99 Jöfnuhneppi og ójöfnuhneppi

9.3 Ólínuleg jöfnu- og ójöfnuhneppi með tveimur breytum

Námsmarkmið

Í þessum hluta lærið þið að:

Leysa ólínulegt jöfnuhneppi með innsetningu.
Leysa ólínulegt jöfnuhneppi með eyðingu.
Teikna graf ólínulegrar ójöfnu.
Teikna graf ólínulegs ójöfnuhneppis.

Halley-halastjarnan (mynd 1) gengur um sólina á um það bil 75 ára fresti. Braut hennar má líta á sem mjög ílangan sporbaug. Aðrar halastjörnur fylgja svipuðum brautum í geimnum. Rannsaka má slíkar brautir með jöfnuhneppum. Þessi hneppi eru þó ólík þeim sem við skoðuðum í fyrri hlutanum því jöfnurnar eru ekki línulegar.

Áhrifamikil mynd sýnir skæra halastjörnu þjóta yfir djúpbláan stjörnum prýddan himin. Kjarni hennar er afar bjartur og frá honum breiðist langur, glóandi hali sem dofnar smám saman út í myrkrið. Fjöldi smárra hvítra stjarna sést á himinhvolfinu í bakgrunni. — **Mynd 1.** Halley-halastjarnan (mynd: „NASA Blueshift“/Flickr)

Í þessum hluta skoðum við skurðmengi fleygboga og línu, hrings og línu og hrings og sporbaugs. Aðferðir við lausn ólínulegra jöfnuhneppa líkjast aðferðunum fyrir línuleg hneppi.

Að leysa ólínulegt jöfnuhneppi með innsetningu

Ólínulegt jöfnuhneppi er hneppi tveggja eða fleiri jafna með tveimur eða fleiri breytum þar sem að minnsta kosti ein jafnan er ekki línuleg. Línulega jöfnu má rita á forminu $A x + B y + C = 0.$ Sérhver jafna sem ekki má rita á þessu formi er ólínuleg. Innsetningaraðferðin fyrir línuleg hneppi er einnig notuð fyrir ólínuleg hneppi. Við leysum eina jöfnu fyrir eina breytu, setjum niðurstöðuna inn í hina jöfnuna og leysum fyrir aðra breytu og höldum þannig áfram. Mögulegar niðurstöður eru þó fjölbreyttari.

Skurðmengi fleygboga og línu

Þrjár gerðir lausna eru mögulegar fyrir ólínulegt jöfnuhneppi sem inniheldur fleygboga og línu.

Dæmi 1

Að leysa ólínulegt jöfnuhneppi sem táknar fleygboga og línu

Leysið jöfnuhneppið.

\begin{array}{l} x - y = −1 \\ y = x^{2} + 1 \end{array}

Lausn

Leysið fyrri jöfnuna fyrir $x$ og setjið stæðuna sem fæst inn í síðari jöfnuna.

\begin{array}{l} x - y = −1 \\ x = y −1 & Leysið fyrir x . \\ y = x^{2} + 1 \\ y = {(y −1)}^{2} + 1 & Setjið stæðu inn fyrir x . \end{array}

Margfaldið upp úr svigum og færið allt yfir á aðra hlið svo jafnan verði jöfn núlli.

\begin{array}{l} y = {(y −1)}^{2} + 1 \\ = (y^{2} −2 y + 1) + 1 \\ = y^{2} −2 y + 2 \\ 0 = y^{2} −3 y + 2 \\ = (y −2) (y −1) \end{array}

Þegar leyst er fyrir $y$ fæst $y = 2$ og $y = 1.$ Setjið næst hvort gildi $y$ fyrir sig inn í fyrri jöfnuna og leysið fyrir $x .$ Setjið gildið alltaf inn í línulegu jöfnuna til að kanna hvort aukalausnir hafi komið fram.

\begin{array}{l} x - y = −1 \\ x - (2) = −1 \\ x = 1 \\ x - (1) = −1 \\ x = 0 \end{array}

Lausnirnar eru $(1, 2)$ og $(0, 1),$ sem staðfesta má með því að setja þessi $(x, y)$ -gildi inn í báðar upphaflegu jöfnurnar. Sjá mynd 3 .

