegt nálgast fallgildið núll en verður aldrei núll.

Mynd 1 sýnir graf vísisvaxtarfallsins f(x) = 2^x.

Graf vísisfallsins 2^(x) með merktum punktum í (-3, 1/8), (-2, 1/4), (-1, 1/2), (0, 1), (1, 2), (2, 4) og (3, 8). Á grafinu er tekið fram að x-ásinn sé láfella. — **Mynd 1.** Takið eftir að grafið nálgast x-ásinn en snertir hann aldrei.

Skilgreiningarmengi fallsins f(x) = 2^x er mengi allra rauntalna og myndmengið er (0, ∞). Grafið hefur láfelluna y = 0.

Til að skoða hegðun vísishnignunarfalls búum við til gildatöflu fyrir fall á forminu f(x) = b^x, þar sem grunntalan b er stærri en núll en minni en einn. Við notum g(x) = (1/2)^x sem dæmi. Skoðið í töflu 2 hvernig fallgildin breytast þegar x hækkar um 1.

	$x$		$-3$		$-2$		$-1$		$0$		$1$		$2$		$3$
	$g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$		$8$		$4$		$2$		$1$		$\frac{1}{2}$		$\frac{1}{4}$		$\frac{1}{8}$

Þegar x hækkar um 1 margfaldast fallgildið með grunntölunni 1/2. Hvert fallgildi í töflunni er því helmingur næsta gildis á undan.

Gildin í töflunni sýna dæmi um hegðun fallsins g(x) = (1/2)^x. Almennt gildir um þetta fall:

Fallgildin eru jákvæð fyrir öll raungildi x.
Þegar x stefnir á jákvætt óendanlegt nálgast fallgildið núll en verður aldrei núll.
Þegar x stefnir á neikvætt óendanlegt vex fallgildið ótakmarkað.

Mynd 2 sýnir graf vísishnignunarfallsins g(x) = (1/2)^x.

Graf minnkandi vísisfallsins (1/2)^x með merktum punktum í (-3, 8), (-2, 4), (-1, 2), (0, 1), (1, 1/2), (2, 1/4) og (3, 1/8). Á grafinu er tekið fram að x-ásinn sé láfella.

Skilgreiningarmengi fallsins g(x) = (1/2)^x er mengi allra rauntalna og myndmengið er (0, ∞). Grafið hefur láfelluna y = 0.

Dæmi 1

Að skissa graf vísisfalls á forminu f(x) = bˣ

Skissið graf fallsins f(x) = (0,25)^x. Tilgreinið skilgreiningarmengi og myndmengi fallsins og láfellu grafsins.

Lausn

Áður en við teiknum grafið skulum við skoða hegðun fallsins og gera gildatöflu.

Grunntalan b = 0,25 er stærri en núll en minni en einn, svo fallið er minnkandi. Þegar x stefnir á neikvætt óendanlegt vex fallgildið ótakmarkað. Þegar x stefnir á jákvætt óendanlegt nálgast grafið láfelluna y = 0.
Gerið gildatöflu eins og sýnt er í töflu 3.
$x$ $- 3$ $- 2$ $- 1$ $0$ $1$ $2$ $3$
$f (x) = {0,25}^{x}$ $64$ $16$ $4$ $1$ $0,25$ $0,0625$ $0,015625$
Merkið skurðpunktinn við y-ásinn, (0, 1), og tvo aðra punkta. Til dæmis má nota punktana (−1, 4) og (1; 0,25).

Teiknið sléttan feril í gegnum punktana eins og sýnt er á mynd 4.

Graf minnkandi vísisfallsins f(x) = (0,25)^x með merktum punktum (−1, 4), (0, 1) og (1; 0,25). — Mynd 4

Skilgreiningarmengið er (−∞, ∞) og myndmengið er (0, ∞). Grafið hefur láfelluna y = 0.

