55 Hornaföll

5.4 Hornareikningur rétthyrndra þríhyrninga

Námsmarkmið

Í þessum hluta lærir þú að:

Nota rétthyrnda þríhyrninga til að reikna gildi hornafalla.
Finna gildi hornafallanna fyrir hornin 30° (π/6), 45° (π/4) og 60° (π/3).
Nota samsvarandi hornaföll fyllihorna.
Nota skilgreiningar hornafalla fyrir sérhvert horn.
Nota hornareikning rétthyrndra þríhyrninga til að leysa hagnýt verkefni.

Við höfum áður skilgreint sínus og kósínus horns með hnitum punktsins á einingarhringnum þar sem lokaarmur hornsins sker hringinn:

\begin{matrix} \cos t = x \\ \sin t = y \end{matrix}

Í þessum hluta kynnumst við annarri leið til að skilgreina hornaföll með eiginleikum rétthyrndra þríhyrninga.

Rétthyrndir þríhyrningar notaðir til að reikna gildi hornafalla

Í fyrri hlutum notuðum við einingarhring til að skilgreina hornaföllin. Nú víkkum við skilgreiningarnar svo að nota megi þær á rétthyrnda þríhyrninga. Gildi sínus- eða kósínusfallsins við $t$ er gildi þess fyrir horn sem er $t$ radíanar. Fyrst myndum við rétthyrndan þríhyrning. Mynd 1 sýnir punkt á einingarhring með geislann 1. Ef við drögum lóðrétt línustrik frá punktinum $(x, y)$ að x-ásnum myndast rétthyrndur þríhyrningur með lóðrétta skammhlið af lengd $y$ og lárétta skammhlið af lengd $x$ . Hér er hornið hvasst og punkturinn í fyrsta fjórðungi. Við getum notað þríhyrninginn til að skilgreina sínus, kósínus og hin hornaföllin sem hlutföll hliðarlengda rétthyrnds þríhyrnings.

Myndrit af fjórðungi hrings með geislann 1 og hornið t. Punkturinn (x,y) er þar sem lokaarmur hornsins sker hringinn. — **Mynd 1.** Rétthyrndur þríhyrningur í fyrsta fjórðungi einingarhringsins.

Við vitum að

\cos t = \frac{x}{1} = x

Á sama hátt vitum við að

\sin t = \frac{y}{1} = y

Þessi hlutföll gilda einnig um hliðar rétthyrnds þríhyrnings þótt enginn einingarhringur komi við sögu, þríhyrningurinn sé ekki í staðalstöðu og hann sé ekki teiknaður í hnitakerfi með hnitunum $(x, y)$ . Til að geta notað hlutföllin almennt gefum við hliðunum almennari heiti. Í stað $x$ köllum við hliðina milli gefna hornsins og rétta hornsins aðlæga skammhlið við hornið $t$ . Aðlæg merkir hér að hliðin liggi að horninu. Í stað $y$ köllum við hliðina á móti gefna horninu mótlæga skammhlið við hornið $t$ . Í stað tölunnar $1$ notum við heitið langhlið um hliðina á móti rétta horninu. Hliðarnar eru merktar á mynd 2.

Rétthyrndur þríhyrningur þar sem langhlið, mótlæg skammhlið og aðlæg skammhlið eru merktar. — **Mynd 2.** Hliðar rétthyrnds þríhyrnings miðað við hornið t.

Tengsl í rétthyrndum þríhyrningi

Fyrir rétthyrndan þríhyrning með hvassa hornið $t$ gildir:

\begin{array}{l} \sin (t) = \frac{mótlæg skammhlið}{langhlið} \\ \cos (t) = \frac{aðlæg skammhlið}{langhlið} \\ \tan (t) = \frac{mótlæg skammhlið}{aðlæg skammhlið} \end{array}

Algeng minnisregla fyrir þessi tengsl er SOH–CAH–TOA, mynduð af upphafsstöfum ensku orðanna. Á íslensku segir hún: sínus er mótlæg skammhlið deilt með langhlið, kósínus er aðlæg skammhlið deilt með langhlið og tangens er mótlæg skammhlið deilt með aðlægri skammhlið.

Dæmi 1

Hornafall rétthyrnds þríhyrnings reiknað

Gefinn er þríhyrningurinn á mynd 3. Finnið gildið $\cos α$ .

Rétthyrndur þríhyrningur með hliðarlengdirnar 8, 15 og 17. Hornið alfa er einnig merkt. — Mynd 3. Rétthyrndur þríhyrningur með hliðarlengdirnar 8, 15 og 17.