Graf sýnir skurðpunkta fleygbogans y = x^2 + 1 (rauður) og línunnar x − y = −1 (blá) í punktunum (0, 1) og (1, 2). — Mynd 3

Skurðmengi hrings og línu

Rétt eins og fyrir fleygboga og línu eru þrjár mögulegar niðurstöður þegar leyst er jöfnuhneppi sem táknar hring og línu.

Dæmi 2

Að finna skurðpunkta hrings og línu með innsetningu

Finnið skurðpunkta gefna hringsins og gefnu línunnar með innsetningu.

\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 5 \\ y = 3 x −5 \end{array}

Lausn

Önnur jafnan hefur þegar verið leyst fyrir $y .$ Við setjum $y = 3 x −5$ inn í jöfnu hringsins.

\begin{matrix} x^{2} + {(3 x −5)}^{2} = 5 \\ x^{2} + 9 x^{2} −30 x + 25 = 5 \\ 10 x^{2} −30 x + 20 = 0 \end{matrix}

Næst þáttum við og leysum fyrir $x .$

\begin{array}{l} 10 (x^{2} - 3 x + 2) = 0 \\ 10 (x - 2) (x - 1) = 0 \\ x = 2 \\ x = 1 \end{array}

Setjið x-gildin tvö inn í upphaflegu línulegu jöfnuna og leysið fyrir $y .$

\begin{array}{l} y = 3 (2) −5 \\ = 1 \\ y = 3 (1) −5 \\ = −2 \end{array}

Línan sker hringinn í punktunum $(2, 1)$ og $(1, −2),$ sem staðfesta má með því að setja þessi $(x, y)$ -gildi inn í báðar upphaflegu jöfnurnar. Sjá mynd 5 .

Rauður hringur með jöfnuna x^2 + y^2 = 5 og blá lína með jöfnuna y = 3x − 5 eru sýnd í kartesísku hnitakerfi. Línan sker hringinn í punktunum (2, 1) og (1, −2). — Mynd 5

Að leysa ólínulegt jöfnuhneppi með eyðingu

Við höfum séð að innsetning er oft heppilegasta aðferðin þegar jöfnuhneppi inniheldur eina línulega og eina ólínulega jöfnu. Þegar báðar jöfnurnar innihalda sams konar breytuliði af öðru stigi er þó oft auðveldara að fella þá út með samlagningu en að nota innsetningu. Almennt er eyðing mun einfaldari fyrir hneppi tveggja jafna með tveimur breytum en fyrir 3 $\times$ 3-jöfnuhneppi, því skrefin eru færri. Sem dæmi könnum við mögulegar gerðir lausna þegar leyst er jöfnuhneppi sem táknar hring og sporbaug.

Dæmi 3

Að leysa ólínulegt jöfnuhneppi sem táknar hring og sporbaug

Leysið ólínulega jöfnuhneppið.

\begin{array}{r} x^{2} + y^{2} = 26 & (1) \\ 3 x^{2} + 25 y^{2} = 100 & (2) \end{array}

Lausn

Byrjum á að margfalda jöfnu (1) með $−3,$ og leggja hana við jöfnu (2).

\frac{\begin{array}{l} \begin{array}{l} (- 3) (x^{2} + y^{2}) = (- 3) (26) \\ - 3 x^{2} - 3 y^{2} = - 78 \end{array} \\ 3 x^{2} + 25 y^{2} = 100 \end{array}}{22 y^{2} = 22}

Eftir að jöfnurnar hafa verið lagðar saman leysum við fyrir $y .$

\begin{array}{l} y^{2} = 1 \\ y = \pm \sqrt{1} = \pm 1 \end{array}

Setjið $y = \pm 1$ inn í aðra jöfnuna og leysið fyrir $x .$

\begin{array}{l} x^{2} + {(1)}^{2} = 26 \\ x^{2} + 1 = 26 \\ x^{2} = 25 \\ x = \pm \sqrt{25} = \pm 5 \\ x^{2} + {(−1)}^{2} = 26 \\ x^{2} + 1 = 26 \\ x^{2} = 25 = \pm 5 \end{array}

Lausnirnar eru fjórar: ( 5 , 1 ) , ( − 5 , 1 ) , ( 5 , − 1 ) og ( −5 $(5, 1), (−5, 1), (5, −1), og (−5, −1) .$ , −1 ) . Þetta eru allir skurðpunktarnir. Sjá mynd 7 .