Gröf vísisfalla ummynduð

Gröf vísisfalla má ummynda á sama hátt og gröf annarra falla. Við getum hliðrað, speglað, teygt eða þjappað saman grafi grunnfallsins f(x) = b^x. Þessar ummyndanir varðveita megineinkenni lögunar grafsins. Til samanburðar helst graf annars stigs falls fleygbogi þegar því er hliðrað, speglað, teygt eða þjappað saman.

Lóðrétt hliðrun teiknuð

Þegar fasta d er bætt við fallgildin fæst fallið g(x) = b^x + d. Graf þess er lóðrétt hliðrun á grafi grunnfallsins f(x) = b^x: upp um d einingar ef d > 0 og niður um |d| einingar ef d < 0. Skoðum til dæmis f(x) = 2^x. Graf fallsins g(x) = 2^x + 3 fæst með því að hliðra grafi f upp um 3 einingar, en graf fallsins h(x) = 2^x − 3 fæst með því að hliðra því niður um 3 einingar. Mynd 5 sýnir báðar hliðranirnar.

Gröf þriggja falla: g(x) = 2^x + 3 er rautt með láfelluna y = 3, f(x) = 2^x er blátt með láfelluna y = 0 og h(x) = 2^x − 3 er appelsínugult með láfelluna y = −3. Láfellurnar eru sýndar með grænum strikalínum.

Skoðið áhrif þess að hliðra grafi fallsins f(x) = 2^x lóðrétt:

Skilgreiningarmengið (−∞, ∞) breytist ekki.
Þegar grafi f er hliðrað upp um 3 einingar fæst graf fallsins g(x) = 2^x + 3:
- Skurðpunkturinn við y-ásinn færist upp um 3 einingar, úr (0, 1) í (0, 4).
- Láfellan færist upp um 3 einingar, úr y = 0 í y = 3.
- Myndmengið verður (3, ∞).
Þegar grafi f er hliðrað niður um 3 einingar fæst graf fallsins h(x) = 2^x − 3:
- Skurðpunkturinn við y-ásinn færist niður um 3 einingar, úr (0, 1) í (0, −2).
- Láfellan færist niður um 3 einingar, úr y = 0 í y = −3.
- Myndmengið verður (−3, ∞).

Lárétt hliðrun teiknuð

Þegar x er skipt út fyrir x + c í grunnfallinu f(x) = b^x fæst fallið g(x) = b^{x + c}. Graf þess er lárétt hliðrun á grafi f: til vinstri um c einingar ef c > 0 og til hægri um |c| einingar ef c < 0. Skoðum til dæmis f(x) = 2^x. Graf fallsins g(x) = 2^{x + 3} fæst með því að hliðra grafi f til vinstri um 3 einingar, en graf fallsins h(x) = 2^{x − 3} fæst með því að hliðra því til hægri um 3 einingar. Mynd 6 sýnir báðar hliðranirnar.

Gröf þriggja falla: g(x) = 2^(x + 3) er rautt, f(x) = 2^x er blátt og h(x) = 2^(x − 3) er appelsínugult. Graf g er hliðrað 3 einingar til vinstri frá grafi f og graf h er hliðrað 3 einingar til hægri. Öll gröfin hafa láfelluna y = 0, sem er sýnd með grænni strikalínu.

Skoðið áhrif þess að hliðra grafi fallsins f(x) = 2^x lárétt:

Skilgreiningarmengið (−∞, ∞) breytist ekki.
Láfellan y = 0 breytist ekki.
Skurðpunkturinn við y-ásinn breytist sem hér segir:
- Við hliðrun um 3 einingar til vinstri fæst g(x) = 2^{x + 3}. Grafið sker y-ásinn í (0, 8). Þar sem 2^{x + 3} = 8·2^x er upphafsgildi fallsins g(0) = 8.
- Við hliðrun um 3 einingar til hægri fæst h(x) = 2^{x − 3}. Grafið sker y-ásinn í (0, 1/8). Þar sem 2^{x − 3} = (1/8)·2^x er upphafsgildi fallsins h(0) = 1/8.

