33.4 Fylgnistuðullinn

3.4.4 Pörun fylgnistuðla

3.4.4 Að para saman fylgnistuðla

Hugsaðu til síðasta verkefnis. Þar lærðir þú um $r$ -gildið. Skrifaðu niður þessi einkenni $r$ -gildisins.

$r$ -gildið kallast fylgnistuðull. Fylgnistuðull er ein leið til að mæla styrk línulegs sambands.

Formerki $r$ er það sama og formerki hallatölu línunnar sem fellur best að gögnunum.

r = −1

r = 1

Gildi $r$ eru frá −1 til 1, að báðum mörkum meðtöldum. Því nær sem $r$ er 1 eða −1, þeim mun sterkara er línulega sambandið milli breytanna. Því nær sem r er 0, þeim mun veikara er línulega sambandið.

Verkefni

Skiptist á við félaga ykkar að para dreifirit við fylgnistuðul. Fyrir hverja pörun sem þú finnur skaltu útskýra fyrir félaga þínum hvernig þú veist að pörunin passar. Þegar félagi þinn finnur pörun skaltu hlusta vandlega á skýringuna. Ef þið eruð ósammála, ræðið hugsun ykkar og reynið að komast að samkomulagi.

Dreifirit A með svörtum punktum sem mynda beina línulega leitni. Blá lína fer í gegnum punktana og sýnir jákvætt línulegt samband milli x og y.

Dreifirit B með svörtum punktum sem stefna upp á við og blárri línu sem fellur best að gögnunum. x-ásinn nær frá 0 til 90 og y-ásinn frá 0 til 500.

Dreifirit C með svörtum punktum sem sýna neikvæða fylgni milli x- og y-gilda. Blá leitnilína hallar niður frá vinstri til hægri.

Dreifirit D með svörtum punktum og blárri leitnilínu sem hallar niður frá vinstri til hægri og sýnir neikvæða fylgni.

Dreifirit E með svörtum punktum, blárri leitnilínu og jákvæðri fylgni. x- og y-ásar eru merktir og ná frá 0 til 10.

Dreifirit F með svörtum punktum og blárri línu sem sýnir fullkomið neikvætt línulegt samband. Þegar x hækkar lækkar y.

Dreifirit G með svörtum punktum og ljósblárri línu sem fellur best að gögnunum. Leitnilínan hefur örlítið neikvæða hallatölu.

Dreifirit H með svörtum punktum og blárri leitnilínu sem hallar upp á við og sýnir jákvæða fylgni milli x- og y-gilda.

$r = −1$

[Sýna/fela lausn]

Dreifirit F

$r = −0,95$

[Sýna/fela lausn]

Dreifirit C

$r = −0,74$

[Sýna/fela lausn]

Dreifirit D

$r = −0,06$

[Sýna/fela lausn]

Dreifirit G

$r = 0,48$

[Sýna/fela lausn]

Dreifirit H

$r = 0,65$

[Sýna/fela lausn]

Dreifirit E

$r = 0,9$

[Sýna/fela lausn]

Dreifirit B

$r = 1$

[Sýna/fela lausn]

Dreifirit A

Dýpkun

Jada vill vita hvort gönguhraði fólks tengist hraðanum sem það skrifar textaskilaboð. Til að rannsaka þetta mældi hún vegalengdina, í fetum, sem 5 vinir hennar gengu á 30 sekúndum og fjölda stafa sem þeir skrifuðu á þeim tíma. Hver vinur fór í 4 gönguferðir, samtals 20 gönguferðir. Hér eru niðurstöður fyrstu 20 gönguferðanna.

Dreifirit sem sýnir neikvæða fylgni milli vegalengdar í fetum og fjölda stafa sem voru skrifaðir í skilaboðum. Þegar vegalengd eykst frá 80 til 180 fetum fækkar stöfunum yfirleitt.