Graf sýnir bláan hring (x^2+y^2=25) og rauðan láréttan sporbaug með miðju í upphafspunkti. Geisli hringsins er 5. Sporbaugurinn sker hringinn í punktunum (−5,1), (−5,−1), (5,1) og (5,−1). — Mynd 7

Að teikna graf ólínulegrar ójöfnu

Allar jöfnurnar í hneppunum sem við höfum skoðað hingað til hafa byggst á jafnaðarmerkjum, en hneppi geta einnig innihaldið ójöfnur. Við höfum þegar lært að teikna graf línulegrar ójöfnu með því að teikna graf samsvarandi jöfnu og skyggja síðan svæðið sem ójöfnumerkið táknar. Nú fylgjum við svipuðum skrefum til að teikna graf ólínulegrar ójöfnu og undirbúa lausn ólínulegra ójöfnuhneppa. Ólínuleg ójafna er ójafna sem inniheldur ólínulega stæðu. Graf hennar er teiknað á svipaðan hátt og graf línulegrar ójöfnu.

Þegar ójafnan er stærra en, $y > a,$ eða minna en, $y < a,$ er grafið teiknað með slitinni línu. Þegar ójafnan er stærra en eða jafnt og, $y \geq a,$ eða minna en eða jafnt og, $y \leq a,$ er grafið teiknað með heilli línu. Gröfin skipta planinu í svæði og við prófum hvort hvert svæði innihaldi lausnir. Ef einn punktur á svæði uppfyllir ójöfnuna gera allir punktar svæðisins það. Það svæði er skyggt. Sjá mynd 8 .

Myndin sýnir fjögur gröf ójafna sem tengjast fleygboganum y = x^2 − 4. Graf (a) sýnir y > x^2 − 4 með slitnum fleygbogalaga jaðri og fjólubláu skyggðu svæði ofan fleygbogans. Graf (b) sýnir y ≥ x^2 − 4 með heilum jaðri og appelsínugulu skyggðu svæði ofan fleygbogans. Graf (c) sýnir y < x^2 − 4 með slitnum jaðri og blágrænu skyggðu svæði neðan fleygbogans. Graf (d) sýnir y ≤ x^2 − 4 með heilum jaðri og rauðu skyggðu svæði neðan fleygbogans. — **Mynd 8.** (a) dæmi um $y > a;$ (b) dæmi um $y \geq a;$ (c) dæmi um $y < a;$ (d) dæmi um $y \leq a$

Dæmi 4

Að teikna graf ójöfnu sem afmarkast af fleygboga

Teiknið graf ójöfnunnar $y > x^{2} + 1.$

Lausn

Teiknið fyrst graf samsvarandi jöfnu $y = x^{2} + 1.$ Þar sem $y > x^{2} + 1$ inniheldur stærra-en-merki teiknum við grafið með slitinni línu. Síðan veljum við prófunarpunkta bæði innan og utan fleygbogans. Prófum punktana
$(0, 2)$ og $(2, 0) .$ Annar punkturinn liggur greinilega innan fleygbogans og hinn utan hans.

\begin{array}{l} y > x^{2} + 1 \\ 2 > {(0)}^{2} + 1 \\ 2 > 1 & Satt \\ 0 > {(2)}^{2} + 1 \\ 0 > 5 & Ósatt \end{array}

Grafið er sýnt á mynd 9. Lausnamengið samanstendur af öllum punktum innan fleygbogans en ekki punktunum á grafinu sjálfu.

