66 Lotubundin föll

Kaflapróf

Í eftirfarandi verkefnum skal skissa graf hvers falls yfir tvær heilar lotur. Ákvarðið útslag eða lóðréttan teygjustuðul, eftir því sem við á, lotu og jöfnu miðlínu. Tangens-, sekans- og kósekansföll eru ótakmörkuð og hafa ekki útslag.

$f (x) = 0,5 \sin x$

$f (x) = 5 \cos x$

$f (x) = 5 \sin x$

$f (x) = \sin (3 x)$

$f (x) = - \cos (x + \frac{π}{3}) + 1$

$f (x) = 5 \sin (3 (x - \frac{π}{6})) + 4$

$f (x) = 3 \cos (\frac{1}{3} x - \frac{5 π}{6})$

$f (x) = \tan (4 x)$

$f (x) = - 2 \tan (x - \frac{7 π}{6}) + 2$

10.

$f (x) = π \cos (3 x + π)$

11.

$f (x) = 5 \csc (3 x)$

12.

$f (x) = π \sec (\frac{π}{2} x)$

13.

$f (x) = 2 \csc (x + \frac{π}{4}) - 3$

Í eftirfarandi verkefnum skal ákvarða útslag eða lóðréttan teygjustuðul, eftir því sem við á, lotu og miðlínu grafsins. Finnið síðan formúlu fyrir fallið.

14.

Ritið formúluna með sínusfalli.

Sínuslaga ferill á bilinu frá −2 til 2 á x-ás. Hann sveiflast milli y=−6 og y=−2 og fer hækkandi í gegnum (0;−4).

15.

Ritið formúluna með sínusfalli.

Sínuslaga ferill á bilinu frá −2 til 2 á x-ás. Hann sveiflast milli y=−2 og y=2 og fer lækkandi í gegnum upphafspunktinn.

16.

Ritið formúluna með tangensfalli.

Graf tangensfalls með vaxandi greinum. Strikaðar lóðréttar línur sýna lóðfellur við x=−π/4 og x=3π/4.

Finnið útslag, lotu, fasahliðrun og miðlínu í eftirfarandi verkefnum.

17.

$y = \sin (\frac{π}{6} x + π) - 3$

18.

$y = 8 \sin (\frac{7 π}{6} x + \frac{7 π}{2}) + 6$

19.

Lýsa má útihita yfir sólarhring með sínuslaga falli með 24 klukkustunda lotu. Gerið ráð fyrir að hitinn sé 68 °F á miðnætti og að hæsti og lægsti hiti dagsins séu 80 °F og 56 °F. Látum $t$ tákna fjölda klukkustunda frá miðnætti. Finnið eitt mögulegt fall fyrir hitastigið $D$ sem fall af $t$ . Takið fram hvort hitinn fari hækkandi eða lækkandi á miðnætti í líkaninu ykkar.

20.

Vatni er dælt í geymslutank og það tæmt úr honum þannig að vatnsdýptin breytist lotubundið. Hún er minnst 3 fet klukkan 02:00 og mest 71 fet. Hámarkið endurtekur sig á 5 klukkustunda fresti. Ritið kósínusfall sem lýsir vatnsdýptinni sem falli af tíma í klukkustundum frá miðnætti. Teiknið síðan graf þess yfir eina lotu.

Finnið lotu og lárétta hliðrun hvers falls í eftirfarandi verkefnum.

21.

$g (x) = 3 \tan (6 x + 42)$

22.

$n (x) = 4 \csc (\frac{5 π}{3} x - \frac{20 π}{3})$

23.

Ritið jöfnu grafsins á mynd 1 með sekansfalli og gefið upp lotu og fasahliðrun.

Graf sekansfalls. Miðgreinin hefur lægsta punkt í (0;1). Greinarnar sitt hvorum megin hafa hæstu punkta í (−1;−1) og (1;−1). Strikaðar línur sýna lóðfellurnar. — Mynd 1. Graf sekansfalls.

24.

Ef $\tan x = 3$ finnið þá $\tan (- x)$ .

25.

Ef $\sec x = 4$ finnið þá $\sec (- x)$ .

Teiknið gröf fallanna innan tilgreindra marka í eftirfarandi verkefnum og svarið spurningunum.

