44 Vísis- og lograföll

4.6 Vísisjöfnur og lograjöfnur

Námsmarkmið

Í þessum kafla lærið þið að:

Leysa vísisjöfnur með því að rita báðar hliðar sem veldi með sömu grunntölu.
Nota logra til að leysa vísisjöfnur.
Nota skilgreiningu logra til að leysa lograjöfnur.
Nota eintæknieiginleika logra til að leysa lograjöfnur.
Leysa hagnýt verkefni með vísisjöfnum og lograjöfnum.

Kanínur sitja á laufþakinni jörð við múrsteinsbyggingu. Nokkrar þeirra hópast saman við op undir veggnum. — **Mynd 1.** Villtar kanínur í Ástralíu. Kanínustofninn óx svo hratt að ástandið varð þekkt sem „kanínuplágan“. (mynd: Richard Taylor, Flickr)

Árið 1859 lét landeigandinn Thomas Austin flytja 24 kanínur frá Englandi til Ástralíu og sleppti hluta þeirra á landareign sinni til veiða. Kanínurnar aðlöguðust aðstæðum vel og fjölgaði ört. Á næstu áratugum breiddust þær út um stóran hluta Ástralíu.

Lýsa má stjórnlausri fjölgun dýra, eins og fjölgun villtu kanínanna í Ástralíu, með vísisföllum. Með því að leysa jöfnur sem byggjast á þessum föllum má greina vísisvöxt og spá fyrir um hann. Í þessum kafla lærum við aðferðir til að leysa vísisjöfnur.

Vísisjöfnur leystar með sömu grunntölu

Fyrsta aðferðin byggist á því að rita báðar hliðar jöfnunnar sem veldi með sömu grunntölu. Vísisföll eru eintæk: ef b > 0 og b ≠ 1 gildir b^S = b^T þá og því aðeins að S = T, þar sem S og T eru rauntölur.

Með öðrum orðum verða veldisvísarnir að vera jafnir þegar vísisjafna hefur sömu grunntölu beggja vegna jafnaðarmerkisins. Þetta gildir einnig þegar veldisvísarnir eru algebrustæður. Því má leysa margar vísisjöfnur með því að nota reiknireglur velda til að endurrita hvora hlið sem veldi með sömu grunntölu. Síðan notum við eintækni vísisfalla til að setja veldisvísana jafna og leysa fyrir óþekktu stærðina.

Skoðum til dæmis jöfnuna 3^{4x − 7} = 3^2x/3. Við notum deilingarreglu velda til að rita hægri hliðina sem eitt veldi með grunntölunni 3. Síðan setjum við veldisvísana jafna, þar sem vísisfallið er eintækt, og leysum fyrir x:

\begin{array}{l} 3^{4 x - 7} & = \frac{3^{2 x}}{3} \\ 3^{4 x - 7} & = \frac{3^{2 x}}{3^{1}} & {Ritum 3 sem 3}^{1} . \\ 3^{4 x - 7} & = 3^{2 x - 1} & Notum deilingarreglu velda . \\ 4 x - 7 & = 2 x - 1 & Notum að vísisfallið er eintækt . \\ 2 x & = 6 & Drögum frá 2 x og bætum 7 við báðar hliðar . \\ x & = 3 & Deilum með 2 . \end{array}

Dæmi 1

Vísisjafna með sameiginlegri grunntölu leyst

Leysið $2^{x - 1} = 2^{2 x - 4} .$

Lausn

\begin{array}{l} 2^{x - 1} = 2^{2 x - 4} & Sameiginlega grunntalan er 2. \\ x - 1 = 2 x - 4 \begin{matrix}  \end{matrix} & Veldisvísarnir eru jafnir því að vísisfallið er eintækt . \\ x = 3 & Leysum fyrir x . \end{array}

Jöfnur endurritaðar þannig að öll veldi hafi sömu grunntölu

Stundum er sameiginleg grunntala vísisjöfnu ekki sýnileg í upphafi. Þá endurritum við liðina í jöfnunni sem veldi með sameiginlegri grunntölu og leysum með eintæknieiginleikanum.