Graf sýnir ójöfnuna y > x^2 + 1. Svæðið ofan slitins fleygboga með topppunktinn (0, 1) er skyggt. Punktarnir (0, 2) og (2, 0) eru merktir á grafið. — Mynd 9

Að teikna graf ólínulegs ójöfnuhneppis

Nú þegar við höfum lært að teikna gröf ólínulegra ójafna getum við teiknað gröf ólínulegra ójöfnuhneppa. Ólínulegt ójöfnuhneppi er hneppi tveggja eða fleiri ójafna með tveimur eða fleiri breytum þar sem að minnsta kosti ein ójafnan er ekki línuleg. Graf ólínulegs ójöfnuhneppis er teiknað svipað og graf línulegs ójöfnuhneppis. Munurinn er sá að grafið getur innihaldið fleiri skyggð svæði sem tákna lausn en graf línulegs hneppis. Lausn ólínulegs ójöfnuhneppis er svæðið þar sem skyggðu svæði ójafnanna skarast, það er skurðmengi svæðanna. Það kallast leyfilegt svæði.

Dæmi 5

Að teikna graf ójöfnuhneppis

Teiknið graf gefna ójöfnuhneppisins.

\begin{array}{r} x^{2} - y \leq 0 \\ 2 x^{2} + y \leq 12 \end{array}

Lausn

Jöfnurnar tvær tákna greinilega fleygboga. Við getum fundið skurðpunktana með eyðingu: Leggið jöfnurnar saman og breytan $y$ fellur út. Leysið síðan fyrir $x .$

\begin{array}{l} \underset{____________}{\begin{matrix} \begin{array}{l} x^{2} - y = 0 \end{array} \\ 2 x^{2} + y = 12 \end{matrix}} \\ 3 x^{2} = 12 \\ x^{2} = 4 \\ x = \pm 2 \end{array}

Setjið x-gildin inn í aðra jöfnuna og leysið fyrir $y .$

\begin{array}{r} x^{2} - y = 0 \\ {(2)}^{2} - y = 0 \\ 4 - y = 0 \\ y = 4 \\ {(−2)}^{2} - y = 0 \\ 4 - y = 0 \\ y = 4 \end{array}

Skurðpunktarnir tveir eru $(2, 4)$ og $(−2, 4) .$ Athugið að umrita má jöfnurnar þannig:

\begin{array}{l} x^{2} - y \leq 0 \\ x^{2} \leq y \\ y \geq x^{2} \\ 2 x^{2} + y \leq 12 \\ y \leq −2 x^{2} + 12 \end{array}

Teiknið graf hvorrar ójöfnu. Sjá mynd 10. Leyfilega svæðið liggur milli grafanna tveggja og afmarkast að ofan af $2 x^{2} + y \leq 12$ og að neðan af $x^{2} - y \leq 0$ .

Kartesískt hnitakerfi sýnir tvo fleygboga. Rauður fleygbogi opnast upp frá upphafspunktinum (0,0). Blár fleygbogi opnast niður frá topppunktinum (0,12). Fleygbogarnir skerast í tveimur punktum sem eru merktir með svörtum punktum og auðkenndir sem (−2,4) og (2,4). Skyggð svæði sýna svæðin sem fleygbogarnir skilgreina: svæðið milli ferlanna er grátt, svæðið ofan rauða fleygbogans og utan þess bláa er ljósrautt og svæðið neðan bláa fleygbogans og utan þess rauða er ljósblátt. — Mynd 10

9.3 Æfingar úr hlutanum

Munnlegar spurningar

Útskýrið hvort hneppi tveggja ólínulegra jafna geti haft nákvæmlega tvær lausnir. En nákvæmlega þrjár? Ef það er ekki hægt, útskýrið hvers vegna. Ef það er hægt, gefið dæmi um slíkt hneppi á grafi og útskýrið hvers vegna það hefur tvær eða þrjár lausnir.

Útskýrið hvers vegna nægir að prófa einn punkt þegar graf ójöfnu er teiknað til að ákvarða hvort heilt svæði tilheyri lausnamenginu.

Er alltaf til leyfilegt svæði þegar graf ójöfnuhneppis er teiknað? Ef svo er, útskýrið hvers vegna. Ef ekki, gefið dæmi um graf ójöfnuhneppis án leyfilegs svæðis og útskýrið hvers vegna ekkert slíkt svæði er til.

