99 Jöfnuhneppi og ójöfnuhneppi

Meginatriði

9.1 Tveggja breyta línuleg jöfnuhneppi

Línulegt jöfnuhneppi samanstendur af tveimur eða fleiri jöfnum í tveimur eða fleiri breytum og skoða þarf allar jöfnur hneppisins samtímis.
Lausn tveggja breyta línulegs jöfnuhneppis er sérhvert raðað par sem uppfyllir hvora jöfnu fyrir sig. Sjá sýnidæmi 1 .
Jöfnuhneppi flokkast sem óháð með eina lausn, háð með óendanlega margar lausnir eða ósamkvæmt án lausnar.
Ein aðferð við að leysa tveggja breyta línulegt jöfnuhneppi er myndræn lausn. Þá teiknum við jöfnurnar í sama hnitakerfi. Sjá sýnidæmi 2 .
Önnur aðferð við að leysa línulegt jöfnuhneppi er innsetning. Þá leysum við aðra jöfnuna fyrir annarri breytunni og setjum niðurstöðuna inn í hina jöfnuna. Sjá sýnidæmi 3 .
Þriðja aðferðin við lausn línulegs jöfnuhneppis er samlagning. Þá má eyða breytu með því að leggja saman gagnstæða stuðla samsvarandi breyta. Sjá sýnidæmi 4 .
Oft þarf að margfalda aðra eða báðar jöfnurnar með fasta til að auðvelda eyðingu breytu þegar jöfnurnar eru lagðar saman. Sjá sýnidæmi 5 , sýnidæmi 6 og sýnidæmi 7 .
Báðar lausnaraðferðirnar gefa ósanna fullyrðingu fyrir ósamkvæmt jöfnuhneppi vegna þess að það lýsir samsíða línum sem skerast aldrei. Sjá sýnidæmi 8 .
Lausn háðs jöfnuhneppis gefur alltaf sanna fullyrðingu vegna þess að báðar jöfnurnar lýsa sömu línu. Sjá sýnidæmi 9 .
Nota má jöfnuhneppi til að leysa raunhæf verkefni með fleiri en einni breytu, til dæmis um tekjur, kostnað og hagnað. Sjá sýnidæmi 10 og sýnidæmi 11 .

9.2 Þriggja breyta línuleg jöfnuhneppi

Lausnamengi er röðuð þrennd {(𝑥,𝑦,𝑧)} ${(x, y, z)}$ sem táknar skurðpunkt þriggja plana í rúmi. Sjá
Sýnidæmi 1.
Leysa má þriggja breyta jöfnuhneppi með þremur jöfnum í skrefum sem eyða breytu. Skrefin fela meðal annars í sér að víxla röð jafna, margfalda báðar hliðar jöfnu með fasta sem er ekki núll og leggja margfeldi einnar jöfnu með tölu sem er ekki núll við aðra jöfnu. Sjá sýnidæmi 2 .
Þriggja breyta jöfnuhneppi með þremur jöfnum nýtast við lausn fjölbreyttra raunhæfra verkefna. Sjá sýnidæmi 3 .
Þriggja breyta jöfnuhneppi er ósamkvæmt ef engin lausn er til. Eftir eyðingaraðgerðir fæst þá mótsögn. Sjá sýnidæmi 4 .
Ósamkvæmt þriggja breyta jöfnuhneppi getur lýst þremur samsíða plönum, tveimur samsíða plönum og einu plani sem sker þau eða þremur plönum sem hvert sker hin tvö en ekki öll á sama stað.
Þriggja breyta jöfnuhneppi er háð ef það hefur óendanlega margar lausnir. Eftir eyðingaraðgerðir fæst þá samsemd. Sjá sýnidæmi 5 .
Háð þriggja breyta jöfnuhneppi getur lýst þremur plönum sem falla saman, þremur plönum sem skerast í línu eða tveimur plönum sem falla saman og skera þriðja planið í línu.