Lausn

Aðlæga skammhliðin við hornið er 15 og langhlið þríhyrningsins er 17. Því gildir:

\begin{array}{l} \cos (α) = \frac{aðlæg skammhlið}{langhlið} \\ = \frac{15}{17} \end{array}

Tengsl horna og hornafalla þeirra

Sömu reglur gilda um rétthyrnda þríhyrninga óháð stefnu þeirra. Við getum í raun reiknað hornaföllin sex fyrir hvort hvassa hornið sem er í þríhyrningnum á mynd 5. Mótlæg skammhlið við annað hvassa hornið er aðlæg skammhlið við hitt og öfugt.

Rétthyrndur þríhyrningur með hornin α og β. Önnur skammhliðin er aðlæg við α og mótlæg við β; hin er aðlæg við β og mótlæg við α. Langhliðin liggur á móti rétta horninu. — **Mynd 5.** Aðlæg skammhlið við annað hornið er mótlæg skammhlið við hitt.

Okkur verður falið að finna hornaföllin sex fyrir gefið horn í þríhyrningi. Fyrst finnum við sínus, kósínus og tangens hornsins. Síðan er auðvelt að finna hin hornaföllin þar sem við vitum að margföldunarandhverfa sínuss er kósekans, margföldunarandhverfa kósínuss er sekans og margföldunarandhverfa tangens er kótangens.

Dæmi 2

Hornaföll horna sem eru ekki í staðalstöðu reiknuð

Notið þríhyrninginn á mynd 6 til að reikna $\sin α$ , $\cos α$ , $\tan α$ , $\sec α$ , $\csc α$ og $\cot α$ .

Rétthyrndur þríhyrningur með hliðarnar 3, 4 og 5. Hornið alfa er einnig merkt. — Mynd 6. Rétthyrndur þríhyrningur með hliðarlengdirnar 3, 4 og 5.

Lausn

\begin{array}{l} \sin α = \frac{mótlæg skammhlið við α}{langhlið} = \frac{4}{5} \\ \cos α = \frac{aðlæg skammhlið við α}{langhlið} = \frac{3}{5} \\ \tan α = \frac{mótlæg skammhlið við α}{aðlæg skammhlið við α} = \frac{4}{3} \\ \sec α = \frac{langhlið}{aðlæg skammhlið við α} = \frac{5}{3} \\ \csc α = \frac{langhlið}{mótlæg skammhlið við α} = \frac{5}{4} \\ \cot α = \frac{aðlæg skammhlið við α}{mótlæg skammhlið við α} = \frac{3}{4} \end{array}

Hornaföll sérhorna fundin með hliðarlengdum

Við höfum þegar fjallað um tengsl hornafalla við sérhornin á einingarhringnum. Nú getum við notað tengslin til að reikna hliðarlengdir í þríhyrningum sem hafa þessi horn. Hornaföll sérhornanna hafa tiltölulega einföld gildi: hlutföll sem innihalda enga eða aðeins eina kvaðratrót. Þessi horn eru því oft notuð í verkefnum í stærðfræði og raunvísindum. Við notum margfeldi af $30°$ , $60°$ og $45°$ . Þegar við vinnum með hvöss horn rétthyrndra þríhyrninga eru hornin þó alltaf stærri en 0° og minni en 90°; þau liggja því stranglega á milli $0° og 90°$ .

Gerum ráð fyrir þríhyrningi með hornin $30°, 60°, 90°$ , sem eru $\frac{π}{6}, \frac{π}{3}, \frac{π}{2}$ í radíönum. Hliðarlengdirnar má þá rita $s, \sqrt{3} s, 2 s$ . Í þríhyrningi með hornin $45°, 45°, 90°$ , eða $\frac{π}{4}, \frac{π}{4}, \frac{π}{2}$ í radíönum, má rita hliðarlengdirnar $s, s, \sqrt{2} s$ . Þessi tengsl eru sýnd á mynd 8.

Tveir hringir með miðhornum π/3 og π/4 og rétthyrndum þríhyrningum. Fyrri þríhyrningurinn hefur hliðarlengdirnar s, √3s og 2s og hvössu hornin π/3 og π/6. Sá síðari hefur hliðarlengdirnar s, s og √2s og tvö π/4 horn. — **Mynd 8.** Hliðarlengdir sérþríhyrninga

Síðan getum við notað hlutföll hliðarlengdanna til að reikna gildi hornafalla sérhornanna.