Skoðum til dæmis jöfnuna $256 = 4^{x - 5} .$ Endurrita má báðar hliðar hennar sem veldi af $2.$ Síðan beitum við reiknireglum velda og eintæknieiginleikanum til að leysa fyrir $x :$

\begin{array}{l} 256 = 4^{x - 5} \\ 2^{8} = {(2^{2})}^{x - 5} & Ritum hvora hlið sem veldi með grunntölunni 2 . \\ 2^{8} = 2^{2 x - 10} & Notum regluna um veldi af veldi . \\ 8 = 2 x - 10 \begin{matrix}  \end{matrix} & Notum að vísisfallið er eintækt . \\ 18 = 2 x & Bætum 10 við báðar hliðar . \\ x = 9 & Deilum með 2 . \end{array}

Dæmi 2

Jöfnur leystar með endurritun á sameiginlega grunntölu

Leysið $8^{x + 2} = 16^{x + 1} .$

Lausn

\begin{array}{l} 8^{x + 2} = 16^{x + 1} \\ {(2^{3})}^{x + 2} = {(2^{4})}^{x + 1} & Ritum 8 og 16 sem veldi af 2. \\ 2^{3 x + 6} = 2^{4 x + 4} & Þegar veldi er hafið í veldi eru veldisvísarnir margfaldaðir . \\ 3 x + 6 = 4 x + 4 & Notum að vísisfallið er eintækt og setjum veldisvísana jafna . \\ x = 2 & Leysum fyrir x . \end{array}

Dæmi 3

Jöfnur leystar með því að endurrita rætur sem brotveldi með sameiginlegri grunntölu

Leysið $2^{5 x} = \sqrt{2} .$

Lausn

\begin{array}{l} 2^{5 x} = 2^{\frac{1}{2}} & Ritum kvaðratrótina af 2 sem veldi af 2. \\ 5 x = \frac{1}{2} & Notum að vísisfallið er eintækt . \\ x = \frac{1}{10} & Leysum fyrir x . \end{array}

Dæmi 4

Vísisjafna án rauntölulausnar

Leysið $3^{x + 1} = −2.$

Lausn

Jafnan hefur enga rauntölulausn. Fyrir sérhverja rauntölu x er 3^{x + 1} jákvætt og getur því ekki verið jafnt −2.

Greining

Mynd 2 sýnir að gröfin tvö skerast ekki og því verður vinstri hliðin aldrei jöfn þeirri hægri. Jafnan hefur því enga lausn.

Gröf fallanna y = 3ˣ⁺¹ og y = −2. Vísisferillinn liggur ofan við x-ásinn og sker ekki láréttu línuna y = −2. — Mynd 2. Gröf fallanna y = 3ˣ⁺¹ og y = −2 skerast ekki.

Vísisjöfnur leystar með logrum

Stundum er ekki auðvelt að rita báðar hliðar vísisjöfnu sem veldi með sömu grunntölu. Þá getum við leyst jöfnuna með því að taka logra af báðum hliðum, að því gefnu að þær séu jákvæðar. Fyrir jákvæðar tölur a og b gildir log(a) = log(b) þá og því aðeins að a = b. Því má taka logra með sömu grunntölu af báðum hliðum án þess að breyta lausnamenginu.

Dæmi 5

Jafna með veldum ólíkra grunntalna leyst

Leysið $5^{x + 2} = 4^{x} .$

Lausn

\begin{array}{l} 5^{x + 2} = 4^{x} & Ekki er auðvelt að rita veldin með sömu grunntölu . \\ \ln 5^{x + 2} = \ln 4^{x} & Tökum náttúrulega logra af báðum hliðum . \\ (x + 2) \ln 5 = x \ln 4 & Notum veldisreglu logra . \\ x \ln 5 + 2 \ln 5 = x \ln 4 & Notum dreifiregluna . \\ x \ln 5 - x \ln 4 = - 2 \ln 5 & Færum liði með x öðrum megin og liði án x hinum megin . \\ x (\ln 5 - \ln 4) = - 2 \ln 5 & Vinstra megin tökum við út fyrir sviga x . \\ x \ln (\frac{5}{4}) = \ln (\frac{1}{25}) \begin{matrix}  \end{matrix} & Notum reiknireglur logra. \\ x = \frac{\ln (\frac{1}{25})}{\ln (\frac{5}{4})} & Deilum með stuðlinum við x . \end{array}

