5.1 Horn

Golfari sveiflar kylfu til að slá bolta yfir sandgryfju og inn á flötina. Flugmaður stýrir flugvél að mjórri flugbraut. Fatahönnuður skapar nýjustu tískuna. Hvað eiga þau öll sameiginlegt? Þau vinna öll með horn, rétt eins og við gerum öll öðru hverju. Stundum þurfum við að mæla horn nákvæmlega með mælitækjum. Í öðrum tilvikum áætlum við þau eða metum með auganu. Hvort heldur sem er getur rétt horn ráðið úrslitum um árangur eða mistök í margs konar viðfangsefnum. Í þessum hluta skoðum við eiginleika horna.

Til að skilgreina horn þurfum við fyrst að skilgreina geisla. Geisli samanstendur af einum punkti á línu og öllum punktum sem liggja frá honum í aðra áttina eftir línunni. Fyrsti punkturinn nefnist endapunktur geislans. Vísa má til geisla með því að nefna endapunkt hans og annan punkt á honum. Geislann á mynd 1 má nefna geislann EF eða tákna sem $\overrightarrow{EF}.$

Horn er sammengi tveggja geisla sem hafa sameiginlegan endapunkt. Endapunkturinn nefnist oddpunktur hornsins og geislarnir tveir eru armar þess. Hornið á mynd 2 myndast af $\overrightarrow{ED}$ og $\overrightarrow{EF}.$ Nefna má horn með punkti á hvorum geisla og oddpunktinum, til dæmis hornið DEF, eða tákna það sem $\text{∠}DEF.$

Grískir bókstafir eru oft notaðir sem breytur fyrir hornamál. Tafla 1 sýnir gríska bókstafi sem algengt er að nota til að tákna horn og dæmi um horn er á mynd 3.

Líta má á myndun horns sem snúning. Við byrjum með tvo geisla sem liggja hvor ofan á öðrum. Annar þeirra helst kyrr en hinum er snúið. Fasti geislinn er upphafsarmurinn og geislinn sem snúið er nefnist lokaarmurinn. Til að greina armana að táknum við snúninginn með litlum boga og ör nærri oddpunktinum, eins og á mynd 4.

Eins og rætt var í upphafi hlutans eru horn notuð á mörgum sviðum, en til að nota þau rétt verðum við að geta mælt þau. Hornamál er stærð snúningsins frá upphafsarminum að lokaarminum. Kunnuglegasta mælieining horna er líklega gráðan. Ein gráða er $\frac{1}{360}$ úr heilum hringsnúningi og heill hringsnúningur er því 360 gráður. Þegar horn er mælt í gráðum á alltaf að setja eininguna „gráður“ á eftir tölunni eða nota gráðumerkið °. Til dæmis 90 gráður = 90°.

Til að setja umfjöllunina á formlegan grunn byrjum við á að teikna horn í xy-hnitakerfi. Horn geta verið hvar sem er í hnitakerfinu, en til samanburðar er venja að sýna þau í sömu stöðu þegar þess er kostur. Horn er í staðalstöðu ef oddpunktur þess er í upphafspunkti hnitakerfisins og upphafsarmurinn liggur eftir jákvæða hluta x-ássins. Sjá mynd 5.

Ef hornið er mælt rangsælis frá upphafsarmi að lokaarmi kallast það jákvætt horn. Ef það er mælt réttsælis kallast það neikvætt horn.

Teikning horns í staðalstöðu hefst alltaf á sama hátt: Teiknið upphafsarminn eftir jákvæða hluta x-ássins. Til að staðsetja lokaarm hornsins þurfum við að reikna hve stórt brot af heilum snúningi hornið táknar. Það gerum við með því að deila hornamálinu í gráðum með 360°. Til að teikna 90° horn reiknum við til dæmis $\frac{\mathrm{90°}}{\mathrm{360°}}=\frac{1}{4}.$ Lokaarmurinn fæst því með fjórðungssnúningi rangsælis frá jákvæða hluta x-ássins. Til að teikna 360° horn reiknum við $\frac{\mathrm{360°}}{\mathrm{360°}}=1.$ Lokaarmurinn fer því 1 heilan snúning um hringinn rangsælis frá jákvæða hluta x-ássins. Í þessu tilviki falla upphafsarmur og lokaarmur saman. Sjá mynd 6.