Dæmi 3

Hornaföll sérhorna reiknuð með hliðarlengdum

Notið hliðarlengdir til að finna nákvæm gildi hornafallanna fyrir hornið $\frac{π}{3}$ .

Lausn

\begin{array}{l} \sin (\frac{π}{3}) = \frac{mótlæg}{langhlið} = \frac{\sqrt{3} s}{2 s} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos (\frac{π}{3}) = \frac{aðlæg}{langhlið} = \frac{s}{2 s} = \frac{1}{2} \\ \tan (\frac{π}{3}) = \frac{mótlæg}{aðlæg} = \frac{\sqrt{3} s}{s} = \sqrt{3} \\ \sec (\frac{π}{3}) = \frac{langhlið}{aðlæg} = \frac{2 s}{s} = 2 \\ \csc (\frac{π}{3}) = \frac{langhlið}{mótlæg} = \frac{2 s}{\sqrt{3} s} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \\ \cot (\frac{π}{3}) = \frac{aðlæg}{mótlæg} = \frac{s}{\sqrt{3} s} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \end{array}

Jöfn hornaföll fyllihorna notuð

Ef við skoðum nánar tengsl sínuss og kósínuss sérhorna á einingarhringnum kemur ákveðið mynstur í ljós. Í rétthyrndum þríhyrningi með hvössu hornin $\frac{π}{6}$ og $\frac{π}{3}$ er sínus $\frac{π}{3}$ , það er $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , jafn kósínus $\frac{π}{6}$ . Sínus $\frac{π}{6}$ , það er $\frac{1}{2}$ , er á sama hátt jafn kósínus $\frac{π}{3}$ .

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \sin \frac{π}{3} = \cos \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3} s}{2 s} = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \\ \sin \frac{π}{6} = \cos \frac{π}{3} = \frac{s}{2 s} = \frac{1}{2} \end{array}

Sjá mynd 9

Hringur með miðhorninu π/3 og rétthyrndum þríhyrningi. Skammhliðarnar eru s og √3s, langhliðin 2s og hitt hvassa hornið π/6. — **Mynd 9.** Sínus (π)/(3) er jafn kósínus (π)/(6) og öfugt.

Þessi niðurstaða ætti ekki að koma á óvart. Eins og sést á mynd 9 er mótlæga skammhliðin við hornið $\frac{π}{3}$ jafnframt aðlæga skammhliðin við hornið $\frac{π}{6}$ . Því eru $\sin (\frac{π}{3})$ og $\cos (\frac{π}{6})$ nákvæmlega sama hlutfall sömu tveggja hliðarlengda, $\sqrt{3} s$ og $2 s$ . Á sama hátt eru $\cos (\frac{π}{3})$ og $\sin (\frac{π}{6})$ sama hlutfall hliðarlengdanna $s$ og $2 s$ .

Tengsl sínuss og kósínuss $\frac{π}{6}$ og $\frac{π}{3}$ gilda einnig um hvössu hornin tvö í sérhverjum rétthyrndum þríhyrningi. Í öllum tilvikum er hlutfall sömu tveggja hliðarlengda sínus annars hornsins og kósínus hins. Þar sem hornasumma þríhyrnings er $π$ og rétta hornið er $\frac{π}{2}$ verður summa hinna hornanna tveggja $\frac{π}{2}$ . Rétthyrndan þríhyrning má því mynda með hvaða tveimur jákvæðum hornum sem er ef summa þeirra er $\frac{π}{2}$ , það er með tveimur hvössum fyllihornum. Við getum sett fram samsemd hornafalla fyllihorna: Ef tvö horn eru fyllihorn er sínus annars þeirra jafn kósínus hins og öfugt. Samsemdin er sýnd á mynd 10.

Rétthyrndur þríhyrningur með hornin alfa og beta. Sýnt er að sin alfa jafngildir cos beta og sin beta jafngildir cos alfa. — **Mynd 10.** Samsemd sínuss og kósínuss fyllihorna

Með þessari samsemd getum við til dæmis sagt án útreikninga að sínus $\frac{π}{12}$ sé jafn kósínus $\frac{5 π}{12}$ og að sínus $\frac{5 π}{12}$ sé jafn kósínus $\frac{π}{12}$ . Ef fyrir tiltekið horn $t$ gildir $\cos t = \frac{5}{13}$ , þá gildir einnig $\sin (\frac{π}{2} - t) = \frac{5}{13}$ .