Jöfnur sem innihalda e

Algeng gerð vísisjafna hefur grunntöluna $e .$ Þessi fasti kemur sífellt fyrir í náttúrunni, stærðfræði, vísindum, verkfræði og fjármálum. Þegar jafna hefur grunntöluna $e$ öðrum hvorum megin má leysa hana með náttúrulega logranum.

Dæmi 6

Jafna á forminu y = Aeᵏᵗ leyst

Leysið $100 = 20 e^{2 t} .$

Lausn

\begin{array}{l} 100 & = 20 e^{2 t} \\ 5 & = e^{2 t} & Deilum með stuðli veldisins. \\ \ln 5 & = 2 t & Tökum náttúrulega logra af báðum hliðum . Notum að \ln (x) og e^{x} eru andhverf föll . \\ t & = \frac{\ln 5}{2} & Deilum með stuðlinum við t . \end{array}

Greining

Með reiknireglum logra má einnig rita svarið á forminu $t = \ln \sqrt{5} .$ Ef óskað er eftir tugabrotsnálgun á svarinu notum við reiknivél.

Dæmi 7

Jafna sem einfalda má á formið y = Aeᵏᵗ leyst

Leysið $4 e^{2 x} + 5 = 12.$

Lausn

\begin{array}{l} 4 e^{2 x} + 5 = 12 \\ 4 e^{2 x} = 7 & Drögum 5 frá báðum hliðum . \\ e^{2 x} = \frac{7}{4} & Deilum með stuðli veldisins . \\ 2 x = \ln (\frac{7}{4}) & Tökum náttúrulega logra af báðum hliðum . \\ x = \frac{1}{2} \ln (\frac{7}{4}) & Leysum fyrir x . \end{array}

Aukalausnir

Við lausn jöfnu getur komið fram aukalausn: gildi sem leysir umbreytta jöfnu en ekki upphaflegu jöfnuna. Því þarf að prófa mögulegar lausnir í upphaflegu jöfnunni og gæta að skilgreiningarskilyrðum. Þegar logra er beitt verður viðfang hvers logra að vera jákvætt. Logri af núlli eða neikvæðri tölu er ekki skilgreindur í rauntölum.

Dæmi 8

Vísisjöfnur leystar á annars stigs formi

Leysið $e^{2 x} - e^{x} = 56.$

Lausn

\begin{array}{l} e^{2 x} - e^{x} & = 56 \\ e^{2 x} - e^{x} - 56 & = 0 & Færum alla liði á aðra hliðina svo hin verði núll . \\ (e^{x} + 7) (e^{x} - 8) & = 0 & Þáttum annars stigs stæðuna . \\ e^{x} + 7 & = 0 eða e^{x} - 8 = 0 \begin{matrix}  \end{matrix} & Ef margfeldi er núll er að minnsta kosti annar þátturinn núll . \\ e^{x} & = - 7 eða e^{x} = 8 & Einangrum veldin . \\ e^{x} & = 8 & Höfnum jöfnunni þar sem veldið er jafnt neikvæðri tölu . \\ x & = \ln 8 & Leysum jöfnuna þar sem veldið er jafnt jákvæðri tölu . \end{array}

Greining

Til að leysa jöfnu með þáttun færum við alla liði á aðra hliðina svo hin verði núll. Ef margfeldi tveggja þátta er núll er að minnsta kosti annar þeirra núll. Hér fæst annaðhvort e^x = −7 eða e^x = 8. Fyrri jafnan hefur enga rauntölulausn því að e^x er alltaf jákvætt. Stæðan ln(−7) er ekki skilgreind í rauntölum og gefur því enga lausn fyrir x. Eina rauntölulausn upphaflegu jöfnunnar er x = ln(8).