26.

Teiknið graf $m (x) = \sin (2 x) + \cos (3 x)$ með x-ás á bilinu $[- 10; 10]$ og y-ás á bilinu $[- 3; 3]$ . Metið lotu fallsins út frá grafinu.

27.

Teiknið graf $n (x) = 0,02 \sin (50 π x)$ á eftirfarandi bilum fyrir $x$ : $[0; 1]$ og $[0; 3]$ . Gerið ráð fyrir að fallið lýsi hljóðbylgjum. Hvers vegna getur framsetningin litið ólíkt út á þessum tveimur bilum? Takið mið af fjölda sveiflna og upplausn grafsins.

28.

Teiknið graf $f (x) = \frac{\sin x}{x}$ á bilinu $[- 0,5; 0,5]$ og lýsið því sem þið sjáið. Takið sérstaklega eftir skilgreiningarmengi fallsins.

Í eftirfarandi verkefnum er $f (x) = \frac{3}{5} \cos (6 x)$ .

29.

Hvert er stærsta mögulega gildi $f (x)$ ?

30.

Hvert er minnsta mögulega gildi $f (x)$ ?

31.

Hvar er fallið vaxandi á bilinu $[0; 2 π]$ ?

Í eftirfarandi verkefnum skal finna formúlu fyrir sínuslaga fall með gefnu útslagi, lotu og hliðrun og teikna eina lotu þess. Hliðrunin (h; k) táknar lárétta hliðrun h og lóðrétta hliðrun k.

32.

Sínusferill með útslag 3, lotu $\frac{π}{3}$ og hliðrun $(h; k) = (\frac{π}{4}; 2)$

33.

Kósínusferill með útslag 2, lotu $\frac{π}{6}$ og hliðrun $(h; k) = (- \frac{π}{4}; 3)$

Teiknið graf fallsins í eftirfarandi verkefnum. Lýsið grafinu og, eftir því sem við á, lotubundinni hegðun, útslagi, aðfellum og gildum óháðu breytunnar þar sem fallið er óskilgreint.

34.

$f (x) = 5 \cos (3 x) + 4 \sin (2 x)$

35.

$f (t) = e^{\sin t}$

Finnið nákvæmt gildi í eftirfarandi verkefnum. Ef niðurstaðan er háð x skal einfalda stæðuna og tilgreina fyrir hvaða raungildi x hún er skilgreind.

36.

$\sin^{- 1} (\frac{\sqrt{3}}{2})$

37.

$\tan^{- 1} (\sqrt{3})$

38.

$\cos^{- 1} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

39.

$\cos^{- 1} (\sin (π))$

40.

$\cos^{- 1} (\tan (\frac{7 π}{4}))$

41.

$\cos (\sin^{- 1} (1 - 2 x))$

42.

$\cos^{- 1} (- 0,4)$

43.

$\cos (\tan^{- 1} (x^{2}))$

Í eftirfarandi verkefnum er $\sin t = \frac{x}{x + 1}$ . Veljið hornið t á aðalbilinu [−π/2; π/2]. Finnið stæður fyrir eftirfarandi stærðir sem föll af x og tilgreinið hvar þær eru skilgreindar.

44.

$\tan t$

45.

$\csc t$

46.

Finnið stærð hornsins $θ$ á mynd 2 með þremur aukastöfum. Svarið í radíönum.

Rétthyrndur þríhyrningur. Hornið θ er við vinstri enda láréttu skammhliðarinnar. Aðlæg skammhlið er 19 og mótlæg skammhlið er 12. — Mynd 2. Rétthyrndur þríhyrningur með gefnum skammhliðum.

Ákvarðið hvort jafnan sé sönn eða ósönn í eftirfarandi verkefnum.

47.

$\arcsin (\sin (\frac{5 π}{6})) = \frac{5 π}{6}$

48.

$\arccos (\cos (\frac{5 π}{6})) = \frac{5 π}{6}$

49.

Halli vegar er 7%. Það þýðir að fyrir hver 100 fet í lárétta stefnu hækkar vegurinn um 7 fet. Finnið hornið sem vegurinn myndar við lárétta stefnu og gefið svarið í radíönum.