Dæmi 2

Hliðrun grafs vísisfalls teiknuð

Teiknið graf fallsins f(x) = 2^{x + 1} − 3. Tilgreinið skilgreiningarmengi og myndmengi fallsins og láfellu grafsins.

Lausn

Fallið er á forminu f(x) = b^{x + c} + d, þar sem b = 2, c = 1 og d = −3.

Teiknið láfelluna y = d, það er y = −3.

Hliðrunin er gefin með vigrinum (−c, d) = (−1, −3).

Hliðrið grafi grunnfallsins y = 2^x um 1 einingu til vinstri og 3 einingar niður.

Graf fallsins f(x) = 2^(x+1)-3 með láfelluna y = -3. Merktir punktar á grafinu eru (-1, -2), (0, -1) og (1, 1). — Mynd 7

Skilgreiningarmengið er (−∞, ∞) og myndmengið er (−3, ∞). Láfellan er y = −3.

Dæmi 3

Lausn vísisjöfnu nálguð

Leysið jöfnuna 42 = 1,2·5^x + 2,8 með grafi. Námundið lausnina að þremur aukastöfum.

Lausn

Ýtið á [Y=] og sláið stæðuna 1.2*5^X+2.8 inn í línuna „Y1=“. Sláið síðan 42 inn í línuna „Y2=“. Stillið gluggann á x-gildi frá −3 til 3 og y-gildi frá −5 til 55. Ýtið á [GRAPH]. Gröfin skerast nálægt x = 2. Í innslættinum á grafreikninum er notaður tugabrotspunktur.

Til að fá nákvæmari nálgun skuluð þið ýta á [2ND] og síðan [CALC]. Veljið [5: intersect] og ýtið þrisvar á [ENTER]. x-hnit skurðpunktsins birtist sem 2.1661943 á grafreikninum. Síðustu aukastafir geta verið örlítið mismunandi eftir gluggastillingum og upphafságiskuninni „Guess?“. Námundað að þremur aukastöfum er x ≈ 2,166.

Teygja eða samþjöppun teiknuð

Við lárétta hliðrun er fasta bætt við x en við lóðrétta hliðrun er fasta bætt við fallgildin. Lóðrétt teygja eða samþjöppun fæst með því að margfalda öll fallgildi grunnfallsins f(x) = b^x með jákvæðum stuðli. Stuðull stærri en 1 teygir grafið lóðrétt, en stuðull á milli 0 og 1 þjappar því saman. Til dæmis fæst g(x) = 3·2^x með því að þrefalda fallgildi f(x) = 2^x, eins og sýnt er vinstra megin á mynd 8. Fallið h(x) = (1/3)·2^x fæst með því að deila fallgildunum með 3, eins og sýnt er hægra megin á mynd 8.

Tvö gröf. Graf a sýnir dæmi um lóðrétta teygju og graf b sýnir dæmi um lóðrétta samþjöppun. — **Mynd 8.** (a) Graf g(x) = 3·2x fæst með því að teygja graf f(x) = 2x lóðrétt með stuðlinum 3. (b) Graf h(x) = (1/3)·2x fæst með því að þjappa grafi f(x) = 2x saman lóðrétt með stuðlinum 1/3.

Dæmi 4

Teygja grafs vísisfalls teiknuð

Skissið graf fallsins f(x) = 4·(1/2)^x. Tilgreinið skilgreiningarmengi og myndmengi fallsins og láfellu grafsins.

Lausn

Áður en við teiknum grafið skulum við skoða hegðun fallsins og velja nokkra punkta á grafinu.

