99 Jöfnuhneppi og ójöfnuhneppi

Yfirlitsverkefni

Tveggja breyta línuleg jöfnuhneppi

Ákvarðið í eftirfarandi æfingum hvort raðaða parið sé lausn jöfnuhneppisins.

$\begin{array}{l} 3 x - y = 4 \\ x + 4 y = - 3 \end{array}$ og $(- 1, 1)$

$\begin{array}{l} 6 x - 2 y = 24 \\ - 3 x + 3 y = 18 \end{array}$ og $(9, 15)$

Leysið jöfnuhneppið með innsetningu í eftirfarandi æfingum.

10⁢𝑥+5⁢𝑦=−53⁢𝑥−2⁢𝑦=−12 $\begin{array}{l} 10 x + 5 y = −5 \\ 3 x - 2 y = −12 \end{array}$

47⁢𝑥+15⁢𝑦=437056⁢𝑥−13⁢𝑦=−23 $\begin{array}{l} \frac{4}{7} x + \frac{1}{5} y = \frac{43}{70} \\ \frac{5}{6} x - \frac{1}{3} y = - \frac{2}{3} \end{array}$

5⁢𝑥+6⁢𝑦=144⁢𝑥+8⁢𝑦=8 $\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 14 \\ 4 x + 8 y = 8 \end{array}$

Leysið jöfnuhneppið með samlagningu í eftirfarandi æfingum.

3⁢𝑥+2⁢𝑦=−72⁢𝑥+4⁢𝑦=6 $\begin{array}{l} 3 x + 2 y = −7 \\ 2 x + 4 y = 6 \end{array}$

3⁢𝑥+4⁢𝑦=29⁢𝑥+12⁢𝑦=3 $\begin{array}{r} 3 x + 4 y = 2 \\ 9 x + 12 y = 3 \end{array}$

8⁢𝑥+4⁢𝑦=26⁢𝑥−5⁢𝑦=0.7 $\begin{array}{l} 8 x + 4 y = 2 \\ 6 x - 5 y = 0.7 \end{array}$

Ritið jöfnuhneppi sem lýsir hverju verkefni og leysið það.

Verksmiðja hefur kostnaðarfallið $C (x) = 150 x + 15, 000$ og tekjufallið $R (x) = 200 x .$ Hver er núllpunktur rekstrarins?

10.

Listamaður rukkar $C (x) = 50 x + 10, 000,$ þar sem $x$ er heildarfjöldi gesta á sýningu. Sýningarstaðurinn rukkar $75 fyrir hvern miða. Hve margir þurfa að kaupa miða til að reksturinn standi á núlli og hvert er heildarverð seldra miða við þann fjölda?

Þriggja breyta línuleg jöfnuhneppi

Leysið þriggja jafna jöfnuhneppið með innsetningu eða samlagningu í eftirfarandi æfingum.

11.

0.5⁢𝑥−0.5⁢𝑦=10−0.2⁢𝑦+0.2⁢𝑥=40.1⁢𝑥+0.1⁢𝑧=2 $\begin{array}{l} 0.5 x - 0.5 y = 10 \\ - 0.2 y + 0.2 x = 4 \\ 0.1 x + 0.1 z = 2 \end{array}$

12.

5⁢𝑥+3⁢𝑦−𝑧=53⁢𝑥−2⁢𝑦+4⁢𝑧=134⁢𝑥+3⁢𝑦+5⁢𝑧=22 $\begin{array}{r} 5 x + 3 y - z = 5 \\ 3 x - 2 y + 4 z = 13 \\ 4 x + 3 y + 5 z = 22 \end{array}$

13.

𝑥+𝑦+𝑧=12⁢𝑥+2⁢𝑦+2⁢𝑧=13⁢𝑥+3⁢𝑦=2 $\begin{array}{r} x + y + z = 1 \\ 2 x + 2 y + 2 z = 1 \\ 3 x + 3 y = 2 \end{array}$

14.