Útskýrið hvernig ákvarða má á hvaða svæðum hagnaður fæst þegar gröf tekjufalls og kostnaðarfalls eru teiknuð.

Segjum að núllpunktsgreining gefi fleiri en eina lausn. Útskýrið hvernig ákvarða má hvaða x-gildi gefa hagnað og hver ekki.

Algebruleg verkefni

Leysið ólínulega jöfnuhneppið í eftirfarandi æfingum með innsetningu.

𝑥+𝑦=4𝑥2+𝑦2=9 $\begin{array}{l} x + y = 4 \\ x^{2} + y^{2} = 9 \end{array}$

𝑦=𝑥⁢−3𝑥2+𝑦2=9 $\begin{array}{l} y = x −3 \\ x^{2} + y^{2} = 9 \end{array}$

𝑦=𝑥𝑥2+𝑦2=9 $\begin{array}{l} y = x \\ x^{2} + y^{2} = 9 \end{array}$

𝑦=−𝑥𝑥2+𝑦2=9 $\begin{array}{l} y = - x \\ x^{2} + y^{2} = 9 \end{array}$

10.

𝑥=2𝑥2−𝑦2=9 $\begin{array}{l} x = 2 \\ x^{2} - y^{2} = 9 \end{array}$

Leysið ólínulega jöfnuhneppið í eftirfarandi æfingum með eyðingu.

11.

4⁢𝑥2⁢−9⁢𝑦2=364⁢𝑥2+9⁢𝑦2=36 $\begin{array}{l} 4 x^{2} −9 y^{2} = 36 \\ 4 x^{2} + 9 y^{2} = 36 \end{array}$

12.

𝑥2+𝑦2=25𝑥2−𝑦2=1 $\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 25 \\ x^{2} - y^{2} = 1 \end{array}$

13.

2⁢𝑥2+4⁢𝑦2=42⁢𝑥2⁢−4⁢𝑦2=25⁢𝑥⁢−10 $\begin{array}{l} 2 x^{2} + 4 y^{2} = 4 \\ 2 x^{2} −4 y^{2} = 25 x −10 \end{array}$

14.

𝑦2−𝑥2=93⁢𝑥2+2⁢𝑦2=8 $\begin{array}{l} y^{2} - x^{2} = 9 \\ 3 x^{2} + 2 y^{2} = 8 \end{array}$

15.

𝑥2+𝑦2+116=2500𝑦=2⁢𝑥2 $\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + \frac{1}{16} = 2500 \\ y = 2 x^{2} \end{array}$

Leysið ólínulega jöfnuhneppið í eftirfarandi æfingum með hvaða aðferð sem er.

16.

−2⁢𝑥2+𝑦=−5 6⁢𝑥−𝑦=9 $\begin{array}{l} −2 x^{2} + y = −5 \\ 6 x - y = 9 \end{array}$

17.

−𝑥2+𝑦=2−𝑥+𝑦=2 $\begin{array}{l} - x^{2} + y = 2 \\ - x + y = 2 \end{array}$

18.

𝑥2+𝑦2=1 𝑦=20⁢𝑥2⁢−1 $\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 1 \\ y = 20 x^{2} −1 \end{array}$

19.

𝑥2+𝑦2=1 𝑦=−𝑥2 $\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 1 \\ y = - x^{2} \end{array}$

20.

2⁢𝑥3−𝑥2=𝑦 𝑦=12−𝑥 $\begin{array}{l} 2 x^{3} - x^{2} = y \\ y = \frac{1}{2} - x \end{array}$

21.

9⁢𝑥2+25⁢𝑦2=225(𝑥⁢−6)₂+𝑦2=1 $\begin{array}{l} 9 x^{2} + 25 y^{2} = 225 \\ {(x −6)}^{2} + y^{2} = 1 \end{array}$

22.

𝑥4−𝑥2=𝑦 𝑥2+𝑦=0 $\begin{array}{l} x^{4} - x^{2} = y \\ x^{2} + y = 0 \end{array}$

23.