Grunntalan b = 1/2 er stærri en núll en minni en einn. Þegar x stefnir á neikvætt óendanlegt vex fallgildið ótakmarkað. Þegar x stefnir á jákvætt óendanlegt nálgast grafið x-ásinn.
Þar sem a = 4 fæst grafið með því að teygja graf grunnfallsins y = (1/2)^x lóðrétt með stuðlinum 4.
Gerið gildatöflu eins og sýnt er í töflu 4.
$x$ $- 3$ $- 2$ $- 1$ $0$ $1$ $2$ $3$
$f (x) = 4 {(\frac{1}{2})}^{x}$ $32$ $16$ $8$ $4$ $2$ $1$ $0,5$
Merkið skurðpunktinn við y-ásinn, (0, 4), og tvo aðra punkta. Til dæmis má nota punktana (−1, 8) og (1, 2).

Teiknið sléttan feril í gegnum punktana eins og sýnt er á mynd 9.

Graf fallsins f(x) = 4(1/2)^(x) með láfelluna y = 0. Merktir punktar á grafinu eru (-1, 8), (0, 4) og (1, 2). — Mynd 9

Skilgreiningarmengið er (−∞, ∞) og myndmengið er (0, ∞). Láfellan er y = 0.

Speglanir grafa

Einnig má spegla graf um x-ásinn eða y-ásinn. Þegar öll fallgildi grunnfallsins f(x) = b^x eru margfölduð með −1 fæst speglun um x-ásinn. Þegar x er skipt út fyrir −x fæst speglun um y-ásinn. Skoðum til dæmis grunnfallið f(x) = 2^x. Graf g(x) = −2^x er speglun grafs f um x-ásinn, eins og sýnt er vinstra megin á mynd 10. Graf h(x) = 2^−x er speglun grafs f um y-ásinn, eins og sýnt er hægra megin á mynd 10.

Tvö gröf. Graf a sýnir speglun um x-ásinn og graf b sýnir speglun um y-ásinn. — **Mynd 10.** (a) Graf g(x) = −2x er speglun grafs f(x) = 2x um x-ásinn. (b) Graf h(x) = 2−x er speglun grafs f(x) = 2x um y-ásinn.

Dæmi 5

Jafna fyrir speglun vísisfalls fundin og grafið teiknað

Finnið jöfnu fallsins g sem hefur graf sem er speglun grafs f(x) = (1/4)^x um x-ásinn. Teiknið graf g og tilgreinið skilgreiningarmengi og myndmengi fallsins og láfellu grafsins.

Lausn

Til að spegla graf f(x) = (1/4)^x um x-ásinn margföldum við öll fallgildin með −1. Þá fæst g(x) = −(1/4)^x. Næst gerum við gildatöflu eins og sýnt er í töflu 5.

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$g (x) = - {(\frac{1}{4})}^{x}$	$- 64$	$- 16$	$- 4$	$- 1$	$- 0,25$	$- 0,0625$	$- 0,015625$

Merkið skurðpunktinn við y-ásinn, (0, −1), og tvo aðra punkta. Til dæmis má nota punktana (−1, −4) og (1; −0,25).

Teiknið sléttan feril í gegnum punktana:

Graf fallsins g(x) = −(1/4)^x með láfelluna y = 0. Merktir punktar eru (−1, −4), (0, −1) og (1; −0,25). — Mynd 11

Skilgreiningarmengið er (−∞, ∞) og myndmengið er (−∞, 0). Láfellan er y = 0.

Samantekt á ummyndunum vísisfallsins

Tafla 6 tekur saman þær ummyndanir grafa vísisfalla sem við höfum skoðað. Út frá þeim má setja fram almenna jöfnu sem lýsir samspili ummyndana.