2⁢𝑥−3⁢𝑦+𝑧=−1𝑥+𝑦+𝑧=−44⁢𝑥+2⁢𝑦−3⁢𝑧=33 $\begin{array}{l} 2 x - 3 y + z = −1 \\ x + y + z = −4 \\ 4 x + 2 y - 3 z = 33 \end{array}$

15.

3⁢𝑥+2⁢𝑦−𝑧=−10𝑥−𝑦+2⁢𝑧=7−𝑥+3⁢𝑦+𝑧=−2 $\begin{array}{l} 3 x + 2 y - z = −10 \\ x - y + 2 z = 7 \\ - x + 3 y + z = −2 \end{array}$

16.

3⁢𝑥+4⁢𝑧=−11𝑥−2⁢𝑦=54⁢𝑦−𝑧=−10 $\begin{array}{r} 3 x + 4 z = −11 \\ x - 2 y = 5 \\ 4 y - z = −10 \end{array}$

17.

2⁢𝑥−3⁢𝑦+𝑧=02⁢𝑥+4⁢𝑦−3⁢𝑧=06⁢𝑥−2⁢𝑦−𝑧=0 $\begin{array}{r} 2 x - 3 y + z = 0 \\ 2 x + 4 y - 3 z = 0 \\ 6 x - 2 y - z = 0 \end{array}$

18.

6⁢𝑥−4⁢𝑦−2⁢𝑧=23⁢𝑥+2⁢𝑦−5⁢𝑧=46⁢𝑦−7⁢𝑧=5 $\begin{array}{r} 6 x - 4 y - 2 z = 2 \\ 3 x + 2 y - 5 z = 4 \\ 6 y - 7 z = 5 \end{array}$

Ritið jöfnuhneppi sem lýsir hverju verkefni og leysið það.

19.

Summa þriggja oddatalna er 61. Minnsta talan er þriðjungur þeirrar stærstu og miðtalan er 16 minni en sú stærsta. Hverjar eru tölurnar þrjár?

20.

Uppselt er á sýningu í leikhúsi og allir 500 miðarnir seljast fyrir samtals $8,070.00. Nemendamiðar kosta $15, barnamiðar $12 og fullorðinsmiðar $18. Ef hljómsveitin seldi þrefalt fleiri fullorðinsmiða en barnamiða, hve margir miðar af hverri gerð seldust?

Tveggja breyta ólínuleg jöfnu- og ójöfnuhneppi

Leysið ólínulega jöfnuhneppið í eftirfarandi æfingum.

21.

𝑦=𝑥2−7𝑦=5⁢𝑥−13 $\begin{array}{l} y = x^{2} - 7 \\ y = 5 x - 13 \end{array}$

22.

𝑦=𝑥2−4𝑦=5⁢𝑥+10 $\begin{array}{l} y = x^{2} - 4 \\ y = 5 x + 10 \end{array}$

23.

𝑥2+𝑦2=16𝑦=𝑥−8 $\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 16 \\ y = x - 8 \end{array}$

24.

𝑥2+𝑦2=25𝑦=𝑥2+5 $\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 25 \\ y = x^{2} + 5 \end{array}$

25.

𝑥2+𝑦2=4𝑦−𝑥2=3 $\begin{array}{r} x^{2} + y^{2} = 4 \\ y - x^{2} = 3 \end{array}$

Teiknið ójöfnuna í eftirfarandi æfingum.

26.

𝑦>𝑥2−1 $y > x^{2} - 1$

27.

14⁢𝑥2+𝑦2<4 $\frac{1}{4} x^{2} + y^{2} < 4$

Teiknið ójöfnuhneppið í eftirfarandi æfingum.

28.

𝑥2+𝑦2+2⁢𝑥<3𝑦>−𝑥2−3 $\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + 2 x < 3 \\ y > - x^{2} - 3 \end{array}$

29.

𝑥2−2⁢𝑥+𝑦2−4⁢𝑥<4𝑦<−𝑥+4 $\begin{array}{l} x^{2} - 2 x + y^{2} - 4 x < 4 \\ y < - x + 4 \end{array}$

30.

𝑥2+𝑦2<1𝑦2<𝑥 $\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} < 1 \\ y^{2} < x \end{array}$

Stofnbrot

Liðið í stofnbrot í eftirfarandi æfingum.

