55 Hornaföll

Meginatriði

5.1 Horn

Horn myndast úr sammengi tveggja geisla með því að halda upphafsarminum föstum og snúa lokaarminum. Stærð snúningsins ákvarðar hornamálið.
Horn er í staðalstöðu ef oddpunktur þess er í upphafspunkti og upphafsarmurinn liggur eftir jákvæða hluta x-ássins. Jákvætt horn er mælt rangsælis frá upphafsarminum en neikvætt horn réttsælis.
Til að teikna horn í staðalstöðu skal teikna upphafsarminn eftir jákvæða hluta x-ássins og staðsetja síðan lokaarminn samkvæmt þeim hluta úr heilum snúningi sem hornið táknar. Sjá dæmi 1.
Auk gráða má lýsa hornamáli í radíönum. Sjá dæmi 2.
Til að breyta milli gráða og radíana má nota hlutfallið $\frac{θ}{180} = \frac{θ^{R}}{π}$ . Hér er θ hornamálið í gráðum og θ^R sama hornamál í radíönum; yfirskriftin R táknar radíana. Sjá dæmi 3 og dæmi 4.
Horn í staðalstöðu sem hafa sama lokaarm kallast horn með sama lokaarm.
Finna má horn með sama lokaarm með því að leggja 360° við hornamálið eða draga 360° frá því. Sé hornamálið gefið í radíönum er í staðinn bætt við eða dregið frá $2 π$ . Sjá dæmi 5 og dæmi 6.
Horn með sama lokaarm má finna með radíönum á sama hátt og með gráðum. Sjá dæmi 7.
Lengd hringboga er hluti af ummáli hringsins alls. Sjá dæmi 8.
Flatarmál hringgeira er hluti af flatarmáli hringsins alls. Sjá dæmi 9.
Hlutur sem hreyfist eftir hringferli hefur bæði línulegan hraða og hornhraða.
Hornhraði hlutar sem hreyfist eftir hringferli er hornbreyting hans á tímaeiningu. Sjá dæmi 10.
Línulegur hraði hlutar sem hreyfist eftir hringferli er vegalengdin sem hann fer á tímaeiningu. Sjá dæmi 11.

5.2 Einingarhringur: sínus- og kósínusföll

Til að finna fallgildi sínuss og kósínuss er byrjað á að teikna einingarhring með miðju í upphafspunkti og geisla 1 einingu.
Á einingarhring er sínus hornsins $t$ jafn y-hniti endapunktsins sem fæst eftir stefnda bogalengd $t$ , með formerki eftir snúningsstefnu. Kósínus hornsins $t$ er jafn x-hniti sama punkts. Hornin eru mæld í radíönum. Sjá dæmi 1.
Auðveldast er að ákvarða sínus- og kósínusgildi þegar samsvarandi punktur á einingarhringnum liggur á hnitás. Sjá dæmi 2.
Þegar sínus eða kósínus er þekktur má nota Pýþagórasarsamsemdina til að finna algildi hins. Formerkið ræðst af því í hvaða fjórðungi hornið liggur. Samsemdin nýtist einnig til að finna sínus og kósínus sérhorna. Sjá dæmi 3.
Reiknivélar og grafhugbúnaður nýtast við að finna sínus- og kósínusgildi þegar rétt aðferð við innslátt er þekkt. Sjá dæmi 4.
Skilgreiningarmengi sínus- og kósínusfallanna er mengi allra rauntalna.
Sínus- og kósínusfallið hafa bæði myndmengið $[- 1, 1]$ .
Sínus og kósínus horns hafa sömu algildi og samsvarandi gildi viðmiðunarhorns þess.
Formerki sínuss og kósínuss ráðast af x- og y-hnitunum í fjórðungi upphaflega hornsins.
Fyrir horn $t$ í staðalstöðu er viðmiðunarhornið hvassa hornið milli lokaarms hornsins $t$ og x-ássins, þegar lokaarmurinn liggur ekki á hnitás. Sjá dæmi 5.
Nota má viðmiðunarhorn til að finna sínus og kósínus upphaflega hornsins. Sjá dæmi 6.
Einnig má nota viðmiðunarhorn til að finna hnit punkts á hring. Sjá dæmi 7.