		Ummyndanir grafs grunnfallsins $f (x) = b^{x}$
	Ummyndun		Formúla
	Hliðrun Til vinstri um c einingar ef c > 0, en til hægri um \|c\| einingar ef c < 0. Upp um d einingar ef d > 0, en niður um \|d\| einingar ef d < 0.		$f (x) = b^{x + c} + d$
	Teygja og samþjöppun Lóðrétt teygja með stuðlinum \|a\| ef \|a\| > 1. Lóðrétt samþjöppun með stuðlinum \|a\| ef 0 < \|a\| < 1. Ef a < 0 speglast grafið einnig um x-ásinn.		$f (x) = a b^{x}$
	Speglun um x-ásinn		$f (x) = - b^{x}$
	Speglun um y-ásinn		$f (x) = b^{- x} = {(\frac{1}{b})}^{x}$
	Hliðranir, lóðrétt teygja eða samþjöppun og möguleg speglun um x-ásinn		$f (x) = a b^{x + c} + d$

Ummyndanir vísisfalla

Með hliðrunum, lóðréttri teygju eða samþjöppun og mögulegri speglun um x-ásinn fæst fall á forminu

f (x) = a b^{x + c} + d

4.1

Hér er grafi grunnfallsins y = b^x, þar sem b > 1, ummyndað á eftirfarandi hátt:

hliðrað |c| einingar til vinstri ef c > 0 en til hægri ef c < 0. Ef c = 0 er engin lárétt hliðrun.
teygt lóðrétt með stuðlinum |a| ef |a| > 1.
þjappað lóðrétt með stuðlinum |a| ef 0 < |a| < 1. Ef |a| = 1 er hvorki teygt né þjappað.
hliðrað |d| einingar upp ef d > 0 en niður ef d < 0. Ef d = 0 er engin lóðrétt hliðrun.
speglað um x-ásinn ef a < 0, áður en lóðrétta hliðrunin er framkvæmd.

Röð ummyndana skiptir máli. Fyrst má hliðra grafinu lárétt, síðan margfalda y-hnitin með a (sem felur einnig í sér speglun ef a < 0) og loks hliðra því lóðrétt um d. Hér er gert ráð fyrir að a ≠ 0.

Dæmi 6

Fall skrifað út frá lýsingu

Skrifið jöfnu fallsins sem lýst er hér á eftir. Tilgreinið láfelluna, skilgreiningarmengið og myndmengið.

Graf fallsins f(x) = e^x er teygt lóðrétt með stuðlinum 2, speglað um y-ásinn og síðan hliðrað 4 einingar upp.

Lausn

Við byrjum á grunnfallinu og framkvæmum ummyndanirnar í lýsingunni. Speglun um y-ásinn fæst með því að setja −x í stað x.

Grunnfallið er f(x) = e^x.
Lóðrétt teygja með stuðlinum 2 margfaldar öll fallgildi með 2.
Við speglun um y-ásinn verður e^x að e^−x.
Lóðrétt hliðrun um 4 einingar upp bætir 4 við öll fallgildi.

Þegar ummyndanirnar eru sameinaðar fæst eftirfarandi jafna:

\begin{array}{l} f (x) & = 2 e^{- x + 0} + 4 \\ = 2 e^{- x} + 4 \end{array}

Skilgreiningarmengið er (−∞, ∞) og myndmengið er (4, ∞). Láfellan er y = 4.

4.2 Dæmi úr kaflanum

Orðleg dæmi

Hvernig má nota láfellu vísisfalls til að lýsa endhegðun grafsins?

Hvaða kostur felst í því að geta greint með algebru ummyndanir á grafi grunnfalls?

Algebrudæmi

Graf fallsins f(x) = 3^x er speglað um y-ásinn og teygt lóðrétt með stuðlinum 4. Finnið jöfnu nýja fallsins g(x) og tilgreinið skurðpunkt grafs þess við y-ásinn, skilgreiningarmengi og myndmengi.

Graf fallsins f(x) = (1/2)^−x er speglað um y-ásinn og þjappað lóðrétt með stuðlinum 1/5. Finnið jöfnu nýja fallsins g(x) og tilgreinið skurðpunkt grafs þess við y-ásinn, skilgreiningarmengi og myndmengi.

