12.3 Prófun á marktækni fylgnistuðulsins (valfrjálst)

12.3 Prófun á marktækni fylgnistuðulsins (valfrjálst)

• Fylgnistuðullinn, r, segir til um styrk og stefnu línulegs sambands milli x og y. Áreiðanleiki línulega líkansins fer þó einnig eftir því hve margir mældir gagnapunktar eru í úrtakinu. Því þarf að skoða bæði fylgnistuðulinn r og úrtaksstærðina n saman.

• Við framkvæmum tilgátupróf á marktækni fylgnistuðulsins til að ákveða hvort línulega sambandið í úrtaksgögnunum sé nógu sterkt til að nota megi það til að líkana sambandið í þýðinu.

• Úrtaksgögnin eru notuð til að reikna r, fylgnistuðul úrtaksins. Ef við hefðum gögn fyrir allt þýðið gætum við fundið fylgnistuðul þýðisins. Þar sem við höfum aðeins úrtaksgögn getum við ekki reiknað þýðisfylgnistuðulinn beint. Úrtaksfylgnistuðullinn r er mat okkar á óþekkta þýðisfylgnistuðlinum.

• Þýðisfylgnistuðullinn er táknaður með ρ, gríska bókstafnum ró.
• ρ = fylgnistuðull þýðis (óþekktur).
• r = fylgnistuðull úrtaks (þekktur; reiknaður úr úrtaksgögnum).

Tilgátuprófið gerir okkur kleift að ákveða hvort gildi þýðisfylgnistuðulsins ρ sé nálægt núlli eða marktækt frábrugðið núlli. Sú ákvörðun byggist á úrtaksfylgnistuðlinum r og úrtaksstærðinni n.

Ef prófið leiðir til þeirrar niðurstöðu að fylgnistuðullinn sé marktækt frábrugðinn núlli segjum við að fylgnistuðullinn sé marktækur.

• Niðurstaða: Nægileg gögn eru til að álykta að marktækt línulegt samband sé milli x og y, því fylgnistuðullinn er marktækt frábrugðinn núlli.
• Merking niðurstöðunnar: Marktækt línulegt samband er milli x og y. Við getum notað aðhvarfslínuna til að líkana línulega sambandið milli x og y í þýðinu.

Ef prófið leiðir til þeirrar niðurstöðu að fylgnistuðullinn sé ekki marktækt frábrugðinn núlli, það er að hann sé nálægt núlli, segjum við að fylgnistuðullinn sé ekki marktækur.

• Niðurstaða: Ekki eru nægileg gögn til að álykta að marktækt línulegt samband sé milli x og y, því fylgnistuðullinn er ekki marktækt frábrugðinn núlli.
• Merking niðurstöðunnar: Ekki er marktækt línulegt samband milli x og y. Þess vegna getum við ekki notað aðhvarfslínuna til að líkana línulegt samband milli x og y í þýðinu.

Athugasemd

• Ef r er marktækt og punktaritið sýnir línulega leitni má nota línuna til að spá fyrir um gildi y fyrir x-gildi sem eru innan bils mældu x-gildanna.
• Ef r er ekki marktækt, eða ef punktaritið sýnir ekki línulega leitni, ætti ekki að nota línuna til spágerðar.
• Ef r er marktækt og punktaritið sýnir línulega leitni getur línan samt verið óviðeigandi eða óáreiðanleg til spágerðar utan þess bils mældra x-gilda sem kemur fyrir í gögnunum.

Framkvæmd tilgátuprófsins

Tilgáturnar eru:

Merking tilgátanna í orðum:

• Núlltilgátan H₀: Þýðisfylgnistuðullinn er ekki marktækt frábrugðinn núlli. Ekki er marktækt línulegt samband, eða fylgni, milli x og y í þýðinu.
• Gagntilgátan Hₐ: Þýðisfylgnistuðullinn er marktækt frábrugðinn núlli. Marktækt línulegt samband, eða fylgni, er milli x og y í þýðinu.

Til að draga ályktun má nota tvær aðferðir. Þær eru jafngildar og gefa sömu niðurstöðu.

• Aðferð 1: Notaðu p-gildið.
• Aðferð 2: Notaðu töflu yfir markgildi.

Í þessum kafla notum við alltaf 5 prósent marktektarstig:

Athugasemd

Með p-gildisaðferðinni má velja hvaða viðeigandi marktektarstig sem er; það þarf ekki að einskorða sig við α = 0,05. Taflan yfir markgildi sem fylgir þessari bók gerir hins vegar ráð fyrir 5 prósent marktektarstigi, α = 0,05. Ef nota ætti annað marktektarstig með markgildisaðferðinni þyrfti aðrar töflur yfir markgildi, sem eru ekki gefnar í bókinni.