9.3 Tveggja breyta ólínuleg jöfnu- og ójöfnuhneppi

Jöfnuhneppi sem lýsir línu og fleygboga getur haft þrenns konar lausnir: (1) enga lausn ef línan sker ekki fleygbogann; (2) eina lausn ef línan snertir fleygbogann; og (3) tvær lausnir ef línan sker fleygbogann í tveimur punktum. Sjá sýnidæmi 1 .
Jöfnuhneppi sem lýsir hring og línu getur haft þrenns konar lausnir: (1) enga lausn ef línan sker ekki hringinn; (2) eina lausn ef línan snertir hringinn; og (3) tvær lausnir ef línan sker hringinn í tveimur punktum. Sjá sýnidæmi 2 .
Ólínulegt jöfnuhneppi sem lýsir sporbaug og hring getur haft fimm gerðir lausna: (1) enga lausn
ef hringurinn og sporbaugurinn skerast ekki; (2) eina lausn ef hringurinn og sporbaugurinn snertast; (3) tvær lausnir ef hringurinn og sporbaugurinn skerast í tveimur punktum; (4) þrjár lausnir ef þeir skerast á þremur stöðum; og (5) fjórar lausnir ef þeir skerast í fjórum punktum. Sjá sýnidæmi 3 .
Ójafna er teiknuð á svipaðan hátt og jafna, nema þegar táknið er > eða <; þá teiknum við strikalínu og skyggjum svæðið sem inniheldur lausnamengið. Sjá sýnidæmi 4 .
Ójöfnur eru leystar á sama hátt og jöfnur en lausnir ójöfnuhneppis verða að uppfylla báðar ójöfnurnar. Sjá sýnidæmi 5 .

9.4 Stofnbrot

Liðið $\frac{P (x)}{Q (x)}$ í stofnbrot með því að rita þau sem $\frac{A}{a_{1} x + b_{1}} + \frac{B}{a_{2} x + b_{2}} .$ Eyðið brotunum, margfaldið upp úr svigum hægra megin, takið saman líka liði og látið samsvarandi stuðla vera jafna. Setjið síðan upp jöfnuhneppi og leysið það. Sjá sýnidæmi 1 .
Við stofnbrotaliðun $\frac{P (x)}{Q (x)}$ með endurteknum línulegum þáttum verða þættir nefnarans að koma fram í hækkandi veldum. Sjá sýnidæmi 2 .
Við stofnbrotaliðun $\frac{P (x)}{Q (x)}$ með óendurteknum, óþáttanlegum annars stigs þætti þarf línulegan teljara yfir annars stigs þættinum, eins og í $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{(a x^{2} + b x + c)} .$ Sjá sýnidæmi 3 .
Við stofnbrotaliðun $\frac{P (x)}{Q (x)},$ þar sem $Q (x)$ hefur endurtekinn, óþáttanlegan annars stigs þátt, verða veldi nefnaraþáttanna að koma fram í hækkandi röð sem
$\frac{A x + B}{(a x^{2} + b x + c)} + \frac{A_{2} x + B_{2}}{{(a x^{2} + b x + c)}^{2}} + \dots + \frac{A_{n} x + B_{n}}{{(a x^{2} + b x + c)}^{n}} .$
Sjá sýnidæmi 4 .
$\frac{A x + B}{(a x^{2} + b x + c)} + \frac{A_{2} x + B_{2}}{{(a x^{2} + b x + c)}^{2}} + \dots + \frac{A_{n} x + B_{n}}{{(a x^{2} + b x + c)}^{n}} .$

9.5 Fylki og fylkjaaðgerðir

Fylki er rétthyrnd röðun talna. Stökunum er raðað í línur og dálka.
Stærð fylkis ræðst af fjölda lína og dálka. $3 \times 2$ fylki hefur þrjár línur og tvo dálka. Sjá sýnidæmi 1 .
Við leggjum saman og drögum frá fylki af sömu stærð með því að leggja saman eða draga frá samsvarandi stök. Sjá sýnidæmi 2, sýnidæmi 3, sýnidæmi 4 og sýnidæmi 5 .
Við margföldun fylkis með tölu er hvert stak fylkisins margfaldað með sama fasta. Sjá sýnidæmi 6 .
Oft þarf að margfalda fylki með tölu áður en leggja má fylkin saman eða draga annað frá hinu. Sjá sýnidæmi 7 .
Hægt er að margfalda fylki þegar innri stærðirnar eru þær sömu, það er þegar dálkar fyrra fylkisins eru jafnmargir og línur síðara fylkisins.
Margfeldi fylkjanna $A$ og 𝐵 $B,$ fæst með því að margfalda hvert stak í línu 1 í $A$ með hverju staki í dálki 1 í $B;$ síðan er hvert stak í línu 1 í $A$ margfaldað með hverju staki í dálkum 2 í 𝐵 $B,$ og svo koll af kolli. Sjá sýnidæmi 8 og sýnidæmi 9 .
Oft má leysa raunhæf verkefni með fylkjum. Sjá sýnidæmi 10 .
Nota má reiknivél til fylkjaaðgerða eftir að hvert fylki hefur verið vistað sem fylkjabreyta. Sjá sýnidæmi 11 .