Skilgreining lograns notuð til að leysa lograjöfnur

Við höfum þegar séð að lograjafnan log_b(x) = y er jafngild vísisjöfnunni b^y = x, þar sem b > 0, b ≠ 1 og x > 0. Þessa staðreynd má nota ásamt reiknireglum logra til að leysa lograjöfnur þar sem viðfangið er algebrustæða.

Skoðum til dæmis jöfnuna log₂(2) + log₂(3x − 5) = 3. Hún er aðeins skilgreind þegar 3x − 5 > 0, það er þegar x > 5/3. Við notum margfeldisreglu logra til að sameina lograna vinstra megin og beitum síðan skilgreiningu lograns til að leysa fyrir x:

\begin{array}{l} \log_{2} (2) + \log_{2} (3 x - 5) = 3 \\ \log_{2} (2 (3 x - 5)) = 3 & Notum margfeldisreglu logra. \\ \log_{2} (6 x - 10) = 3 & Margföldum inn í svigann . \\ 2^{3} = 6 x - 10 & Notum skilgreiningu lograns . \\ 8 = 6 x - 10 \begin{matrix}  \end{matrix} & Reiknum 2^{3} . \\ 18 = 6 x & Bætum 10 við báðar hliðar . \\ x = 3 & Deilum með 6 . \end{array}

Dæmi 9

Lograjafna leyst með algebru

Leysið $2 \ln x + 3 = 7.$

Lausn

\begin{array}{l} 2 \ln x + 3 = 7 \\ 2 \ln x = 4 & Drögum 3 frá báðum hliðum . \\ \ln x = 2 & Deilum með 2 . \\ x = e^{2} & Ritum á veldisformi . \end{array}

Dæmi 10

Algebra notuð fyrir og eftir að skilgreiningu náttúrulega lograns er beitt

Leysið $2 \ln (6 x) = 7.$

Lausn

\begin{array}{l} 2 \ln (6 x) = 7 \\ \ln (6 x) = \frac{7}{2} & Deilum með 2 . \\ 6 x = e^{(\frac{7}{2})} & Notum skilgreiningu \ln . \\ x = \frac{1}{6} e^{(\frac{7}{2})} & Deilum með 6 . \end{array}

Dæmi 11

Graf notað til að skilja lausn lograjöfnu

Leysið $\ln x = 3.$

Lausn

\begin{array}{l} \ln x = 3 \\ x = e^{3} & Notum skilgreiningu náttúrulega lograns . \end{array}

Mynd 3 sýnir gröf fallanna y = ln(x) og y = 3. X-hnit skurðpunkts þeirra er nálægt 20, það er e³ ≈ 20. Reiknivél gefur nákvæmara nálgunargildi: e³ ≈ 20,0855.

Gröf fallanna y = 3 og y = ln(x) skerast í punktinum (e³; 3), sem er um það bil (20,0855; 3). — **Mynd 3.** Gröf fallanna y = ln(x) og y = 3 skerast í punktinum (e³; 3), sem er um það bil (20,0855; 3).

Eintæknieiginleiki logra notaður til að leysa lograjöfnur

Líkt og með vísisjöfnur má nota eintæknieiginleikann til að leysa lograjöfnur. Lograföll eru eintæk: fyrir jákvæðar rauntölur S og T og grunntölu b > 0, b ≠ 1, gildir:

\log_{b} S = \log_{b} T þá og því aðeins að S = T .

Til dæmis:

Ef \log_{2} (x - 1) = \log_{2} (8), þá er x - 1 = 8.

Úr jöfnunni x − 1 = 8 fæst x = 9. Við sannreynum svarið með innsetningu í upphaflegu jöfnuna: log₂(9 − 1) = log₂(8) = 3. Viðföng beggja logra eru jákvæð. Þegar báðar hliðar jöfnu eru einn logri með sömu grunntölu eru viðföngin því jöfn. Þetta gildir einnig þegar viðföngin eru algebrustæður. Við getum því notað reiknireglur logra til að rita hvora hlið sem einn logra, að uppfylltum skilgreiningarskilyrðum. Síðan notum við eintækni lografalla til að setja viðföngin jöfn og leysa fyrir óþekktu stærðina.

