6.3 Andhverf hornaföll

Ef annað hvössu hornanna og lengd einnar hliðar rétthyrnds þríhyrnings eru gefin getum við fundið hin hornin og hliðarnar. En hvað ef aðeins lengdir tveggja hliða eru gefnar? Þá þurfum við aðferð sem leiðir okkur frá hlutfalli hliðarlengda að horni. Þar koma andhverfur hornafalla við sögu. Í þessum kafla skoðum við andhverf hornaföll.

Andhverft fall tekur til baka aðgerð upphaflega fallsins. Til að skilgreina andhverfu hornafalls þurfum við fyrst að takmarka skilgreiningarmengi þess svo að það verði eintækt. Skilgreiningarmengi andhverfunnar er þá myndmengi takmarkaða fallsins og myndmengi hennar er skilgreiningarmengi þess, eins og sýnt er á mynd 1.

Ef $f(x)=\sin x$ á viðeigandi takmörkuðu skilgreiningarmengi skrifum við $f^{-1}(x)={\sin }^{-1}x$. Athugið að ${\sin }^{-1}x$ merkir ekki $\frac{1}{\sin x}$. Eftirfarandi dæmi sýna notkun andhverfu hornafallanna:

Í fyrri köflum reiknuðum við gildi hornafalla fyrir ýmis horn. Stundum þurfum við hins vegar að finna horn sem gefur tiltekið sínus-, kósínus- eða tangensgildi. Til þess notum við andhverf föll. Ef eintækt fall uppfyllir $f(a)=b$ uppfyllir andhverfa þess $f^{-1}(b)=a$.

Hafið í huga að sínus-, kósínus- og tangensföllin eru ekki eintæk. Graf hvers falls stenst ekki lárétta línuprófið. Raunar getur ekkert lotubundið fall verið eintækt, því hvert gildi í myndmengi þess samsvarar að minnsta kosti einu inntaki í hverri lotu og loturnar eru óendanlega margar. Eins og fyrir önnur föll sem eru ekki eintæk þurfum við að takmarka skilgreiningarmengi hvers falls til að fá nýtt eintækt fall. Við veljum skilgreiningarmengi fyrir hvert fall sem inniheldur töluna 0. Mynd 2 sýnir graf sínusfallsins takmarkað við $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ og graf kósínusfallsins takmarkað við $\left[0,\pi \right].$

Mynd 3 sýnir graf tangensfallsins takmarkað við $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right).$

Þetta hefðbundna val á takmörkuðum skilgreiningarmengjum er að nokkru leyti handahófskennt en hefur gagnlega eiginleika. Hvert mengi inniheldur töluna 0 og jákvæðar tölur. Á hverju þessara mengja er fallið eintækt og á því andhverfu. Skilgreiningarmengið sem valið er fyrir tangens nær milli tveggja samliggjandi lóðfella. Engin lóðfella skiptir því í tvo hluta.

Á þessum takmörkuðu skilgreiningarmengjum getum við skilgreint andhverfu hornaföllin.

Gröf andhverfu fallanna eru sýnd á mynd 4, mynd 5 og mynd 6. Úttakið er hornamál í radíönum. Fallið ${\sin }^{-1}x$ hefur skilgreiningarmengið $\left[\mathrm{-1},1\right]$ og myndmengið $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$. Fallið ${\cos }^{-1}x$ hefur skilgreiningarmengið $\left[\mathrm{-1}\mathrm{,1}\right]$ og myndmengið $[0,\pi ]$. Fallið ${\tan }^{-1}x$ hefur skilgreiningarmengi allra rauntalna og myndmengið $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$. Við skiptum þannig á skilgreiningarmengi og myndmengi upphaflega fallsins eftir að það hefur verið takmarkað við viðeigandi bil. Graf andhverfunnar fæst með því að spegla graf takmarkaða fallsins um línuna $y=x$.

Nú þegar við getum borið kennsl á andhverf föll lærum við að reikna gildi þeirra. Fyrir flest gildi í skilgreiningarmengjum þeirra þurfum við að reikna gildi andhverfu hornafallanna með reiknivél, brúun úr töflu eða annarri tölulegri aðferð. Rétt eins og fyrir upphaflegu hornaföllin getum við gefið nákvæm gildi andhverfu fallanna þegar sérhornin eru notuð, einkum $\frac{\pi }{6}$ (30°), $\frac{\pi }{4}$ (45°) og $\frac{\pi }{3}$ (60°), ásamt speglunum þeirra yfir í aðra fjórðunga.