Graf fallsins f(x) = 10^x er speglað um x-ásinn og síðan hliðrað 7 einingar upp. Finnið jöfnu nýja fallsins g(x) og tilgreinið skurðpunkt grafs þess við y-ásinn, skilgreiningarmengi og myndmengi.

Graf fallsins f(x) = (1,68)^x er hliðrað 3 einingar til hægri, teygt lóðrétt með stuðlinum 2, speglað um x-ásinn og síðan hliðrað 3 einingar niður. Finnið jöfnu nýja fallsins g(x) og tilgreinið skurðpunkt grafs þess við y-ásinn, skilgreiningarmengi og myndmengi. Námundið y-hnit skurðpunktsins að þremur aukastöfum.

Graf fallsins f(x) = −(1/2)·(1/4)^{x − 2} + 4 er hliðrað 4 einingar niður, síðan 2 einingar til vinstri, því næst teygt lóðrétt með stuðlinum 4 og loks speglað um x-ásinn. Finnið jöfnu nýja fallsins g(x) og tilgreinið skurðpunkt grafs þess við y-ásinn, skilgreiningarmengi og myndmengi.

Myndræn dæmi

Í eftirfarandi dæmum skal teikna graf fallsins og spegilmynd þess um y-ásinn í sama hnitakerfi og tilgreina skurðpunkt grafanna við y-ásinn.

$f (x) = 3 {(\frac{1}{2})}^{x}$

$g (x) = - 2 {(0,25)}^{x}$

10.

$h (x) = 6 {(1,75)}^{- x}$

Í eftirfarandi dæmum skal teikna gröf gefnu fallanna í sama hnitakerfi.

11.

$f (x) = 3 {(\frac{1}{4})}^{x}$ , $g (x) = 3 {(2)}^{x}$ og $h (x) = 3 {(4)}^{x}$

12.

$f (x) = \frac{1}{4} {(3)}^{x}$ , $g (x) = 2 {(3)}^{x}$ og $h (x) = 4 {(3)}^{x}$

Í eftirfarandi dæmum skal para hvert fall við eitt grafanna á mynd 12.

Gröf sex vísisfalla. — **Mynd 12.** Sex gröf merkt A–F fyrir pörunardæmin.

13.

$f (x) = 2 {(0,69)}^{x}$

14.

$f (x) = 2 {(1,28)}^{x}$

15.

$f (x) = 2 {(0,81)}^{x}$

16.

$f (x) = 4 {(1,28)}^{x}$

17.

$f (x) = 2 {(1,59)}^{x}$

18.

$f (x) = 4 {(0,69)}^{x}$

Í eftirfarandi dæmum skal nota gröfin á mynd 13. Föllin eru öll á forminu f(x) = a·b^x.

19.

Á hvaða grafi hefur grunntalan b stærsta gildið?

20.

Á hvaða grafi hefur grunntalan b minnsta gildið?

21.

Á hvaða grafi hefur stuðullinn a stærsta gildið?

22.

Á hvaða grafi hefur stuðullinn a minnsta gildið?

Í eftirfarandi dæmum skal teikna graf fallsins og spegilmynd þess um x-ásinn í sama hnitakerfi.

23.

$f (x) = \frac{1}{2} {(4)}^{x}$

24.

$f (x) = 3 {(0,75)}^{x} - 1$

25.

$f (x) = - 4 {(2)}^{x} + 2$

Í eftirfarandi dæmum skal teikna grafið sem fæst með tilgreindri ummyndun á grafi fallsins f(x) = 2^x. Tilgreinið láfelluna, skilgreiningarmengið og myndmengið.

26.

$f (x) = 2^{- x}$

27.

$h (x) = 2^{x} + 3$

28.

$f (x) = 2^{x - 2}$

Í eftirfarandi dæmum skal lýsa endhegðun grafa fallanna.

29.

$f (x) = - 5 {(4)}^{x} - 1$

30.