Skoðum jöfnuna log(3x − 2) − log(2) = log(x + 4). Skilyrðin 3x − 2 > 0 og x + 4 > 0 gefa x > 2/3. Við notum deilingarreglu logra til að rita vinstri hliðina sem einn logra og síðan eintæknieiginleikann til að leysa fyrir x:

\begin{array}{l} \log (3 x - 2) - \log (2) = \log (x + 4) \\ \log (\frac{3 x - 2}{2}) = \log (x + 4) & Notum deilingarreglu logra . \\ \frac{3 x - 2}{2} = x + 4 & Notum eintækni lografalla . \\ 3 x - 2 = 2 x + 8 & Margföldum báðar hliðar jöfnunnar með 2. \\ x = 10 & Drögum frá 2 x og bætum 2 við . \end{array}

Til að sannreyna niðurstöðuna setjum við x = 10 í upphaflegu jöfnuna log(3x − 2) − log(2) = log(x + 4). Gildið uppfyllir einnig skilyrðið x > 2/3.

\begin{array}{l} \log (3 (10) - 2) - \log (2) = \log ((10) + 4) \\ \log (28) - \log (2) = \log (14) \\ \log (\frac{28}{2}) = \log (14) & Lausnin stenst prófunina . \end{array}

Dæmi 12

Jafna leyst með eintæknieiginleika logra

Leysið $\ln (x^{2}) = \ln (2 x + 3) .$

Lausn

\begin{array}{l} \ln (x^{2}) = \ln (2 x + 3) \\ x^{2} = 2 x + 3 & Notum eintækni lografalla . \\ x^{2} - 2 x - 3 = 0 & Færum alla liði á aðra hliðina áður en við þáttum . \\ (x - 3) (x + 1) = 0 & Þáttum annars stigs stæðuna . \\ x - 3 = 0 eða x + 1 = 0 \begin{matrix}  \end{matrix} & Ef margfeldi er núll er að minnsta kosti annar þátturinn núll . \\ x = 3 eða x = - 1 & Leysum fyrir x . \end{array}

Greining

Lausnirnar eru x = 3 og x = −1. Við x = 3 eru viðföng beggja logra 9, en við x = −1 eru þau 1. Báðar lausnirnar uppfylla því upphaflegu jöfnuna. Þótt x = −1 sé neikvætt eru viðföng logranna jákvæð.

Hagnýt verkefni leyst með vísis- og lograjöfnum

Í fyrri köflum lærðum við um eiginleika og reiknireglur vísisfalla og lografalla. Við höfum séð að log_b(x) = y er jafngilt b^y = x þegar b > 0, b ≠ 1 og x > 0. Við höfum notað þetta samband til að leysa bæði lograjöfnur og vísisjöfnur. Nú getum við beitt þessum aðferðum saman til að leysa jöfnur sem lýsa raunverulegum aðstæðum, hvort sem óþekkta stærðin er í veldisvísi eða viðfangi logra.

Eitt notkunarsvið þessara aðferða er rannsókn á geislavirkri sundrun. Helmingunartími geislavirkrar samsætu er sá tími sem tekur helming atómkjarna hennar í sýni að sundrast. Tafla 1 sýnir helmingunartíma nokkurra geislavirkra samsæta.