31.

−2⁢𝑥+6𝑥2+3⁢𝑥+2 $\frac{- 2 x + 6}{x^{2} + 3 x + 2}$

32.

10⁢𝑥+24⁢𝑥2+4⁢𝑥+1 $\frac{10 x + 2}{4 x^{2} + 4 x + 1}$

33.

7⁢𝑥+20𝑥2+10⁢𝑥+25 $\frac{7 x + 20}{x^{2} + 10 x + 25}$

34.

𝑥−18𝑥2−12⁢𝑥+36 $\frac{x - 18}{x^{2} - 12 x + 36}$

35.

−𝑥2+36⁢𝑥+70𝑥3−125 $\frac{- x^{2} + 36 x + 70}{x^{3} - 125}$

36.

−5⁢𝑥2+6⁢𝑥−2𝑥3+27 $\frac{- 5 x^{2} + 6 x - 2}{x^{3} + 27}$

37.

𝑥3−4⁢𝑥2+3⁢𝑥+11(𝑥2−2)₂ $\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 3 x + 11}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

38.

4⁢𝑥4−2⁢𝑥3+22⁢𝑥2−6⁢𝑥+48𝑥⁢(𝑥2+4)₂ $\frac{4 x^{4} - 2 x^{3} + 22 x^{2} - 6 x + 48}{x {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Fylki og fylkjaaðgerðir

Framkvæmið umbeðnar aðgerðir á gefnu fylkjunum í eftirfarandi æfingum.

A = [\begin{array}{r} 4 & - 2 \\ 1 & 3 \end{array}], B = [\begin{array}{r} 6 & 7 & - 3 \\ 11 & - 2 & 4 \end{array}], C = [\begin{array}{r} \begin{matrix} 6 & 7 \\ 11 & - 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 14 & 0 \end{matrix} \end{array}], D = [\begin{array}{r} 1 & - 4 & 9 \\ 10 & 5 & - 7 \\ 2 & 8 & 5 \end{array}], E = [\begin{array}{r} 7 & - 14 & 3 \\ 2 & - 1 & 3 \\ 0 & 1 & 9 \end{array}]

39.

−4⁢𝐴 $- 4 A$

40.

10⁢𝐷−6⁢𝐸 $10 D - 6 E$

41.

𝐵+𝐶 $B + C$

42.

𝐴⁢𝐵 $A B$

43.

𝐵⁢𝐴 $B A$

44.

𝐵⁢𝐶 $B C$

45.

𝐶⁢𝐵 $C B$

46.

𝐷⁢𝐸 $D E$

47.

𝐸⁢𝐷 $E D$

48.

𝐸⁢𝐶 $E C$

49.

𝐶⁢𝐸 $C E$

50.

𝐴3 $A^{3}$

Lausn jöfnuhneppa með Gauss-eyðingu

Ritið línulega jöfnuhneppið sem aukna fylkið lýsir í eftirfarandi æfingum. Takið fram hvort einkvæm lausn sé til.

51.

⎡⎢ ⎢⎣10−3012000⁢∣7−50⎤⎥ ⎥⎦ $[\begin{array}{r} 1 & 0 & −3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} | \begin{array}{r} 7 \\ −5 \\ 0 \end{array}]$

52.

⎡⎢ ⎢⎣10501−2000⁢∣−943⎤⎥ ⎥⎦ $[\begin{array}{r} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} | \begin{array}{r} −9 \\ 4 \\ 3 \end{array}]$

Ritið aukna fylkið sem línulega jöfnuhneppið lýsir í eftirfarandi æfingum.

53.

−2⁢𝑥+2⁢𝑦+𝑧=72⁢𝑥−8⁢𝑦+5⁢𝑧=019⁢𝑥−10⁢𝑦+22⁢𝑧=3 $\begin{array}{r} - 2 x + 2 y + z = 7 \\ 2 x - 8 y + 5 z = 0 \\ 19 x - 10 y + 22 z = 3 \end{array}$

54.