2⁢𝑥3−𝑥2=𝑦 𝑥2+𝑦=0 $\begin{array}{l} 2 x^{3} - x^{2} = y \\ x^{2} + y = 0 \end{array}$

Leysið ólínulega hneppið í eftirfarandi æfingum með hvaða aðferð sem er.

24.

𝑥2+𝑦2=9 𝑦=3−𝑥2 $\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 9 \\ y = 3 - x^{2} \end{array}$

25.

𝑥2−𝑦2=9 𝑥=3 $\begin{array}{l} x^{2} - y^{2} = 9 \\ x = 3 \end{array}$

26.

𝑥2−𝑦2=9 𝑦=3 $\begin{array}{l} x^{2} - y^{2} = 9 \\ y = 3 \end{array}$

27.

𝑥2−𝑦2=9 𝑥−𝑦=0 $\begin{array}{l} x^{2} - y^{2} = 9 \\ x - y = 0 \end{array}$

28.

−𝑥2+𝑦=2−4⁢𝑥+𝑦=−1 $\begin{array}{l} - x^{2} + y = 2 \\ −4 x + y = −1 \end{array}$

29.

−𝑥2+𝑦=2 2⁢𝑦=−𝑥 $\begin{array}{l} - x^{2} + y = 2 \\ 2 y = - x \end{array}$

30.

𝑥2+𝑦2=25𝑥2−𝑦2=36 $\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 25 \\ x^{2} - y^{2} = 36 \end{array}$

31.

𝑥2+𝑦2=1 𝑦2=𝑥2 $\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 1 \\ y^{2} = x^{2} \end{array}$

32.

16⁢𝑥2⁢−9⁢𝑦2+144=0 𝑦2+𝑥2=16 $\begin{array}{l} 16 x^{2} −9 y^{2} + 144 = 0 \\ y^{2} + x^{2} = 16 \end{array}$

33.

3⁢𝑥2−𝑦2=12(𝑥⁢−1)₂+𝑦2=1 $\begin{array}{l} 3 x^{2} - y^{2} = 12 \\ {(x −1)}^{2} + y^{2} = 1 \end{array}$

34.

3⁢𝑥2−𝑦2=12(𝑥⁢−1)₂+𝑦2=4 $\begin{array}{l} 3 x^{2} - y^{2} = 12 \\ {(x −1)}^{2} + y^{2} = 4 \end{array}$

35.

3⁢𝑥2−𝑦2=12 𝑥2+𝑦2=16 $\begin{array}{l} 3 x^{2} - y^{2} = 12 \\ x^{2} + y^{2} = 16 \end{array}$

36.

𝑥2−𝑦2−6⁢𝑥−4⁢𝑦−11=0 −𝑥2+𝑦2=5 $\begin{array}{l} x^{2} - y^{2} - 6 x - 4 y - 11 = 0 \\ - x^{2} + y^{2} = 5 \end{array}$

37.

𝑥2+𝑦2⁢−6⁢𝑦=7 𝑥2+𝑦=1 $\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} −6 y = 7 \\ x^{2} + y = 1 \end{array}$

38.

𝑥2+𝑦2=6 𝑥⁢𝑦=1 $\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 6 \\ x y = 1 \end{array}$

Grafísk verkefni

Teiknið graf ójöfnunnar í eftirfarandi æfingum.

39.

𝑥2+𝑦<9 $x^{2} + y < 9$

40.

𝑥2+𝑦2<4 $x^{2} + y^{2} < 4$

Teiknið graf ójöfnuhneppisins í eftirfarandi æfingum. Merkið alla skurðpunkta.

41.

𝑥2+𝑦<1𝑦>2⁢𝑥 $\begin{array}{l} x^{2} + y < 1 \\ y > 2 x \end{array}$

42.

𝑥2+𝑦<−5𝑦>5⁢𝑥+10 $\begin{array}{l} x^{2} + y < −5 \\ y > 5 x + 10 \end{array}$

43.

𝑥2+𝑦2<253⁢𝑥2−𝑦2>12 $\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} < 25 \\ 3 x^{2} - y^{2} > 12 \end{array}$

44.

