13.1 Mælikvarðar á miðsækni
13.1 Mælikvarðar á miðsækni
Að loknum þessum kafla átt þú að geta:
Meðaltal
Meðalgildi lýsir því hvar miðja gagnasafns liggur. Algengustu miðsæknimælikvarðarnir eru meðaltal, miðgildi og tíðasta gildi. Meðaltal er þeirra mest notað, en síðar í kaflanum verður einnig fjallað um margfeldismeðaltal.
Orðin meðaltal og meðalgildi eru oft notuð sem samheiti í almennu máli. Í strangri tölfræðilegri merkingu er meðaltal tiltekinn reiknaður miðsæknimælikvarði, en meðalgildi er víðara heiti um miðju gagnasafns. Meðaltal samsvarar fyrsta mómenti dreifingar. Utan sérfræðilegrar tölfræði er þó viðtekið að nota meðalgildi um meðaltal.
Meðaltal verðmætis 50 hlutabréfasafna fæst með því að leggja dollaravirði safnanna saman og deila summunni með 50. Almennt er meðaltal talnasafns summa allra gildanna deilt með fjölda þeirra.
Í tölfræðilegri greiningu er greint á milli þýðisgagna og úrtaksgagna. Þýðisgögn ná til allra þeirra niðurstaðna eða mælinga sem rannsóknin beinist að. Úrtaksgögn eru mælingar úr afmörkuðum hluta viðkomandi þýðis.
Tákninu x̄ er ætlað að tákna úrtaksmeðaltal, það er meðaltal sem reiknað er úr úrtaksgögnum. Táknið táknar summu gagnagildanna og fjölda gilda í úrtakinu, það er úrtaksstærðina.
Úrtaksmeðaltal er reiknað með eftirfarandi formúlu:
Fjármálasérfræðingar nota meðalútboðsfjárhæð ríkisvíxla meðal annars við mat á markaðnum. Tafla 13.1 sýnir fjárhæðir í úrtaki bandarískra ríkisvíxlaútboða í desember 2020.
| Líftími | Fjárhæð (milljarðar Bandaríkjadala) |
|---|---|
| 4 vikna ríkisvíxlar | 32,9 |
| 8 vikna ríkisvíxlar | 38,4 |
| 13 vikna ríkisvíxlar | 63,1 |
| 26 vikna ríkisvíxlar | 59,6 |
| 52 vikna ríkisvíxlar | 39,7 |
| Samtals | 233,7 |
Meðalútboðsfjárhæð ríkisvíxlanna, í milljörðum Bandaríkjadala, er reiknuð þannig:
Miðgildi
Miðgildi gagnasafns finnst með því að raða gildunum frá því lægsta til þess hæsta og velja gildið í miðjunni. Í safni með 50 eignasafnsvirðum skiptir miðgildið gögnunum í tvo jafnstóra hópa: 25 gildi liggja neðan þess og 25 ofan. Þegar gagnasafn inniheldur öfgagildi eða útlaga lýsir miðgildið miðjunni yfirleitt betur en meðaltal.
Útlagi, eða öfgagildi, er gildi sem sker sig verulega úr öðrum gildum gagnasafnsins. Miðgildið hentar vel þegar útlagar eru til staðar, því stærð þeirra hefur ekki áhrif á það.
Þegar gögnunum úr töflu 13.1 er raðað frá lægsta gildi til þess hæsta fæst:
Þriðja gildið, 39,7, er í miðju raðaða gagnasafnsins. Miðgildið er því 39,7 milljarðar Bandaríkjadala.
Sæti miðgildisins má finna með stæðunni 𝑛 + 12, þar sem n er fjöldi gilda í úrtakinu. Sé n oddatala er miðgildið gildið í miðjunni eftir röðun. Sé n slétt tala er miðgildið meðaltal miðgildanna tveggja. Í töflu 13.1 eru fimm gildi, svo n = 5. Stæðan 𝑛 + 12, sem er 5 + 12, gefur 3; miðgildið er því þriðja gildið, 39,7.
Eins og fram hefur komið getur útlagi dregið meðaltalið frá raunverulegri miðju gagnasafnsins. Við slíkar aðstæður er miðgildi oft heppilegri miðsæknimælikvarði, eins og næsta dæmi sýnir.
Tíðasta gildi
Tíðasta gildi er sá miðsæknimælikvarði sem sýnir hvaða gildi kemur oftast fyrir. Fleiri en eitt gildi geta verið tíðust ef þau koma jafn oft fyrir og oftar en öll önnur gildi. Gagnasafn með tvö tíðustu gildi er tvítoppa. Gerum ráð fyrir að vikulegt lokaverð hlutabréfs í tæknifyrirtæki hafi verið skráð í Bandaríkjadölum 20 vikur í röð:
Gildið 72 kemur oftast fyrir, alls fimm sinnum, og er því tíðasta gildið. Algengasta lokaverð hlutabréfsins á þessum 20 vikum var þannig 72 Bandaríkjadalir.
Margfeldismeðaltal
Meðaltal, miðgildi og tíðasta gildi lýsa öll miðju gagnasafns, en með ólíkum hætti. Meðaltal fæst með því að leggja gildin saman og skipta summunni jafnt á þau. Það má því túlka sem jafnvægispunkt gagnanna á talnalínu.
Margfeldismeðaltal byggist á margfeldi gildanna en ekki summu þeirra. Það er n-ta rót margfeldis n jákvæðra gilda og varðveitir þannig heildarmargfeldið. Formúlan notar táknið x̃, borið fram „x-tilda“:
Margfeldismeðaltal er sérstaklega gagnlegt í hagfræði og fjármálum þegar breytingar safnast saman yfir tíma, til dæmis við vöxt markaða eða fjárfestinga. Með því má finna eitt árlegt vaxtarhlutfall sem jafngildir röð mismunandi ársávöxtunarhlutfalla.
Á fimm ára tímabili var ársávöxtun innlánsskírteinis (CD) 3,21%, 2,79%, 1,88%, 1,42% og 1,17%. Finna á eitt árlegt vaxtarhlutfall sem jafngildir þessari röð. Fyrst er einum bætt við tugabrotsgildi hvers ávöxtunarhlutfalls. Vaxtarstuðlarnir 1,0321, 1,0279, 1,0188, 1,0142 og 1,0117 eru síðan margfaldaðir og fimmta rótin tekin af margfeldinu:
Margfeldismeðaltalið sýnir að jafngild ársávöxtun tímabilsins er 2,09%.
Vegið meðaltal
Í vegnu meðaltali fær hvert gagnagildi tiltekið vægi. Algengt fjármáladæmi er meðalverð á hlut þegar sama hlutabréf hefur verið keypt á mismunandi tímum, í mismiklu magni og á ólíku verði.
Vegið meðaltal má reikna í töflu. Gagnagildi eru sett í einn dálk og vægi þeirra í annan. Í þriðja dálki er hvert gildi margfaldað með vægi sínu. Summu margfeldanna er síðan deilt með summu væganna.