Aðferð 1: p-gildi notað til að taka ákvörðun

TI-83, 83+, 84 og 84+ reiknivél

Til að reikna p-gildið með LinRegTTest:

1. Farðu í gegnum sömu skref og í LinRegTTest fyrr í kaflanum og gakktu úr skugga um að á línunni fyrir β eða ρ sé ≠ 0 valið.
2. Á úttaksskjánum stendur p-gildið á línunni sem er merkt p =.

Ef p-gildið er minna en marktektarstigið α = 0,05:

• Ákvörðun: Hafna núlltilgátunni.
• Ályktun: Nægileg gögn eru til að álykta að marktækt línulegt samband sé milli x og y, því fylgnistuðullinn er marktækt frábrugðinn núlli.

Ef p-gildið er ekki minna en marktektarstigið α = 0,05:

• Ákvörðun: Ekki hafna núlltilgátunni.
• Ályktun: Ekki eru nægileg gögn til að álykta að marktækt línulegt samband sé milli x og y, því fylgnistuðullinn er ekki marktækt frábrugðinn núlli.

Þú notar tækni til að reikna p-gildið, en gagnlegt er að vita að p-gildið er reiknað með t-dreifingu með n − 2 frígráðum og að p-gildið er samanlagt flatarmál í báðum hölum.

Önnur leið til að reikna p-gildið (p) sem LinRegTTest gefur er skipunin 2*tcdf(abs(t),10^99,n−2) í 2nd DISTR.

Dæmi: Þriðja próf og lokapróf, p-gildisaðferð

• Skoðum dæmið með þriðja próf og lokapróf.
• Besta línan er gefin hér að neðan, með r = 0,6631, og gagnapunktarnir eru n = 11.
• Er hægt að nota aðhvarfslínuna til spágerðar? Ef einkunn á þriðja prófi er þekkt, x-gildi, getum við þá notað línuna til að spá fyrir um lokaprófseinkunn, spáð y-gildi?

• p-gildið er 0,026, fengið úr LinRegTTest á reiknivél eða úr tölvuhugbúnaði.
• p-gildið, 0,026, er minna en marktektarstigið α = 0,05.

• Ákvörðun: Hafna núlltilgátunni H₀.
• Ályktun: Nægileg gögn eru til að álykta að marktækt línulegt samband sé milli einkunnar á þriðja prófi (x) og lokaprófseinkunnar (y), því fylgnistuðullinn er marktækt frábrugðinn núlli.

Þar sem r er marktækt og punktaritið sýnir línulega leitni má nota aðhvarfslínuna til að spá fyrir um lokaprófseinkunnir.

Aðferð 2: Tafla yfir markgildi notuð til að taka ákvörðun

Tafla 12.9, Tafla yfir 95 prósent markgildi úrtaksfylgnistuðulsins, gefur góða vísbendingu um hvort reiknað gildi r sé marktækt. Notaðu frígráðurnar til að finna markgildin.

Taflan hefur þegar verið reiknuð fyrir α = 0,05. Hún gefur jákvæða markgildið, en einnig þarf að taka samsvarandi neikvætt gildi svo markgildin verði tvö. Ef r liggur ekki á milli jákvæða og neikvæða markgildisins er fylgnistuðullinn marktækur. Ef r er marktækt má nota línuna til spágerðar. Ef r er ekki marktækt, það er liggur á milli markgildanna, ætti ekki að nota línuna til að spá.

Dæmi 12.6

Gerum ráð fyrir að þú hafir reiknað r = 0,801 með n = 10 gagnapunktum. Frígráðurnar eru 8:

$$\mathrm{df}=n-2=10-2=8$$

Með töflu 12.9 og df = 8 fæst markgildið 0,632. Markgildin eru því í raun ±0,632. Þar sem r = 0,801 og 0,801 > 0,632 er r marktækt og nota má línuna til spágerðar. Ef dæmið er skoðað á talnalínu sést vel að r er ekki á milli markgildanna tveggja.

$$r=\mathrm{0,801}>\mathrm{0,632}$$

Reyndu sjálf(ur) 12.6

Fyrir tiltekna bestu línu reiknaðir þú r = 0,6501 með n = 12 gagnapunktum og markgildið úr töflunni er 0,576. Má nota línuna til spágerðar? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?