Efni	Notkun	Helmingunartími (um það bil)
gallín-67	kjarnlæknisfræði	80 klukkustundir
kóbalt-60	framleiðsla	5,3 ár
teknetín-99m	kjarnlæknisfræði	6 klukkustundir
ameríkín-241	reykskynjarar	432 ár
kolefni-14	aldursgreining fornleifa	5.730 ár
úran-235	kjarnorka	703.800.000 ár

Helmingunartími þessara efna er greinilega mjög mismunandi. Þegar helmingunartími efnis er þekktur má reikna magn þess sem eftir er að tilteknum tíma liðnum. Nota má formúluna fyrir geislavirka sundrun:

\begin{array}{l} A (t) = A_{0} e^{\frac{\ln (0,5)}{T} t} \\ A (t) = A_{0} e^{\ln (0,5) \frac{t}{T}} \\ A (t) = A_{0} {(e^{\ln (0,5)})}^{\frac{t}{T}} \\ A (t) = A_{0} {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}} \end{array}

þar sem

$A_{0}$ er upphaflegt magn
$T$ er helmingunartími efnisins
$t$ er tíminn sem liðinn er frá upphafi
$A (t)$ er magn efnisins sem er til staðar eftir tímann $t$

Dæmi 13

Tími fundinn með formúlunni fyrir geislavirka sundrun

Hve langan tíma tekur tíu prósent af 1000 gramma sýni af úrani-235 að sundrast?

Lausn

\begin{array}{l} y = 1000 \cdot e^{\frac{\ln (0,5)}{703800000} \cdot t} \\ 900 = 1000 e^{\frac{\ln (0,5)}{703.800.000} t} & Þegar 10% hafa sundrast eru 900 grömm eftir . \\ 0,9 = e^{\frac{\ln (0,5)}{703.800.000} t} & Deilum með 1000 . \\ \ln (0,9) = \ln (e^{\frac{\ln (0,5)}{703.800.000} t}) & Tökum náttúrulega logrann af báðum hliðum . \\ \ln (0,9) = \frac{\ln (0,5)}{703.800.000} t & ln (e^{M}) = M \\ t = 703.800.000 \times \frac{\ln (0,9)}{\ln (0,5)} ár \begin{matrix}  \end{matrix} & Einangrum t . \\ t \approx 106.979.777 ár \end{array}

Greining

Tíu prósent af 1000 grömmum eru 100 grömm. Ef 100 grömm sundrast eru 900 grömm af úrani-235 eftir.

4.6 Kaflaæfingar

Munnleg verkefni

Hvernig má leysa vísisjöfnu?

Hvenær kemur aukalausn fram? Hvernig má þekkja aukalausn?

Hvenær má nota eintæknieiginleika logra til að leysa jöfnu? Hvenær er það ekki hægt?

Algebruverkefni

Í eftirfarandi æfingum skal leysa vísisjöfnuna með því að umrita báðar hliðar hennar sem veldi með sömu grunntölu.

$4^{- 3 v - 2} = 4^{- v}$

$64 \cdot 4^{3 x} = 16$

$3^{2 x + 1} \cdot 3^{x} = 243$

$2^{- 3 n} \cdot \frac{1}{4} = 2^{n + 2}$

$625 \cdot 5^{3 x + 3} = 125$

$\frac{36^{3 b}}{36^{2 b}} = 216^{2 - b}$

10.

${(\frac{1}{64})}^{3 n} \cdot 8 = 2^{6}$

Í eftirfarandi æfingum skal leysa með því að nota logra.

11.

$9^{x - 10} = 1$

12.

$2 e^{6 x} = 13$

13.

$e^{r + 10} - 10 = −42$

14.

$2 \cdot 10^{9 a} = 29$

15.

$- 8 \cdot 10^{p + 7} - 7 = −24$

16.

$7 e^{3 n - 5} + 5 = −89$

17.

$e^{- 3 k} + 6 = 44$

18.

$- 5 e^{9 x - 8} - 8 = −62$

19.

$- 6 e^{9 x + 8} + 2 = −74$

20.

$2^{x + 1} = 5^{2 x - 1}$

21.

$e^{2 x} - e^{x} - 132 = 0$

22.

$7 e^{8 x + 8} - 5 = −95$

23.

$10 e^{8 x + 3} + 2 = 8$

24.

$4 e^{3 x + 3} - 7 = 53$

25.

$8 e^{- 5 x - 2} - 4 = −90$

26.

$3^{2 x + 1} = 7^{x - 2}$

27.

$e^{2 x} - e^{x} - 6 = 0$

28.