5.3 Önnur hornaföll

Tangens horns er hlutfall y-hnits og x-hnits samsvarandi punkts á einingarhringnum, þegar x-hnitið er ekki núll.
Sekans, kótangens og kósekans tengjast öðrum hornaföllum með margföldunarandhverfum. Sekans er margföldunarandhverfa kósínuss og kósekans margföldunarandhverfa sínuss, þegar nefnarinn er ekki núll. Kótangens er hlutfall kósínuss og sínuss þegar sínus er ekki núll. Hann er einnig margföldunarandhverfa tangens þegar tangens er skilgreindur og ekki núll.
Finna má gildi hornafallanna sex út frá punkti á einingarhringnum. Sjá dæmi 1.
Einnig má finna gildi hornafalla út frá horni. Sjá dæmi 2.
Nota má viðmiðunarhorn til að ákvarða gildi hornafalla fyrir horn utan fyrsta fjórðungs. Sjá dæmi 3.
Fall kallast jafnstætt ef $f (- x) = f (x)$ og oddstætt ef $f (- x) = - f (x)$ fyrir öll x í skilgreiningarmengi þess. Í báðum tilvikum þarf skilgreiningarmengið að vera samhverft um núll.
Kósínus og sekans eru jafnstæð föll; sínus, tangens, kósekans og kótangens eru oddstæð föll.
Nota má eiginleika jafnstæðra og oddstæðra falla til að reikna gildi hornafalla. Sjá dæmi 4.
Pýþagórasarsamsemdin gerir kleift að finna algildi kósínuss út frá sínus eða algildi sínuss út frá kósínus. Formerkið ræðst af því í hvaða fjórðungi hornið liggur.
Nota má samsemdir til að reikna gildi hornafalla. Sjá dæmi 5 og dæmi 6.
Umrita má grundvallarsamsemdir, svo sem Pýþagórasarsamsemdina, með algebruaðgerðum til að mynda nýjar samsemdir. Sjá dæmi 7.
Hornaföllin endurtaka sig með reglulegu millibili.
Lota $P$ lotubundins falls $f$ er minnsta jákvæða talan þannig að $f (x + P) = f (x)$ fyrir sérhvert $x$ í skilgreiningarmengi fallsins.
Finna má gildi hornafalla sérhorna með stærðfræðilegri greiningu.
Nota má reiknivél eða tölvuhugbúnað til að reikna gildi hornafalla annarra horna. Sjá dæmi 10.

5.4 Hornareikningur rétthyrndra þríhyrninga

Skilgreina má hornaföll hvass horns sem hlutföll hliðarlengda rétthyrnds þríhyrnings. Sjá dæmi 1.
Nota má sömu hliðarlengdir til að reikna gildi hornafalla hvors hvassa horns rétthyrnds þríhyrnings. Sjá dæmi 2.
Reikna má gildi hornafalla sérhorna þegar hliðarlengdir þríhyrninganna sem þau koma fyrir í eru þekktar. Sjá dæmi 3.
Sérhver tvö hvöss fyllihorn geta verið hvössu hornin tvö í rétthyrndum þríhyrningi.
Ef tvö horn eru fyllihorn segja samsemdir hornafalla fyllihorna að sínus annars sé jafn kósínus hins og öfugt. Sjá dæmi 4.
Nota má hornaföll horns til að finna óþekktar hliðarlengdir.
Veljið hornafall sem tengir óþekktu hliðarlengdina við þá þekktu, hvort sem óþekkta lengdin er í teljara eða nefnara hlutfallsins. Sjá dæmi 5.
Hornareikningur rétthyrndra þríhyrninga gerir kleift að mæla hæðir og fjarlægðir sem ekki eru aðgengilegar með beinum mælingum.
Finna má óþekkta hæð eða fjarlægð með því að mynda rétthyrndan þríhyrning þar sem hún er ein hliðarlengdin en önnur hliðarlengd og eitt hvasst horn eru þekkt. Sjá dæmi 6.