Dæmi 12.7

Gerum ráð fyrir að þú hafir reiknað r = −0,624 með 14 gagnapunktum. Þá eru frígráðurnar:

$$\mathrm{df}=14-2=12$$

Markgildin eru −0,532 og 0,532. Þar sem −0,624 < −0,532 er r marktækt og nota má línuna til spágerðar.

$$r=-\mathrm{0,624}<-\mathrm{0,532}$$

Reyndu sjálf(ur) 12.7

Fyrir tiltekna bestu línu reiknar þú r = 0,5204 með n = 9 gagnapunktum og markgildin eru ±0,666. Má nota línuna til spágerðar? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?

Dæmi 12.8

Gerum ráð fyrir að þú hafir reiknað r = 0,776 og n = 6. Þá eru frígráðurnar:

$$\mathrm{df}=6-2=4$$

Markgildin eru −0,811 og 0,811. Þar sem 0,776 er á milli markgildanna tveggja er r ekki marktækt. Ekki ætti að nota línuna til spágerðar.

$$-\mathrm{0,811}<r=\mathrm{0,776}<\mathrm{0,811}$$

Reyndu sjálf(ur) 12.8

Fyrir tiltekna bestu línu reiknar þú r = −0,7204 með n = 8 gagnapunktum og markgildið er 0,707. Má nota línuna til spágerðar? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?

Dæmi: Þriðja próf og lokapróf, markgildisaðferð

Skoðum aftur dæmið með þriðja próf og lokapróf. Besta línan er:

Hér er r = 0,6631 og gagnapunktarnir eru n = 11. Er hægt að nota aðhvarfslínuna til spágerðar? Ef einkunn á þriðja prófi er þekkt, x-gildi, getum við þá notað línuna til að spá fyrir um lokaprófseinkunn, spáð y-gildi?

• H₀: ρ = 0
• Hₐ: ρ ≠ 0
• α = 0,05
• Notaðu töfluna yfir 95 prósent markgildi fyrir r með frígráðum df = n − 2 = 11 − 2 = 9.

Með df = 9 gefur taflan markgildið 0,602. Markgildin eru því ±0,602. Þar sem 0,6631 > 0,602 er r marktækt.

• Ákvörðun: Hafna núlltilgátunni.
• Ályktun: Nægileg gögn eru til að álykta að marktækt línulegt samband sé milli einkunnar á þriðja prófi (x) og lokaprófseinkunnar (y), því fylgnistuðullinn er marktækt frábrugðinn núlli.

Þar sem r er marktækt og punktaritið sýnir línulega leitni má nota aðhvarfslínuna til að spá fyrir um lokaprófseinkunnir.

Reyndu sjálf(ur) 12.9

Fyrir tiltekna bestu línu reiknar þú r = 0 með n = 100 gagnapunktum. Má nota línuna til spágerðar? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?

Forsendur við prófun á marktækni fylgnistuðulsins

Prófun á marktækni fylgnistuðulsins krefst þess að tilteknar forsendur um gögnin séu uppfylltar. Grundvöllur prófsins er að gögnin séu úrtak mældra punkta úr stærra þýði. Við höfum ekki skoðað allt þýðið, því það er ekki mögulegt eða framkvæmanlegt. Við skoðum úrtakið til að draga ályktun um hvort línulega sambandið sem við sjáum milli x og y í úrtaksgögnunum gefi nógu sterkar vísbendingar til að álykta að línulegt samband sé milli x og y í þýðinu.

Aðhvarfsjafnan sem við reiknum úr úrtaksgögnunum gefur bestu línu fyrir þetta tiltekna úrtak. Við viljum nota bestu línu úrtaksins sem mat á bestu línu þýðisins. Með því að skoða punktaritið og prófa marktækni fylgnistuðulsins getum við metið hvort það sé viðeigandi.

Forsendur marktektarprófsins eru eftirfarandi:

• Í þýðinu er línulegt samband sem líkanar úrtaksgögnin. Aðhvarfslínan úr úrtakinu er besta mat okkar á þessari línu í þýðinu.
• y-gildin fyrir hvert tiltekið x-gildi eru normaldreifð um línuna. Þetta þýðir að fleiri y-gildi dreifast nálægt línunni en fjær henni. Forsenda 1 felur í sér að þessar normaldreifingar séu miðjaðar á línunni; meðaltöl normaldreifinga y-gildanna liggja á línunni.
• Normaldreifingar allra y-gildanna hafa sömu lögun og sömu dreifingu um línuna.
• Leifaskekkjurnar eru innbyrðis óháðar; ekkert mynstur er í þeim.
• Gögnin koma úr vel hönnuðu slembiúrtaki eða slembiraðaðri tilraun.