4⁢𝑥+2⁢𝑦−3⁢𝑧=14−12⁢𝑥+3⁢𝑦+𝑧=1009⁢𝑥−6⁢𝑦+2⁢𝑧=31 $\begin{array}{l} 4 x + 2 y - 3 z = 14 \\ - 12 x + 3 y + z = 100 \\ 9 x - 6 y + 2 z = 31 \end{array}$

55.

𝑥+3⁢𝑧=12−𝑥+4⁢𝑦=0𝑦+2⁢𝑧=−7 $\begin{array}{r} x + 3 z = 12 \\ - x + 4 y = 0 \\ y + 2 z = - 7 \end{array}$

Leysið línulega jöfnuhneppið með Gauss-eyðingu í eftirfarandi æfingum.

56.

3⁢𝑥−4⁢𝑦=−7−6⁢𝑥+8⁢𝑦=14 $\begin{array}{r} 3 x - 4 y = - 7 \\ - 6 x + 8 y = 14 \end{array}$

57.

3⁢𝑥−4⁢𝑦=1−6⁢𝑥+8⁢𝑦=6 $\begin{array}{r} 3 x - 4 y = 1 \\ - 6 x + 8 y = 6 \end{array}$

58.

−1.1⁢𝑥−2.3⁢𝑦=6.2−5.2⁢𝑥−4.1⁢𝑦=4.3 $\begin{array}{l} - 1.1 x - 2.3 y = 6.2 \\ - 5.2 x - 4.1 y = 4.3 \end{array}$

59.

2⁢𝑥+3⁢𝑦+2⁢𝑧=1−4⁢𝑥−6⁢𝑦−4⁢𝑧=−210⁢𝑥+15⁢𝑦+10⁢𝑧=0 $\begin{array}{r} 2 x + 3 y + 2 z = 1 \\ - 4 x - 6 y - 4 z = - 2 \\ 10 x + 15 y + 10 z = 0 \end{array}$

60.

−𝑥+2⁢𝑦−4⁢𝑧=83⁢𝑦+8⁢𝑧=−4−7⁢𝑥+𝑦+2⁢𝑧=1 $\begin{array}{r} - x + 2 y - 4 z = 8 \\ 3 y + 8 z = - 4 \\ - 7 x + y + 2 z = 1 \end{array}$

Lausn jöfnuhneppa með andhverfum fylkja

Finnið andhverfu fylkisins í eftirfarandi æfingum.

61.

[−0.21.41.2−0.4] $[\begin{array}{r} - 0.2 & 1.4 \\ 1.2 & - 0.4 \end{array}]$

62.

[12−12−1434] $[\begin{array}{r} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \end{array}]$

63.

⎡⎢ ⎢⎣129−6−132−4−32⎤⎥ ⎥⎦ $[\begin{matrix} 12 & 9 & - 6 \\ - 1 & 3 & 2 \\ - 4 & - 3 & 2 \end{matrix}]$

64.

⎡⎢ ⎢⎣213123321⎤⎥ ⎥⎦ $[\begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix}]$

Finnið lausnirnar með því að reikna andhverfu fylkisins í eftirfarandi æfingum.

65.

0.3⁢𝑥−0.1⁢𝑦=−10−0.1⁢𝑥+0.3⁢𝑦=14 $\begin{array}{l} 0.3 x - 0.1 y = - 10 \\ - 0.1 x + 0.3 y = 14 \end{array}$

66.

0.4⁢𝑥−0.2⁢𝑦=−0.6−0.1⁢𝑥+0.05⁢𝑦=0.3 $\begin{array}{l} 0.4 x - 0.2 y = - 0.6 \\ - 0.1 x + 0.05 y = 0.3 \end{array}$

67.

4⁢𝑥+3⁢𝑦−3⁢𝑧=−4.35⁢𝑥−4⁢𝑦−𝑧=−6.1𝑥+𝑧=−0.7 $\begin{array}{r} 4 x + 3 y - 3 z = - 4.3 \\ 5 x - 4 y - z = - 6.1 \\ x + z = - 0.7 \end{array}$

68.