55 Hornaföll

Meginatriði

5.1 Horn

Horn myndast úr sammengi tveggja geisla með því að halda upphafsarminum föstum og snúa lokaarminum. Stærð snúningsins ákvarðar hornamálið.
Horn er í staðalstöðu ef oddpunktur þess er í upphafspunkti og upphafsarmurinn liggur eftir jákvæða hluta x-ássins. Jákvætt horn er mælt rangsælis frá upphafsarminum en neikvætt horn réttsælis.
Til að teikna horn í staðalstöðu skal teikna upphafsarminn eftir jákvæða hluta x-ássins og staðsetja síðan lokaarminn samkvæmt þeim hluta úr heilum snúningi sem hornið táknar. Sjá dæmi 1.
Auk gráða má lýsa hornamáli í radíönum. Sjá dæmi 2.
Til að breyta milli gráða og radíana má nota hlutfallið $\frac{θ}{180} = \frac{θ^{R}}{π}$ . Hér er θ hornamálið í gráðum og θ^R sama hornamál í radíönum; yfirskriftin R táknar radíana. Sjá dæmi 3 og dæmi 4.
Horn í staðalstöðu sem hafa sama lokaarm kallast horn með sama lokaarm.
Finna má horn með sama lokaarm með því að leggja 360° við hornamálið eða draga 360° frá því. Sé hornamálið gefið í radíönum er í staðinn bætt við eða dregið frá $2 π$ . Sjá dæmi 5 og dæmi 6.
Horn með sama lokaarm má finna með radíönum á sama hátt og með gráðum. Sjá dæmi 7.
Lengd hringboga er hluti af ummáli hringsins alls. Sjá dæmi 8.
Flatarmál hringgeira er hluti af flatarmáli hringsins alls. Sjá dæmi 9.
Hlutur sem hreyfist eftir hringferli hefur bæði línulegan hraða og hornhraða.
Hornhraði hlutar sem hreyfist eftir hringferli er hornbreyting hans á tímaeiningu. Sjá dæmi 10.
Línulegur hraði hlutar sem hreyfist eftir hringferli er vegalengdin sem hann fer á tímaeiningu. Sjá dæmi 11.

5.2 Einingarhringur: sínus- og kósínusföll

Til að finna fallgildi sínuss og kósínuss er byrjað á að teikna einingarhring með miðju í upphafspunkti og geisla 1 einingu.
Á einingarhring er sínus hornsins $t$ jafn y-hniti endapunktsins sem fæst eftir stefnda bogalengd $t$ , með formerki eftir snúningsstefnu. Kósínus hornsins $t$ er jafn x-hniti sama punkts. Hornin eru mæld í radíönum. Sjá dæmi 1.
Auðveldast er að ákvarða sínus- og kósínusgildi þegar samsvarandi punktur á einingarhringnum liggur á hnitás. Sjá dæmi 2.
Þegar sínus eða kósínus er þekktur má nota Pýþagórasarsamsemdina til að finna algildi hins. Formerkið ræðst af því í hvaða fjórðungi hornið liggur. Samsemdin nýtist einnig til að finna sínus og kósínus sérhorna. Sjá dæmi 3.
Reiknivélar og grafhugbúnaður nýtast við að finna sínus- og kósínusgildi þegar rétt aðferð við innslátt er þekkt. Sjá dæmi 4.
Skilgreiningarmengi sínus- og kósínusfallanna er mengi allra rauntalna.
Sínus- og kósínusfallið hafa bæði myndmengið $[- 1, 1]$ .
Sínus og kósínus horns hafa sömu algildi og samsvarandi gildi viðmiðunarhorns þess.
Formerki sínuss og kósínuss ráðast af x- og y-hnitunum í fjórðungi upphaflega hornsins.
Fyrir horn $t$ í staðalstöðu er viðmiðunarhornið hvassa hornið milli lokaarms hornsins $t$ og x-ássins, þegar lokaarmurinn liggur ekki á hnitás. Sjá dæmi 5.
Nota má viðmiðunarhorn til að finna sínus og kósínus upphaflega hornsins. Sjá dæmi 6.
Einnig má nota viðmiðunarhorn til að finna hnit punkts á hring. Sjá dæmi 7.