Dæmi 4

Samsemdir hornafalla fyllihorna notaðar

Ef $\sin t = \frac{5}{12}$ , hvert er þá gildið $\cos (\frac{π}{2} - t)$ ?

Lausn

Samkvæmt samsemdum sínuss og kósínuss fyllihorna gildir

\sin t = \cos (\frac{π}{2} - t) .

Því gildir

\cos (\frac{π}{2} - t) = \frac{5}{12} .

Hornaföll notuð

Í fyrri dæmum reiknuðum við sínus og kósínus í þríhyrningum þar sem allar þrjár hliðarnar voru þekktar. Raunverulegur styrkur hornareiknings rétthyrndra þríhyrninga kemur hins vegar í ljós þegar við skoðum þríhyrninga þar sem eitt horn er þekkt en ekki allar hliðarnar.

Dæmi 5

Hliðarlengdir sem vantar fundnar með hlutföllum hornafalla

Finnið óþekktar hliðar þríhyrningsins á mynd 11.

Rétthyrndur þríhyrningur með hliðarnar a, c og 7. Horn sem er 30 gráður er einnig merkt. — Mynd 11. Rétthyrndur þríhyrningur með 30° horn og mótlæga skammhlið af lengd 7.

Lausn

Við þekkjum hornið og mótlægu hliðina og getum því notað tangens til að finna aðlægu hliðina.

\tan (30°) = \frac{7}{a}

Við umritum jöfnuna til að einangra $a$ .

\begin{array}{l} a = \frac{7}{\tan (30°)} \\ \approx 12,1 \end{array}

Við getum notað sínus til að finna langhliðina.

\sin (30°) = \frac{7}{c}

Aftur umritum við jöfnuna, nú til að einangra $c$ .

\begin{array}{l} c = \frac{7}{\sin (30°)} \\ \approx 14 \end{array}

Hagnýt verkefni leyst með hornareikningi rétthyrndra þríhyrninga

Hornareikningur rétthyrndra þríhyrninga hefur margvíslega hagnýta notkun. Með því að reikna hliðarlengdir þríhyrnings má til dæmis finna hæð á háum hlut án þess að klifra upp á hann eða leggja málband eftir allri hæðinni. Þá mælum við lárétta fjarlægð frá undirstöðu hlutarins að stað á jörðinni þaðan sem sést upp á topp hans undir ákveðnu horni. Háhorn hlutar sem er ofan við áhorfanda er hornið milli láréttu línunnar og sjónlínunnar frá auga áhorfandans að hlutnum. Við þessar aðstæður myndast rétthyrndur þríhyrningur þar sem hliðarnar tákna óþekktu hæðina, mældu fjarlægðina frá undirstöðunni og hallandi sjónlínuna frá jörðu að toppi hlutarins. Þegar fjarlægðin að undirstöðunni og horn sjónlínunnar eru þekkt má nota hornaföll til að reikna óþekktu hæðina. Á svipaðan hátt má mynda þríhyrning með því að horfa niður frá toppi hás hlutar. Lághorn hlutar sem er neðan við áhorfanda er hornið milli láréttu línunnar og sjónlínunnar frá auga áhorfandans að hlutnum. Sjá mynd 12.

Fjarskiptamastur og sjónlína frá toppi þess að punkti á jörðu. Lághornið við toppinn er mælt niður frá láréttri línu að sjónlínunni. Háhornið við jörðina er mælt upp frá láréttri línu að sömu sjónlínu. — **Mynd 12.** Háhorn og lághorn eru mæld frá láréttri línu að sjónlínunni.

Dæmi 6

Fjarlægð mæld óbeint

Til að finna hæð trés gengur manneskja að stað sem er 30 fet frá stofni trésins. Hún mælir hornið $57°$ milli sjónlínunnar að trjátoppinum og jarðarinnar, eins og sýnt er á mynd 13. Finnið hæð trésins. Hér gerum við ráð fyrir láréttri jörð og mælingu frá jarðhæð, eins og á myndinni.

Tré séð frá stað þar sem sjónlínan myndar 57 gráðu horn við jörðina. Athugunarstaðurinn er 30 fet frá trénu. — Mynd 13. Hæð trés fundin með 30 feta láréttri fjarlægð og 57° háhorni.

Lausn

Við vitum að háhornið er $57°$ og að aðlæga skammhliðin er 30 fet að lengd. Mótlæga skammhliðin táknar óþekktu hæðina.