𝑥2−𝑦2>−4𝑥2+𝑦2<12 $\begin{array}{l} x^{2} - y^{2} > −4 \\ x^{2} + y^{2} < 12 \end{array}$

45.

𝑥2+3⁢𝑦2>163⁢𝑥2−𝑦2<1 $\begin{array}{l} x^{2} + 3 y^{2} > 16 \\ 3 x^{2} - y^{2} < 1 \end{array}$

Viðbótarverkefni

Teiknið graf ójöfnunnar í eftirfarandi æfingum.

46.

𝑦≥𝑒𝑥𝑦≤ln⁡(𝑥)+5 $\begin{array}{l} y \geq e^{x} \\ y \leq \ln (x) + 5 \end{array}$

47.

𝑦≤−log⁡(𝑥)𝑦≤𝑒𝑥 $\begin{array}{l} y \leq - \log (x) \\ y \leq e^{x} \end{array}$

Finnið lausnir ólínulegu jafnanna með tveimur breytum í eftirfarandi æfingum.

48.

4𝑥2+1𝑦2=245𝑥2−2𝑦2+4=0 $\begin{array}{l} \frac{4}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = 24 \\ \frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{y^{2}} + 4 = 0 \end{array}$

49.

6𝑥2−1𝑦2=81𝑥2−6𝑦2=18 $\begin{matrix} \frac{6}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}} = 8 \\ \frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{y^{2}} = \frac{1}{8} \end{matrix}$

50.

𝑥2−𝑥⁢𝑦+𝑦2⁢−2=0𝑥+3⁢𝑦=4 $\begin{array}{l} x^{2} - x y + y^{2} −2 = 0 \\ x + 3 y = 4 \end{array}$

51.

𝑥2−𝑥⁢𝑦⁢−2⁢𝑦2⁢−6=0𝑥2+𝑦2=1 $\begin{array}{l} x^{2} - x y −2 y^{2} −6 = 0 \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{array}$

52.

𝑥2+4⁢𝑥⁢𝑦⁢−2⁢𝑦2⁢−6=0𝑥=𝑦+2 $\begin{array}{l} x^{2} + 4 x y −2 y^{2} −6 = 0 \\ x = y + 2 \end{array}$

Tækniverkefni

Leysið ójöfnuhneppið í eftirfarandi æfingum. Notið reiknivél til að teikna graf hneppisins og staðfesta svarið.

53.

𝑥⁢𝑦<1𝑦>√𝑥 $\begin{array}{l} x y < 1 \\ y > \sqrt{x} \end{array}$

54.

𝑥2+𝑦<3𝑦>2⁢𝑥 $\begin{array}{l} x^{2} + y < 3 \\ y > 2 x \end{array}$

Hagnýt verkefni

Setjið í eftirfarandi æfingum upp ólínulegt jöfnuhneppi sem lýsir gefinni hegðun og finnið síðan umbeðnar lausnir.

55.

Tvær tölur hafa summuna 300. Önnur talan er tvöfalt veldi hinnar í öðru veldi. Hverjar eru tölurnar?

56.

Summa ferninga tveggja talna er 360. Síðari talan er helmingur fernings fyrri tölunnar. Hverjar eru tölurnar?

57.

Fartölvufyrirtæki hefur ákvarðað eftirfarandi kostnaðar- og tekjuföll fyrir hvern dag: $C (x) = 3 x^{2} −10 x + 200$ og $R (x) = −2 x^{2} + 100 x + 50.$ Á hvaða bili ætti fyrirtækið að framleiða fartölvur á dag til að skila hagnaði? Námundið að næstu heiltölu sem gefur hagnað.

58.

Farsímafyrirtæki hefur eftirfarandi kostnaðar- og tekjuföll: $C (x) = 8 x^{2} −600 x + 21,500$ og $R (x) = −3 x^{2} + 480 x .$ Á hvaða bili ætti fyrirtækið að framleiða farsíma á dag til að skila hagnaði? Námundið að næstu heiltölu sem gefur hagnað.