Vegalengd (fet)	Fjöldi skrifaðra stafa	Vegalengd (fet)	Fjöldi skrifaðra stafa
105	14	95	138
125	110	125	110
115	120	160	80
140	98	175	64
145	102	130	106
160	89	140	95
170	72	150	95
140	100	155	90
130	107	160	74
105	113	135	108

Næstu daga æfðu sömu 5 vinirnir sig í að ganga og skrifa textaskilaboð til að sjá hvort þeir gætu gengið hraðar og skrifað fleiri stafi. Þeir skráðu ekki fleiri gögn á meðan þeir æfðu sig. Eftir æfingarnar fór hver vinur aftur í 4 gönguferðir. Hér eru niðurstöður síðustu 20 gönguferðanna.

Dreifirit sem sýnir fjölda skrifaðra stafa á y-ásnum og vegalengd í fetum á x-ásnum. Punktarnir sýna lækkandi leitni þegar vegalengd eykst frá 120 til 240 fetum.

Vegalengd (fet)	Fjöldi skrifaðra stafa	Vegalengd (fet)	Fjöldi skrifaðra stafa
140	410	165	151
150	155	170	136
160	151	190	143
155	170	205	132
180	125	205	128
205	130	210	140
225	95	215	109
175	161	220	105
195	108	230	126
155	142	225	138

Hvað tekur þú eftir við dreifiritin tvö?

[Sýna/fela lausn]

Berðu svar þitt saman: Svör geta verið ólík. Dæmi: Í seinna dreifiritinu fóru nemendurnir lengri vegalengdir. Þar að auki virðast nemendurnir hafa skrifað fleiri stafi fyrir tiltekna vegalengd í seinna dreifiritinu en í því fyrra.

Jada tók eftir því að vinir hennar gengu lengra og skrifuðu hraðar í síðustu 20 gönguferðunum en í fyrstu 20 gönguferðunum. Þar sem hvort tveggja varð hraðara spáir hún því að fylgnistuðull línunnar sem fellur best að síðustu 20 gönguferðunum verði nær −1 en fylgnistuðull fyrstu 20 gönguferðanna. Ertu sammála? Útskýrðu.

[Sýna/fela lausn]

Berðu svar þitt saman: Svör geta verið ólík. Dæmi: Ég er ekki sammála Jada. Fylgnistuðullinn fjallar um styrk og stefnu línulegs sambands. Samanburðurinn á gönguvegalengd og fjölda skrifaðra stafa tengist hallatölu línunnar, því hann ber saman hraða, það er fjölda stafa á fet.

Notaðu tæknibúnað til að finna jöfnu línunnar sem fellur best að hvoru gagnasafni.

[Sýna/fela lausn]

Berðu svar þitt saman: Svör geta verið ólík. Dæmi:

$y = −0,8547x + 218,6053$

$y = −0,4658x + 222,1704$

Var svar þitt við spurningu 2 rétt? Hvers vegna heldur þú að fylgnistuðlarnir fyrir gagnasöfnin tvö séu svona ólíkir? Undirbúðu rökstuðning fyrir svarinu.

[Sýna/fela lausn]

Fylgnistuðull fyrri línunnar sem fellur best að gögnunum er $r = −0,95$ .

Fylgnistuðull seinni línunnar sem fellur best að gögnunum er $r = −0,68$ .

Berðu svar þitt saman: Svör geta verið ólík. Dæmi: Fylgnistuðlarnir eru ólíkir vegna þess að gögnin í seinna dreifiritinu eru dreifðari en gögnin í fyrra dreifiritinu. Að meðaltali eru gögnin í fyrra dreifiritinu miklu nær línunni sem fellur best að gögnunum en gögnin í seinna dreifiritinu.

Sjálfspróf

Hvaða fylgnistuðull passar best við dreifiritið hér að neðan?

Dreifirit sem sýnir veika neikvæða fylgni.