Þar sem staðalstaða horns er skilgreind út frá upphafsarminum fáum við sérstaka gerð horns þegar lokaarmurinn liggur á hnitás. Slíkt horn nefnist áshorn. Hornamál þess getur verið 0°, 90°, 180°, 270° eða 360°. Sjá mynd 7.

Að skipta hring í 360 hluta er handahófskennt val, þótt þannig fáist hin kunnuglega gráðumæling. Við getum skipt hring á annan hátt. Til að finna aðra einingu skulum við hugsa um það hvernig hringur er teiknaður. Ímyndum okkur að hætt sé áður en hringnum er lokað. Hlutinn sem hefur verið teiknaður nefnist bogi. Þegar farið er eftir hringferli getur leiðin spannað hluta úr heilum hring, heilan hring eða fleiri en einn heilan snúning. Lengd bogans um einn heilan hring nefnist ummál hringsins.

Ummál hrings er $C=2\pi r.$ Ef við deilum báðum hliðum jöfnunnar með $r$ fæst hlutfall ummáls og geisla, sem er alltaf $2\pi$ óháð lengd geislans. Ummál sérhvers hrings er því $2\pi \approx \mathrm{6,28}$ sinnum lengd geislans. Ef við tækjum band sem væri jafnlangt geislanum og notuðum það til að mæla samfelldar lengdir eftir ummálinu kæmust þar fyrir sex heilar bandlengdir og rúmlega fjórðungur af þeirri sjöundu, eins og sýnt er á mynd 10.

Þetta leiðir okkur að nýju hornamáli. Einn radíani er hornamál miðhorns í hring sem spannar boga með sömu lengd og geisli hringsins. Miðhorn er horn sem tveir geislar mynda í miðju hrings. Þar sem allt ummálið er $2\pi$ sinnum geislinn er heill hringsnúningur $2\pi$ radíanar. Því gildir

Sjá mynd 11. Athugið að þegar horn er gefið án tiltekinnar einingar er átt við stærð þess í radíönum. Hornamálið 3 merkir til dæmis 3 radíana. Hornamál í radíönum er raunar einingarlaust þar sem það er hlutfall bogalengdar og geisla, svo lengdareiningarnar styttast út.

Bogalengdin $s$ er lengd ferilsins eftir boganum. Rétt eins og hlutfall alls ummáls hrings og geisla hans er fast hefur bogalengdin sem tiltekið horn spannar einnig föst tengsl við geislann, óháð lengd hans.

Þetta hlutfall nefnist hornamál í radíönum. Það er hið sama óháð geisla hringsins og ræðst aðeins af horninu. Þessi eiginleiki gerir okkur kleift að skilgreina hornamál hvers horns sem hlutfall bogalengdarinnar $s$ og geislans $r.$ Sjá mynd 12.

Ef $s=r,$ þá er $\theta =\frac{r}{r}=\text{ 1 radíani}\text{.}$

Til að útskýra þetta nánar skulum við skoða tvo hringi, annan með geisla 2 og hinn með geisla 3. Munum að ummál hrings er $C=2\pi r,$ þar sem $r$ er geislinn. Minni hringurinn hefur því ummálið $2\pi (2)=4\pi$ og sá stærri ummálið $2\pi (3)=6\pi .$ Teiknum nú 45° horn í báða hringina, eins og á mynd 13.

Athugið hvað gerist þegar við finnum hlutfall bogalengdarinnar og geisla hringsins.

Þar sem bæði hlutföllin eru $\frac{1}{4}\pi ,$ eru hornin í hringjunum jafn stór þótt bogalengd og geisli séu mismunandi.