$3 e^{3 - 3 x} + 6 = −31$

Í eftirfarandi æfingum skal nota skilgreiningu lograns til að umrita jöfnuna sem vísisjöfnu.

29.

$\log (\frac{1}{100}) = −2$

30.

$\log_{324} (18) = \frac{1}{2}$

Í eftirfarandi æfingum skal leysa jöfnuna með skilgreiningu lograns.

31.

$5 \log_{7} n = 10$

32.

$- 8 \log_{9} x = 16$

33.

$4 + \log_{2} (9 k) = 2$

34.

$2 \log (8 n + 4) + 6 = 10$

35.

$10 - 4 \ln (9 - 8 x) = 6$

Í eftirfarandi æfingum skal leysa með eintæknieiginleika logra.

36.

$\ln (10 - 3 x) = \ln (- 4 x)$

37.

$\log_{13} (5 n - 2) = \log_{13} (8 - 5 n)$

38.

$\log (x + 3) - \log (x) = \log (74)$

39.

$\ln (- 3 x) = \ln (x^{2} - 6 x)$

40.

$\log_{4} (6 - m) = \log_{4} 3 m$

41.

$\ln (x - 2) - \ln (x) = \ln (54)$

42.

$\log_{9} (2 n^{2} - 14 n) = \log_{9} (- 45 + n^{2})$

43.

$\ln (x^{2} - 10) + \ln (9) = \ln (10)$

Í eftirfarandi æfingum skal leysa hverja jöfnu fyrir $x .$

44.

$\log (x + 12) = \log (x) + \log (12)$

45.

$\ln (x) + \ln (x - 3) = \ln (7 x)$

46.

$\log_{2} (7 x + 6) = 3$

47.

$\ln (7) + \ln (2 - 4 x^{2}) = \ln (14)$

48.

$\log_{8} (x + 6) - \log_{8} (x) = \log_{8} (58)$

49.

$\ln (3) - \ln (3 - 3 x) = \ln (4)$

50.

$\log_{3} (3 x) - \log_{3} (6) = \log_{3} (77)$

Grafísk verkefni

Í eftirfarandi æfingum skal leysa jöfnuna fyrir $x,$ ef lausn er til. Teiknið síðan gröf fallanna sem standa sitt hvorum megin við jafnaðarmerkið og notið skurðpunkta þeirra, ef einhverjir eru, til að sannreyna lausnirnar.

51.

$\log_{9} (x) - 5 = −4$

52.

$\log_{3} (x) + 3 = 2$

53.

$\ln (3 x) = 2$

54.

$\ln (x - 5) = 1$

55.

$\log (4) + \log (- 5 x) = 2$

56.

$- 7 + \log_{3} (4 - x) = −6$

57.

$\ln (4 x - 10) - 6 = - 5$

58.

$\log (4 - 2 x) = \log (- 4 x)$

59.

$\log_{11} (- 2 x^{2} - 7 x) = \log_{11} (x - 2)$

60.

$\ln (2 x + 9) = \ln (- 5 x)$

61.

$\log_{9} (3 - x) = \log_{9} (4 x - 8)$

62.

$\log (x^{2} + 13) = \log (7 x + 3)$

63.

$\frac{3}{\log_{2} (10)} - \log (x - 9) = \log (44)$

64.

$\ln (x) - \ln (x + 3) = \ln (6)$

Í eftirfarandi æfingum skal finna gildið sem spurt er um, teikna graf sem lýsir aðstæðunum og merkja punktinn sem samsvarar lausninni.

65.

Inn á reikning eru lagðir $6.500 Bandaríkjadalir$ í upphafi. Reikningurinn ber $7,25 %$ ársvexti með samfelldri vaxtasamsetningu. Hve há verður innstæðan eftir 20 ár?

66.

Hljóðstigið $D$ í desíbelum er gefið með jöfnunni $D = 10 \log (\frac{I}{I_{0}}),$ þar sem $I$ er hljóðstyrkurinn í vöttum á fermetra og $I_{0} = 10^{- 12}$ vött á fermetra er viðmið sem samsvarar um það bil heyrnarmörkum við tíðnina 1000 Hz. Hvert er hljóðstig frá þotu ef hljóðstyrkurinn er $8,3 \cdot 10^{2}$ vött á fermetra?