9.6 Lausn jöfnuhneppa með Gauss-eyðingu

Aukið fylki inniheldur stuðla og fasta jöfnuhneppis. Sjá sýnidæmi 1 .
Fylki sem fastadálkinum hefur verið bætt við má rita aftur sem upprunalega jöfnuhneppið. Sjá sýnidæmi 2 .
Línuaðgerðir fela meðal annars í sér að margfalda línu með fasta, leggja eina línu við aðra og víxla línum.
Nota má Gauss-eyðingu til að leysa jöfnuhneppi. Sjá sýnidæmi 3, sýnidæmi 4 og sýnidæmi 5 .
Línuaðgerðum er beitt á fylki til að fá efra stallaform. Sjá sýnidæmi 6 .
Til að leysa jöfnuhneppi skal rita það sem aukið fylki, beita línuaðgerðum til að fá efra stallaform og nota bakinnsetningu til að finna lausnirnar. Sjá sýnidæmi 7 og sýnidæmi 8 .
Nota má reiknivél til að leysa jöfnuhneppi með fylkjum. Sjá sýnidæmi 9 .
Mörg raunhæf verkefni má leysa með auknum fylkjum. Sjá sýnidæmi 10 og sýnidæmi 11 .

9.7 Lausn jöfnuhneppa með andhverfum fylkja

Einingarfylki hefur eiginleikann $A I = I A = A .$ Sjá sýnidæmi 1 .
Andhverfanlegt fylki hefur eiginleikann $A A^{−1} = A^{−1} A = I .$ Sjá sýnidæmi 2 .
Notið fylkjamargföldun og einingarfylkið til að finna andhverfu $2 \times 2$ fylkis. Sjá sýnidæmi 3 .
Finna má andhverfuna með formúlu. Sjá sýnidæmi 4 .
Önnur aðferð við að finna andhverfuna er að bæta einingarfylkinu við. Sjá sýnidæmi 5 .
Við getum bætt einingarfylkinu hægra megin við $3 \times 3$ fylki og beitt línuaðgerðum til að breyta upprunalega fylkinu í einingarfylkið; þá verður fylkið hægra megin að andhverfunni. Sjá sýnidæmi 6 .
Ritið jöfnuhneppið sem 𝐴 ⁢ 𝑋 = 𝐵 $A X = B,$ og margfaldið báðar hliðar með andhverfu $A : A^{−1} A X = A^{−1} B .$ Sjá sýnidæmi 7 og sýnidæmi 8 .
Einnig má nota reiknivél til að leysa jöfnuhneppi með andhverfum fylkja. Sjá sýnidæmi 9 .

9.8 Lausn jöfnuhneppa með reglu Cramers

Ákveða fylkisins $[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]$ er $a d - b c .$ Sjá sýnidæmi 1 .
Í reglu Cramers er dálki breytu skipt út fyrir fastadálkinn. Lausnirnar eru $x = \frac{D_{x}}{D}, y = \frac{D_{y}}{D} .$ Sjá sýnidæmi 2 .
Til að finna ákveðu 3 $\times ⁠$ 3 fylkis skal bæta fyrstu tveimur dálkunum aftan við fylkið. Leggið saman margfeldin eftir hornalínunum þremur frá efra vinstra horni að neðra hægra horni og dragið frá margfeldin eftir hornalínunum þremur frá neðra vinstra horni að efra hægra horni. Sjá sýnidæmi 3 .
Til að leysa þriggja breyta jöfnuhneppi með þremur jöfnum samkvæmt reglu Cramers skal skipta dálki hverrar breytu sem leysa á fyrir út fyrir fastadálkinn: $x = \frac{D_{x}}{D}, y = \frac{D_{y}}{D}, z = \frac{D_{z}}{D} .$ Sjá sýnidæmi 4 .
Regla Cramers nýtist einnig til að greina jöfnuhneppi sem hefur enga lausn eða óendanlega margar lausnir. Sjá sýnidæmi 5 og sýnidæmi 6 .
Nokkrir eiginleikar ákveða nýtast við lausn verkefna. Til dæmis: Ef fylkið
- Ef fylkið er á efra þríhyrningsformi er ákveðan margfeldi stakanna á aðalhornalínunni.
- Þegar tveimur línum er víxlað um sæti skiptir ákveðan um formerki.
- Ef annaðhvort tvær línur eða tveir dálkar eru eins er ákveðan jöfn núlli.
- Ef fylki inniheldur annaðhvort línu eða dálk með eingöngu núllum er ákveðan jöfn núlli.
- Ákveða andhverfa fylkisins $A^{- 1}$ er gagnhverfa ákveðu fylkisins $A .$
- Ef einhver lína eða dálkur er margfaldaður með fasta margfaldast ákveðan með sama stuðli. Sjá sýnidæmi 7 og sýnidæmi 8 .