5.3 Önnur hornaföll

Tangens horns er hlutfall y-hnits og x-hnits samsvarandi punkts á einingarhringnum, þegar x-hnitið er ekki núll.
Sekans, kótangens og kósekans tengjast öðrum hornaföllum með margföldunarandhverfum. Sekans er margföldunarandhverfa kósínuss og kósekans margföldunarandhverfa sínuss, þegar nefnarinn er ekki núll. Kótangens er hlutfall kósínuss og sínuss þegar sínus er ekki núll. Hann er einnig margföldunarandhverfa tangens þegar tangens er skilgreindur og ekki núll.
Finna má gildi hornafallanna sex út frá punkti á einingarhringnum. Sjá dæmi 1.
Einnig má finna gildi hornafalla út frá horni. Sjá dæmi 2.
Nota má viðmiðunarhorn til að ákvarða gildi hornafalla fyrir horn utan fyrsta fjórðungs. Sjá dæmi 3.
Fall kallast jafnstætt ef $f (- x) = f (x)$ og oddstætt ef $f (- x) = - f (x)$ fyrir öll x í skilgreiningarmengi þess. Í báðum tilvikum þarf skilgreiningarmengið að vera samhverft um núll.
Kósínus og sekans eru jafnstæð föll; sínus, tangens, kósekans og kótangens eru oddstæð föll.
Nota má eiginleika jafnstæðra og oddstæðra falla til að reikna gildi hornafalla. Sjá dæmi 4.
Pýþagórasarsamsemdin gerir kleift að finna algildi kósínuss út frá sínus eða algildi sínuss út frá kósínus. Formerkið ræðst af því í hvaða fjórðungi hornið liggur.
Nota má samsemdir til að reikna gildi hornafalla. Sjá dæmi 5 og dæmi 6.
Umrita má grundvallarsamsemdir, svo sem Pýþagórasarsamsemdina, með algebruaðgerðum til að mynda nýjar samsemdir. Sjá dæmi 7.
Hornaföllin endurtaka sig með reglulegu millibili.
Lota $P$ lotubundins falls $f$ er minnsta jákvæða talan þannig að $f (x + P) = f (x)$ fyrir sérhvert $x$ í skilgreiningarmengi fallsins.
Finna má gildi hornafalla sérhorna með stærðfræðilegri greiningu.
Nota má reiknivél eða tölvuhugbúnað til að reikna gildi hornafalla annarra horna. Sjá dæmi 10.

5.4 Hornareikningur rétthyrndra þríhyrninga

Skilgreina má hornaföll hvass horns sem hlutföll hliðarlengda rétthyrnds þríhyrnings. Sjá dæmi 1.
Nota má sömu hliðarlengdir til að reikna gildi hornafalla hvors hvassa horns rétthyrnds þríhyrnings. Sjá dæmi 2.
Reikna má gildi hornafalla sérhorna þegar hliðarlengdir þríhyrninganna sem þau koma fyrir í eru þekktar. Sjá dæmi 3.
Sérhver tvö hvöss fyllihorn geta verið hvössu hornin tvö í rétthyrndum þríhyrningi.
Ef tvö horn eru fyllihorn segja samsemdir hornafalla fyllihorna að sínus annars sé jafn kósínus hins og öfugt. Sjá dæmi 4.
Nota má hornaföll horns til að finna óþekktar hliðarlengdir.
Veljið hornafall sem tengir óþekktu hliðarlengdina við þá þekktu, hvort sem óþekkta lengdin er í teljara eða nefnara hlutfallsins. Sjá dæmi 5.
Hornareikningur rétthyrndra þríhyrninga gerir kleift að mæla hæðir og fjarlægðir sem ekki eru aðgengilegar með beinum mælingum.
Finna má óþekkta hæð eða fjarlægð með því að mynda rétthyrndan þríhyrning þar sem hún er ein hliðarlengdin en önnur hliðarlengd og eitt hvasst horn eru þekkt. Sjá dæmi 6.