Þar sem hornamál í radíönum er hlutfall tveggja lengda er það einingarlaust. Gerum til dæmis ráð fyrir á mynd 12 að geislinn sé 2 tommur og vegalengdin eftir boganum einnig 2 tommur. Þegar hornamálið í radíönum er reiknað styttast „tommur“ út og niðurstaðan verður einingarlaus. Því þarf ekki að rita heitið „radíanar“ á eftir slíku hornamáli. Ef horn er hvorki merkt með „gráðum“ né gráðumerki megum við gera ráð fyrir að það sé gefið í radíönum.

Skoðum einfaldasta tilvikið, einingarhringinn (hring með geisla 1). Við vitum að 1 snúningur jafngildir 360 gráðum, 360°. Við getum einnig fylgt einum snúningi um hring með því að finna ummálið, $C=2\pi r,$ og fyrir einingarhringinn er $C=2\pi .$ Þessar tvær lýsingar á snúningi um hring gera okkur kleift að breyta gráðum í radíana.

Auk þess að þekkja gráðu- og radíanamál fjórðungssnúnings, hálfs snúnings og heils snúnings þurfum við að þekkja fleiri algeng horn innan eins hringsnúnings. Algengt er að sjá margfeldi af 30, 45, 60 og 90 gráðum. Þessi gildi eru sýnd á mynd 14. Það kemur að góðum notum að leggja þessi horn á minnið þegar við skoðum eiginleika horna.

Nú getum við skráð samsvarandi radíanagildi fyrir algengu hornamálin á mynd 14. Þau eru sýnd á mynd 15. Sannreynið hvert þessara gilda.

Þar sem bæði gráður og radíanar mæla horn þurfum við að geta breytt milli þeirra. Það má auðveldlega gera með hlutfallajöfnu.

Hlutfallajafnan sýnir að hornamálið $\theta$ í gráðum deilt með 180 er jafnt hornamálinu $\theta$ í radíönum deilt með $\pi .\hspace{0.17em}$ Í jöfnunni er hornamálið í radíönum auðkennt með yfirskriftinni R. Með öðrum orðum standa gráður í sama hlutfalli við 180 og radíanar við $\pi .$

Í sumum verkefnum getur verið gagnlegt að breyta milli gráða og radíana. Í öðrum verkefnum getur þurft annars konar breytingu. Erfiðara er að vinna með neikvæð horn og horn sem spanna meira en heilan snúning en horn á bilinu 0° til 360°, eða 0 til $2\pi .$ Hentugt væri að skipta horni utan þessa bils út fyrir samsvarandi horn innan eins heils snúnings.

Fleiri en eitt horn geta haft sama lokaarm. Skoðið mynd 16. Hornið 140° er jákvætt horn, mælt rangsælis. Hornið −220° er neikvætt horn, mælt réttsælis. Bæði hornin hafa þó sama lokaarm. Slík horn í staðalstöðu nefnast horn með sama lokaarm. Sérhvert horn stærra en 360° eða minna en 0° hefur sama lokaarm og horn milli 0° og 360°. Oft er þægilegra að finna slíkt horn innan eins heils snúnings en að vinna með horn utan þess bils.

Sérhvert horn hefur óendanlega mörg horn með sama lokaarm. Í hvert sinn sem 360° er bætt við hornið eða 360° dregið frá því fæst horn með lokaarm á sama stað. Þess vegna hafa til dæmis 100° og 460° sama lokaarm, og einnig −260°. Sú staðreynd að hvert horn hefur óendanlega mörg horn með sama lokaarm skýrir endurtekna lögun grafa hornafalla.

Viðmiðunarhorn horns er stærð minnsta hvassa hornsins $t\prime$ sem lokaarmur hornsins $t$ myndar við lárétta ásinn. Þegar viðmiðunarhorn er teiknað í staðalstöðu liggur lokaarmur þess í fyrsta fjórðungi. Því má nota það sem fyrirmynd við útreikninga fyrir horn í öðrum fjórðungum. Á mynd 17 eru dæmi um viðmiðunarhorn horna í mismunandi fjórðungum.