−2⁢𝑥−3⁢𝑦+2⁢𝑧=3−𝑥+2⁢𝑦+4⁢𝑧=−5−2⁢𝑦+5⁢𝑧=−3 $\begin{array}{r} \begin{array}{l} - 2 x - 3 y + 2 z = 3 \end{array} \\ - x + 2 y + 4 z = - 5 \\ - 2 y + 5 z = - 3 \end{array}$

Ritið jöfnuhneppi sem lýsir hverju verkefni og leysið það.

69.

Nemendur voru beðnir að koma með uppáhaldsávöxtinn sinn í kennslustund. 90% af ávaxtanna voru bananar, epli eða appelsínur. Vinsældir appelsína voru helmingur af vinsældum banana og epli 5% vinsælli en bananar. Hvert var hlutfall hverrar ávaxtategundar?

70.

Skólaklúbbur hélt kökusölu til fjáröflunar og seldi brúnkur og súkkulaðibitakökur. Brúnkurnar kostuðu $2 og súkkulaðibitakökurnar $1. Klúbburinn safnaði $250 og seldi 175 kökur. Hve margar brúnkur og hve margar smákökur seldust?

Lausn jöfnuhneppa með reglu Cramers

Finnið ákveðuna í eftirfarandi æfingum.

71.

∣100000∣ $| \begin{matrix} 100 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} |$

72.

∣0.2−0.60.7−1.1∣ $| \begin{matrix} 0.2 & - 0.6 \\ 0.7 & - 1.1 \end{matrix} |$

73.

∣−14302300−3∣ $| \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & - 3 \end{matrix} |$

74.

∣ ∣ ∣ ∣√2000√2000√2∣ ∣ ∣ ∣ $| \begin{matrix} \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \end{matrix} |$

Notið reglu Cramers til að leysa línulegu jöfnuhneppin í eftirfarandi æfingum.

75.

4⁢𝑥−2⁢𝑦=23−5⁢𝑥−10⁢𝑦=−35 $\begin{array}{r} 4 x - 2 y = 23 \\ - 5 x - 10 y = - 35 \end{array}$

76.

0.2⁢𝑥−0.1⁢𝑦=0−0.3⁢𝑥+0.3⁢𝑦=2.5 $\begin{array}{l} 0.2 x - 0.1 y = 0 \\ - 0.3 x + 0.3 y = 2.5 \end{array}$

77.

−0.5⁢𝑥+0.1⁢𝑦=0.3−0.25⁢𝑥+0.05⁢𝑦=0.15 $\begin{array}{r} - 0.5 x + 0.1 y = 0.3 \\ - 0.25 x + 0.05 y = 0.15 \end{array}$

78.

𝑥+6⁢𝑦+3⁢𝑧=42⁢𝑥+𝑦+2⁢𝑧=33⁢𝑥−2⁢𝑦+𝑧=0 $\begin{array}{l} x + 6 y + 3 z = 4 \\ 2 x + y + 2 z = 3 \\ 3 x - 2 y + z = 0 \end{array}$

79.

4⁢𝑥−3⁢𝑦+5⁢𝑧=−527⁢𝑥−9⁢𝑦−3⁢𝑧=32𝑥−5⁢𝑦−5⁢𝑧=52 $\begin{array}{r} 4 x - 3 y + 5 z = - \frac{5}{2} \\ 7 x - 9 y - 3 z = \frac{3}{2} \\ x - 5 y - 5 z = \frac{5}{2} \end{array}$

80.

310⁢𝑥−15⁢𝑦−310⁢𝑧=−150110⁢𝑥−110⁢𝑦−12⁢𝑧=−95025⁢𝑥−12⁢𝑦−35⁢𝑧=−15 $\begin{array}{r} \frac{3}{10} x - \frac{1}{5} y - \frac{3}{10} z = - \frac{1}{50} \\ \frac{1}{10} x - \frac{1}{10} y - \frac{1}{2} z = - \frac{9}{50} \\ \frac{2}{5} x - \frac{1}{2} y - \frac{3}{5} z = - \frac{1}{5} \end{array}$