Til að finna nálgun á gildum andhverfra hornafalla sem tengjast ekki sérhornunum notum við reiknivél eða reikniforrit. Vísindareiknivélar og mörg reikniforrit hafa hnappa fyrir andhverf sínus-, kósínus- og tangensföll. Hnappurinn fyrir andhverfa sínusfallið getur til dæmis verið merktur SIN^{${}^{\mathrm{-1}}$}, ARCSIN eða ASIN.

Í fyrri kafla notuðum við hornafræði í rétthyrndum þríhyrningi til að finna hliðar hans þegar ein hlið og eitt horn til viðbótar voru gefin. Með andhverfum hornaföllum getum við fundið horn rétthyrnds þríhyrnings þegar tvær hliðar eru gefnar og notað reiknivél til að finna gildin með nokkrum aukastöfum.

Í þessum dæmum og verkefnum táknum við hornið sem finna á með $\theta$. Reiknivélin getur sýnt hornamál í gráðum eða radíönum. Veljið stillingu sem hæfir viðfangsefninu.

Stundum þurfum við að setja saman hornafall og andhverft hornafall. Í slíkum tilvikum getum við yfirleitt fundið nákvæm gildi stæðnanna sem fást án þess að nota reiknivél. Jafnvel þegar inntak samsetta fallsins er breyta eða stæða getum við oft fundið stæðu fyrir úttakið. Til að greina tilvikin skulum við láta $f(x)$ og $g(x)$ vera tvö ólík hornaföll í menginu $\left\{\sin (x),\cos (x),\tan (x)\right\}$ og látum $f^{-1}(y)$ og $g^{-1}(y)$ vera andhverfur þeirra.

Samsetningin $f\left(f^{-1}\left(y\right)\right)=y$ gildir fyrir öll $y$ í skilgreiningarmengi andhverfunnar. Þetta leiðir af skilgreiningu andhverfs falls: myndmengi $f$ er skilgreiningarmengi $f^{-1}$. Við þurfum hins vegar að gæta að takmörkun skilgreiningarmengisins þegar við reiknum stæður af gerðinni $f^{-1}\left(f\left(x\right)\right)$.

Við skoðum nú samsetningar af gerðinni $f^{-1}\left(g\left(x\right)\right)$, þar sem andhverfa eins hornafalls er sett saman við annað hornafall. Fyrir sérstök gildi á $x$ má reikna innra fallgildið nákvæmlega og síðan ytra fallgildið. Almennari aðferð fæst með því að skoða hvössu hornin í rétthyrndum þríhyrningi. Ef annað þeirra er $\theta$ er hitt $\frac{\pi }{2}-\theta$. Skoðum sínus og kósínus hornanna á mynd 10.

Í rétthyrnda þríhyrningnum er $\cos \theta =\frac{b}{c}=\sin \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)$. Samfallssamband sínus og kósínus gildir einnig utan fyrsta fjórðungs. Af því fæst ${\sin }^{-1}\left(\cos \theta \right)=\frac{\pi }{2}-\theta$ þegar $0\le \theta \le \pi$. Ef hornið $\theta$ er utan þessa bils finnum við horn á bilinu sem hefur sama kósínus og $\theta$ og drögum það frá $\frac{\pi }{2}$. Í þríhyrningnum gildir einnig $\sin \theta =\frac{a}{c}=\cos \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)$. Af samfallssambandinu fæst ${\cos }^{-1}\left(\sin \theta \right)=\frac{\pi }{2}-\theta$ þegar $-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$. Þannig má nota samfallssambönd til að reikna þessar samsetningar.

Fyrir samsetningar af gerðinni $f\left(g^{-1}\left(x\right)\right)$, þar sem $f$ og $g$ eru hornaföll, má oft finna nákvæmar formúlur. Inntakið $x$ þarf að vera í skilgreiningarmengi $g^{-1}$ og úttak andhverfunnar þarf að vera í skilgreiningarmengi ytra fallsins. Til dæmis er $\sin \left({\cos }^{-1}x\right)=\sqrt{1-x^2}$. Slíkar formúlur má leiða út með rétthyrndum þríhyrningi og reglu Pýþagórasar. Hornafræðilega Pýþagórasarjafnan ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ tengir sínus- og kósínusgildi sama horns. Við getum einnig notað andhverf hornaföll á þennan hátt þegar inntakið er algebrustæða.