55.4 Framsetning á veldisvexti

5.4.2 Núllveldisreglan

5.4.2 • Núllveldisreglan

Verkefni

1. Fylltu út töfluna með því að skrá gildin fyrir a, b og c fyrir neðan töfluna. Nýttu þér mynstur sem þú tekur eftir.

$x$	4	3	2	1	0
gildi $3^{x}$	81	27	a. _____	b. _____	c. _____

a. ________

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

b. ________

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

c. ________

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

2. Hér eru nokkrar jöfnur. Finndu lausn hverrar jöfnu með því að nota það sem þú veist um veldisreglur. Útskýrðu rökstuðninginn.

a. $9^{x} \cdot 9^{7} = 9^{7}$

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

b. $\frac{9^{12}}{9^{x}} = 9^{12}$

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

3. Svaraðu eftirfarandi spurningum.

a. Hvert er gildi stæðunnar $5^{0}$ ?

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

1. 1. Fyrir jákvæðar heiltölur gildir margfeldisreglan fyrir veldi: $5^{a} \cdot 5^{b} = 5^{a + b}$ Til þess að reglan gildi áfram þegar veldisvísirinn er 0 þarf eftirfarandi að vera satt: $5^{0} \cdot 5^{4} = 5^{4}$ $1 \cdot 5^{4} = 5^{4}$

b. Hvað með $2^{0}$ ?

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

1. 1. Sama röksemd gildir fyrir veldisstofninn 2: $2^{a} \cdot 2^{b} = 2^{a + b}$ $2^{0} \cdot 2^{4} = 2^{4}$ $1 \cdot 2^{4} = 2^{4}$

Tilbúin í meira?

Við vitum til dæmis að svigar breyta ekki gildi stæðunnar í þessum dæmum:

$(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)$ $2 \cdot (3 \cdot 5) = (2 \cdot 3) \cdot 5$

Gildir þetta líka um veldi? Eru þessar tvær tölur jafnar? Ef ekki, hvor er stærri? $2^{3^{5}}$ ${2^{3}}^{5}$

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Tölurnar tvær eru alls ekki nálægt hvor annarri. Þar sem: $3^{5} = 243$ er fyrri talan: $2^{243}$ Hins vegar má einfalda seinni töluna svona: ${2^{3}}^{5} = 2^{3} \cdot 2^{3} \cdot 2^{3} \cdot 2^{3} \cdot 2^{3} = 2^{15}$ Fyrri talan er miklu stærri en sú seinni.

Hvora merkinguna myndir þú velja fyrir stæðuna hér að neðan þegar hún er rituð án sviga? $2^{3^{5}}$

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Venjulega skilgreinum við endurtekin veldi með því að vinna okkur niður turninn. Ein ástæða er að ef unnið er upp turninn, eins og í dæminu hér að ofan, má þegar einfalda með veldisreglum.

Viðbótarefni

Núll sem veldisvísir

Hvers vegna eru þessar stæður jafnar 1, en næstu tvær stæður hafa ekki sama gildi? $2^{0} = 1$ $5^{0} = 1$ $2^{3}$ $5^{3}$

Að svara þessari spurningu hjálpar okkur að skilja núllveldisregluna.

Veldi tákna almennt endurtekna margföldun, líkt og margföldun táknar endurtekna samlagningu. Notum það til að reikna þessi gildi: $2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8$ $5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$

8 og 125 eru augljóslega mjög ólíkar tölur, en aðferðin við að finna svörin var sú sama. Ef við setjum þetta í töflu getum við unnið afturábak til að sjá hvers vegna stæður með veldisvísinn 0 fá gildið 1.

Með því að nota fallið hér að neðan og fylla inn þau gildi sem við þekkjum fæst tafla 1: $y = 2^{x}$

$x$	0	1	2	3
$y$		2	4	8

Með því að endurtaka ferlið fyrir næsta fall fæst tafla 2: $y = 5^{x}$

$x$	0	1	2	3
$y$		5	25	125

Þar sem veldi tákna endurtekna margföldun finnast næstu gildi með því að margfalda aftur með veldisstofninum. Ef unnið er afturábak er deilt með sama fasta kvóta.

$x$	0	1	2	3
$y$	$2 \div 2 = 1$	$4 \div 2 = 2$	$8 \div 2 = 4$	8

Endurtökum ferlið fyrir töflu 2:

$x$	0	1	2	3
$y$	$5 \div 5 = 1$	$25 \div 5 = 5$	$125 \div 5 = 25$	125

Þegar þú hefur unnið afturábak í báðum töflum sérðu að stæður með veldisvísinn 0 fá gildið 1. Þegar veldisvísirinn er 1 er svarið það sama og veldisstofninn, þannig að þegar deilt er með sama fasta kvóta fæst 1. Þetta er mikilvæg regla sem getur sparað mikinn tíma.