67.

Íbúafjölda í litlum bæ er lýst með jöfnunni $P = 1650 e^{0,5 t}$ þar sem $t$ er mælt í árum. Eftir um það bil hve mörg ár verður íbúafjöldinn $20.000?$

Tækni

Í eftirfarandi æfingum skal leysa hverja jöfnu með því að taka tilgreindan logra. Notið síðan reiknivél til að finna lausnina og námundið hana að þremur aukastöfum.

68.

$1000 {(1,03)}^{t} = 5000$ með tugalogra.

69.

$e^{5 x} = 17$ með náttúrulegum logra

70.

$3 {(1,04)}^{3 t} = 8$ með tugalogra

71.

$3^{4 x - 5} = 38$ með tugalogra

72.

$50 e^{- 0,12 t} = 10$ með náttúrulegum logra

Í eftirfarandi æfingum skal leysa jöfnuna með reiknivél. Nema annað sé tekið fram skal námunda öll svör að fjórum aukastöfum.

73.

$7 e^{3 x - 5} + 7,9 = 47$

74.

$\ln (3) + \ln (4,4 x + 6,8) = 2$

75.

$\log (- 0,7 x - 9) = 1 + 5 \log (5)$

76.

Loftþrýstingi $P$ í pundum á fertommu er lýst með formúlunni $P = 14,7 e^{- 0,21 x},$ þar sem $x$ er hæð yfir sjávarmáli í mílum. Í hve margra feta hæð yfir sjávarmáli er fjallstindur ef loftþrýstingurinn þar er $8,369$ pund á fertommu? Námundið að næsta heila feti. (Ábending: 5280 fet eru í einni mílu.)

77.

Stærð M jarðskjálfta er í þessu líkani lýst með jöfnunni $M = \frac{2}{3} \log (\frac{E}{E_{0}})$ þar sem orkan sem jarðskjálftinn losar í júlum er táknuð með $E$ og $E_{0} = 10^{4,4}$ júl er viðmiðunarorka líkansins. Hver væri samkvæmt líkaninu stærð jarðskjálfta sem losar $1,4 \cdot 10^{13}$ júl af orku? Námundið svarið að tveimur aukastöfum.

Viðbótarverkefni

78.

Notið skilgreiningu lograns ásamt eintæknieiginleika logra til að sanna að $b^{\log_{b} x} = x .$ Gerið ráð fyrir að b > 0, b ≠ 1 og x > 0.

79.

Rifjið upp formúluna fyrir samfellda vaxtasamsetningu, $y = A e^{k t} .$ Notið skilgreiningu lograns ásamt eiginleikum logra til að leysa formúluna fyrir tímann $t$ þannig að $t$ sé jafnt einum logra. Gerið ráð fyrir að A > 0, y > 0 og k ≠ 0.

80.

Rifjið upp formúluna fyrir vaxtasamsetningu $A = a {(1 + \frac{r}{k})}^{k t} .$ Notið skilgreiningu lograns ásamt eiginleikum logra til að leysa formúluna fyrir tímann $t .$ Gerið ráð fyrir að a > 0, A > 0, k > 0, 1 + r/k > 0 og r ≠ 0.

81.

Kælingarlögmál Newtons segir að hitastigi $T$ hlutar á sérhverjum tíma t megi lýsa með jöfnunni $T = T_{s} + (T_{0} - T_{s}) e^{- k t},$ þar sem $T_{s}$ er fast hitastig umhverfisins, $T_{0}$ er upphafshiti hlutarins og $k$ er jákvæður fasti sem lýsir því hversu hratt hitamunurinn minnkar. Notið skilgreiningu lograns ásamt eiginleikum logra til að leysa formúluna fyrir tímann $t$ þannig að $t$ sé jafnt einum logra. Gerið ráð fyrir að T₀ ≠ T_s og 0 < (T − T_s)/(T₀ − T_s) ≤ 1.