$f (x) = 3 {(\frac{1}{2})}^{x} - 2$

31.

$f (x) = 3 {(4)}^{- x} + 2$

Í eftirfarandi dæmum skal byrja á grafi fallsins f(x) = 4^x og finna jöfnu fallsins sem fæst með tilgreindri ummyndun.

32.

Hliðrið grafi fallsins f(x) um 4 einingar upp.

33.

Hliðrið grafi fallsins f(x) um 3 einingar niður.

34.

Hliðrið grafi fallsins f(x) um 2 einingar til vinstri.

35.

Hliðrið grafi fallsins f(x) um 5 einingar til hægri.

36.

Speglið graf fallsins f(x) um x-ásinn.

37.

Speglið graf fallsins f(x) um y-ásinn.

Í eftirfarandi dæmum hefur graf fallsins y = 2^x verið ummyndað. Finnið jöfnu fallsins sem hvert graf sýnir.

38.

Graf f(x) = 2^(x) með eftirfarandi ummyndunum: lóðréttri teygju með stuðlinum 4, speglun um x-ásinn og hliðrun upp um 1.

39.

Graf f(x) = 2^(x) með eftirfarandi ummyndunum: speglun um x-ásinn og hliðrun upp um 3.

40.

Graf f(x) = 2^(x) með eftirfarandi ummyndunum: lóðréttri teygju með stuðlinum 2, speglun um x-ás og y-ás og hliðrun upp um 3.

Í eftirfarandi dæmum skal finna jöfnu vísisfallsins sem grafið sýnir.

41.

Graf f(x) = 3^(x) með eftirfarandi ummyndunum: lóðréttri teygju með stuðlinum 2, speglun um x-ásinn og hliðrun upp um 7.

42.

Graf f(x) = (1/2)^(x) með eftirfarandi ummyndunum: lóðréttri teygju með stuðlinum 2 og hliðrun niður um 4.

Töluleg dæmi

Í eftirfarandi dæmum skal reikna fallgildið fyrir tilgreint gildi á x.

43.

Reiknið $g (6)$ ef $g (x) = \frac{1}{3} {(7)}^{x - 2}$ .

44.

Reiknið $f (5)$ ef $f (x) = 4 {(2)}^{x - 1} - 2$ .

45.

Reiknið $h (- 7)$ ef $h (x) = - \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{x} + 6$ .

Tækninotkun

Í eftirfarandi dæmum skal nota grafreikni til að finna nálgun á lausn hverrar jöfnu. Námundið að þremur aukastöfum.

46.

$- 50 = - {(\frac{1}{2})}^{- x}$

47.

$116 = \frac{1}{4} {(\frac{1}{8})}^{x}$

48.

$12 = 2 {(3)}^{x} + 1$

49.

$5 = 3 {(\frac{1}{2})}^{x - 1} - 2$

50.

$- 30 = - 4 {(2)}^{x + 2} + 2$

Viðbótardæmi

51.

Rannsakið og berið saman gröf fallanna $F (x) = {(b)}^{x}$ og $G (x) = {(\frac{1}{b})}^{x} .$ Setjið síðan fram tilgátu um samband grafanna fyrir sérhverja jákvæða rauntölu b.

52.

Sannið tilgátuna úr dæminu á undan.

53.

Rannsakið og berið saman gröf fallanna $f (x) = 4^{x},$ $g (x) = 4^{x - 2}$ og $h (x) = (\frac{1}{16}) 4^{x} .$ Setjið síðan fram tilgátu um samband grafa fallanna $b^{x}$ og $(\frac{1}{b^{n}}) b^{x}$ fyrir sérhverja rauntölu n og sérhverja jákvæða rauntölu b.

54.

Sannið tilgátuna úr dæminu á undan.

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x) = {0,25}^{x}$	$64$	$16$	$4$	$1$	$0,25$	$0,0625$	$0,015625$