Við getum fundið horn í radíönum með sama lokaarm á mjög svipaðan hátt og þegar gráður eru notaðar. Í báðum tilvikum leggjum við einn eða fleiri heila snúninga við eða drögum þá frá.

Munum að hornamálið $\theta$ í radíönum var skilgreint sem hlutfall bogalengdarinnar $s$ og geisla hringsins $r$ , það er $\theta =\frac{s}{r}.$ Út frá þessum tengslum getum við fundið bogalengd í hring þegar horn er gefið.

Auk bogalengdar getum við notað horn til að finna flatarmál hringgeira. Hringgeiri er svæði í hring sem afmarkast af tveimur geislum og boganum milli þeirra, líkt og sneið af pítsu eða böku. Munum að flatarmál hrings með geisla $r$ má finna með formúlunni $A=\pi r^2.$ Ef geislarnir mynda hornið $\theta ,$ mælt í radíönum, þá er $\frac{\theta }{2\pi }$ hlutfall hornamálsins af heilum snúningi og þar með einnig hlutfall flatarmáls geirans af flatarmáli hringsins. Flatarmál hringgeirans er því brotið $\frac{\theta }{2\pi }$ margfaldað með öllu flatarmálinu. (Munið að formúlan gildir aðeins þegar $\theta$ er gefið í radíönum.)

Auk þess að finna flatarmál hringgeira getum við notað horn til að lýsa hraða hlutar á hreyfingu. Hlutur sem fer eftir hringferli hefur bæði línulegan hraða og hornhraða. Línulegur hraði lýsir farinni vegalengd eftir ferlinum á tímaeiningu. Ef hjól með 5 tomma geisla snýst til dæmis einn hring á sekúndu fer punktur á jaðri þess vegalengd sem jafngildir ummálinu, eða $10\pi$ tommur, á hverri sekúndu. Línulegur hraði punktsins er því $10\pi$ tommur á sekúndu. Jafnan fyrir línulegan hraða er hér á eftir, þar sem $v$ er línulegur hraði, $s$ er farin vegalengd og $t$ er tími.

Hornhraði lýsir snúningshorni á tímaeiningu. Ef tannhjól lýkur til dæmis heilum snúningi á 4 sekúndum reiknum við hornhraðann sem $\frac{360\text{ gráður}}{4\text{ sekúndur}}=$ 90 gráður á sekúndu. Hornhraða má til dæmis gefa í radíönum á sekúndu, snúningum á mínútu eða gráðum á klukkustund. Jafnan fyrir hornhraða er hér á eftir, þar sem $\omega$ (lesið ómega) er hornhraði, $\theta$ er hornið sem farið er um og $t$ er tími.

Með því að tengja skilgreiningu hornhraða við jöfnuna fyrir bogalengd, $s=r\theta ,$ getum við fundið tengsl hornhraða og línulegs hraða. Leysa má jöfnuna fyrir hornhraða með tilliti til $\theta ,$ sem gefur $\theta =\omega t.$ Þegar því er stungið inn í jöfnuna fyrir bogalengd fæst:

Þegar þessu er stungið inn í jöfnuna fyrir línulegan hraða fæst:

Vatnshjól hafa verið notuð í þúsundir ára til að flytja orku rennandi vatns til annarra tækja. Myndin hér fyrir neðan sýnir hönnun rómverska vatnshjólsins frá 3. öld í Hierapolis, borg í núverandi Tyrklandi. Vatnið sneri hjólinu, sem sneri sveif sem tengd var tveimur sögum til að skera steinblokkir. Þessir hönnunarþættir voru nýttir í vatnshjólum víða um heim og mynduðu jafnvel grundvöll gufuvélarinnar, sem var fundin upp um 1500 árum síðar.

Notið mynd 25 í eftirfarandi verkefnum. Námundið að tveimur aukastöfum.

Notið mynd 26 í eftirfarandi verkefnum. Námundið að tveimur aukastöfum.