$r = −0,39$
$r = 0,26$
$r = −0,89$
$r = 0,95$

Ítarefni

Reyndu að para hvert dreifirit við einn af eftirfarandi fylgnistuðlum:

r = −0,02

r = 0,84

r = −0,72

r = 0,65

Fjögur dreifirit merkt A, B, C og D, hvert með ólíkri dreifingu gagnapunkta á hnitakerfi frá 0 til 9 á báðum ásum.

Dreifirit	Fylgnistuðull
Dreifirit A	r = −0,72
Dreifirit B	r = 0,84
Dreifirit C	r = −0,02
Dreifirit D	r = 0,65

Fylgnistuðull

Dreifiritið hér að neðan sýnir gögn um fjölda galla á hverja 100 bíla og mælikvarða á ánægju viðskiptavina. Kvarðinn er frá 1 til 1.000 og hærri stig merkja meiri ánægju. Gögnin eru fyrir 33 bílategundir sem seldar voru í Bandaríkjunum árið 2009.

Dreifirit sem sýnir samband milli fjölda galla á hverja 100 bíla og ánægjustigs viðskiptavina. Punktarnir eru dreifðir um hnitakerfið.

Hvert af eftirfarandi gildum er fylgnistuðullinn fyrir þetta gagnasafn? Útskýrðu hvers vegna þú valdir gildið.

$r = −0,95$
$r = −0,24$
$r = 0,83$
$r = 1,00$

[Sýna/fela lausn]

Rétt svar er: $r = −0,24$

Dreifiritið sýnir ekki sterkt mynstur línulegs sambands. Sambandið er veikt, en almenna mynstrið er að þegar göllum fjölgar hefur ánægjustigið tilhneigingu til að lækka. Þess vegna er r neikvætt og nálægt núlli. Af gefnu gildunum er besta matið:

$r = −0,24$

r = 0,83

r = 1,00

Rétt svar er:

r = −0,24

r = −0,24

Vegalengd (fet)	Fjöldi skrifaðra stafa	Vegalengd (fet)	Fjöldi skrifaðra stafa
105	14	95	138
125	110	125	110
115	120	160	80
140	98	175	64
145	102	130	106
160	89	140	95
170	72	150	95
140	100	155	90
130	107	160	74
105	113	135	108

Vegalengd (fet)	Fjöldi skrifaðra stafa	Vegalengd (fet)	Fjöldi skrifaðra stafa
140	410	165	151
150	155	170	136
160	151	190	143
155	170	205	132
180	125	205	128
205	130	210	140
225	95	215	109
175	161	220	105
195	108	230	126
155	142	225	138

Vegalengd (fet)	Fjöldi skrifaðra stafa	Vegalengd (fet)	Fjöldi skrifaðra stafa
105	14	95	138
125	110	125	110
115	120	160	80
140	98	175	64
145	102	130	106
160	89	140	95
170	72	150	95
140	100	155	90
130	107	160	74
105	113	135	108

Vegalengd (fet)	Fjöldi skrifaðra stafa	Vegalengd (fet)	Fjöldi skrifaðra stafa
140	410	165	151
150	155	170	136
160	151	190	143
155	170	205	132
180	125	205	128
205	130	210	140
225	95	215	109
175	161	220	105
195	108	230	126
155	142	225	138

Vegalengd (fet)	Fjöldi skrifaðra stafa	Vegalengd (fet)	Fjöldi skrifaðra stafa
105	14	95	138
125	110	125	110
115	120	160	80
140	98	175	64
145	102	130	106
160	89	140	95
170	72	150	95
140	100	155	90
130	107	160	74
105	113	135	108

Vegalengd (fet)	Fjöldi skrifaðra stafa	Vegalengd (fet)	Fjöldi skrifaðra stafa
140	410	165	151
150	155	170	136
160	151	190	143
155	170	205	132
180	125	205	128
205	130	210	140
225	95	215	109
175	161	220	105
195	108	230	126
155	142	225	138