Tangens horns er hlutfall mótlægu og aðlægu skammhliðarinnar. Við setjum því upplýsingarnar fram með tangens af $57°$ og látum $h$ tákna óþekktu hæðina.

\begin{array}{l} \tan θ = \frac{mótlæg skammhlið}{aðlæg skammhlið} \\ tan (57°) = \frac{h}{30} & Einangrum h . \\ h = 30 \tan (57°) & Margföldum . \\ h \approx 46,2 & Notum reiknivél . \end{array}

Tréð er um það bil 46 fet á hæð.

5.4 Verkefni kaflahlutans

Munnleg verkefni

Merkið aðlægu hliðina, mótlægu hliðina og langhliðina miðað við tilgreinda hornið í gefna rétthyrnda þríhyrningnum.

Þegar rétthyrndum þríhyrningi með langhliðina 1 er komið fyrir í einingarhringnum, hvaða hliðar þríhyrningsins samsvara x- og y-hnitunum?

Hvaða hliðar rétthyrnds þríhyrnings ber tangens horns saman?

Hvert er samband hvössu hornanna tveggja í rétthyrndum þríhyrningi?

Útskýrið samsemd hornafalla fyllihorna.

Algebruverkefni

Notið hornaföll fyllihorna í eftirfarandi verkefnum.

$\cos (34°) = \sin (__°)$

$\cos (\frac{π}{3}) = \sin (___)$

$\csc (21°) = \sec (___°)$

$\tan (\frac{π}{4}) = \cot (__)$

Finnið hliðarlengdirnar sem vantar í eftirfarandi verkefnum. Hliðin $a$ er á móti horninu $A$ , hliðin $b$ er á móti horninu $B$ og hliðin $c$ er langhliðin.

10.

$\cos B = \frac{4}{5}, a = 10$

11.

$\sin B = \frac{1}{2}, a = 20$

12.

$\tan A = \frac{5}{12}, b = 6$

13.

$\tan A = 100, b = 100$

14.

$\sin B = \frac{1}{\sqrt{3}}, a = 2$

15.

$a = 5, ∡ A = 60^{\circ}$

16.

$c = 12, ∡ A = 45^{\circ}$

Myndræn verkefni

Notið mynd 14 í eftirfarandi verkefnum til að finna gildi hvers hornafalls fyrir hornið $A$ .

Rétthyrndur þríhyrningur með hliðarnar 4 og 10 og merkt horn A. — **Mynd 14.** Rétthyrndur þríhyrningur með skammhliðar af lengd 4 og 10.

17.

$\sin A$

18.

$\cos A$

19.

$\tan A$

20.

$\csc A$

21.

$\sec A$

22.

$\cot A$

Notið mynd 15 í eftirfarandi verkefnum til að finna gildi hvers hornafalls fyrir hornið $A$ .

Rétthyrndur þríhyrningur með hliðarnar 10 og 8 og merkt horn A. — **Mynd 15.** Rétthyrndur þríhyrningur með skammhliðar af lengd 10 og 8.

23.

$\sin A$

24.

$\cos A$

25.

$\tan A$

26.

$\csc A$

27.

$\sec A$

28.

$\cot A$

Finnið óþekktu hliðarnar í gefna þríhyrningnum í eftirfarandi verkefnum.

29.

Rétthyrndur þríhyrningur með merktar hliðarnar 7, b og c. Hornin B og 30 gráður eru einnig merkt.

30.

Rétthyrndur þríhyrningur með hliðarnar 10, a og c. Hornin 60 gráður og A eru einnig merkt.

31.

Rétthyrndur þríhyrningur með hornpunkta merkta A, B og C. Langhliðin er 15 sinnum kvaðratrótin af 2 að lengd. Horn B er 45 gráður.

Tækni

Notið reiknivél í eftirfarandi verkefnum til að finna lengd hverrar hliðar með fjórum aukastöfum.

32.

Rétthyrndur þríhyrningur með hliðarnar 10, a og c. Hornin A og 62 gráður eru einnig merkt.

33.

Rétthyrndur þríhyrningur með hliðarnar 7, b og c. Hornin 35 gráður og B eru einnig merkt.

34.

Rétthyrndur þríhyrningur með merktar hliðarnar a, b og 10. Hornin 65 gráður og B eru einnig merkt.

35.

Rétthyrndur þríhyrningur með hliðarnar a, b og 12. Hornin 10 gráður og B eru einnig merkt.

36.

Rétthyrndur þríhyrningur með hornpunkta merkta A, B og C. Hliðarnar eru merktar b, c og 16,5. Horn sem er 81 gráður er einnig merkt.

37.

$b = 15, ∡ B = 15^{\circ}$

38.

$c = 200, ∡ B = 5^{\circ}$

39.

$c = 50, ∡ B = 21^{\circ}$

40.

$a = 30, ∡ A = 27^{\circ}$

41.

$b = 3,5, ∡ A = 78^{\circ}$

Viðbótarverkefni

42.

Finnið $x$ .

Þríhyrningur með hornin 63 gráður og 39 gráður og hliðina x. Hæðarlína í þríhyrningnum er 82 að lengd.

43.

Finnið $x$ .

Þríhyrningur með hornin 36 gráður og 50 gráður og hliðina x. Hæðarlína í þríhyrningnum er 85 að lengd.

44.

Finnið $x$ .

Rétthyrndur þríhyrningur með hliðina 115 og horn sem er 35 gráður. Innan hans er annar rétthyrndur þríhyrningur með horn sem er 56 gráður. Mismunur hliðarlengda þríhyrninganna tveggja er x.

45.

Finnið $x$ .

Rétthyrndur þríhyrningur með hliðina 119 og horn sem er 26 gráður. Innan hans er annar rétthyrndur þríhyrningur með horn sem er 70 gráður í stað 26 gráða. Mismunur hliðarlengda þríhyrninganna tveggja er x.

46.

Fjarskiptamastur er 400 fet frá byggingu. Frá glugga í byggingunni mælist háhornið að toppi mastursins $36°$ og lághornið að undirstöðu þess $23°$ . Hversu hátt er mastrið?

47.

Fjarskiptamastur er 325 fet frá byggingu. Frá glugga í byggingunni mælist háhornið að toppi mastursins $43°$ og lághornið að undirstöðu þess $31°$ . Hversu hátt er mastrið?

48.

Minnisvarði er 200 fet á hæð. Frá glugga í byggingu mælist háhornið að toppi hans $15°$ og lághornið að undirstöðu hans $2°$ . Hver er lárétta fjarlægðin frá manneskjunni við gluggann að minnisvarðanum?

49.

Minnisvarði er 400 fet á hæð. Frá glugga í byggingu mælist háhornið að toppi hans $18°$ og lághornið að undirstöðu hans $3°$ . Hver er lárétta fjarlægðin frá manneskjunni við gluggann að minnisvarðanum?

50.

Loftnet er á þaki byggingar. Frá stað sem er 300 fet frá undirstöðu byggingarinnar mælist háhornið að þaki hennar $40°$ . Frá sama stað mælist háhornið að toppi loftnetsins $43°$ . Finnið hæð loftnetsins.

51.

Eldingavari er á þaki byggingar. Frá stað sem er 500 fet frá undirstöðu byggingarinnar mælist háhornið að þaki hennar $36°$ . Frá sama stað mælist háhornið að toppi eldingavarans $38°$ . Finnið hæð eldingavarans.

Hagnýt verkefni

52.

33 feta langur stigi hallar að byggingu þannig að hornið milli jarðarinnar og stigans er $80°$ . Hversu hátt upp eftir byggingunni nær stiginn?

53.

23 feta langur stigi hallar að byggingu þannig að hornið milli jarðarinnar og stigans er $80°$ . Hversu hátt upp eftir byggingunni nær stiginn?

54.

Háhornið frá jörðu að toppi byggingar í New York mælist 9 gráður frá stað sem er 1 mílu frá undirstöðu byggingarinnar. Notið upplýsingarnar til að finna hæð byggingarinnar.

55.

Háhornið frá jörðu að toppi byggingar í Seattle mælist 2 gráður frá stað sem er 2 mílur frá undirstöðu byggingarinnar. Notið upplýsingarnar til að finna hæð byggingarinnar.

56.

Gerum ráð fyrir að risarauðviður sem er 370 fet á hæð vaxi lóðrétt. Ef ég geng ákveðna vegalengd frá trénu og mæli háhornið að trjátoppinum $60°$ , hversu langt er ég þá frá stofni trésins?

$\cos t = \sin (\frac{π}{2} - t)$	$\sin t = \cos (\frac{π}{2} - t)$
$\tan t = \cot (\frac{π}{2} - t)$	$\cot t = \tan (\frac{π}{2} - t)$
$\sec t = \csc (\frac{π}{2} - t)$	$\csc t = \sec (\frac{π}{2} - t)$