55.4 Framsetning á veldisvexti

5.4.4 Að teikna gröf veldisstæðna

5.4.4 • Að teikna gröf veldisstæðna

Verkefni

Skoðaðu Desmos-leiðbeiningarnar ef þú þarft ábendingar um grafreiknivélina.

Í veldisfalli er úttakið margfaldað með sama þætti í hvert sinn sem inntakið eykst um einn. Þessi margfaldari kallast vaxtarstuðull.

Notaðu grafteikniverkfæri utan námskeiðsins. Byggðu á vinnunni úr verkefni 5.4.3, þar sem jöfnurnar voru:

n = 500 \cdot 2^{t}

p = 100 \cdot 3^{t}

Notaðu jöfnuna fyrir n til að svara spurningum 1-7.

n = 500 \cdot 2^{t}

1. Hvert er formengið?

Lausn

Svar: Graf fallsins sýnir að allar rauntölur t eru leyfileg inntaksgildi fyrir óskorðaða fallið. Á biltákni er formengið:

(-∞, +∞)

Sem ójafna má rita:

−∞ < t < +∞

2. Hvert er myndmengið?

Lausn

Svar: Graf fallsins sýnir að öll jákvæð n-gildi koma fyrir í myndmenginu. Á biltákni er myndmengið:

(0, +∞)

Sem ójafna má rita:

0 < n < +∞

3. Aðstæðurnar takmarka formengi og myndmengi miðað við grafið fyrir óskorðaða fallið. Ritaðu skynsamlegt formengi og myndmengi fyrir aðstæðurnar með ójöfnum.

Lausn

Svar: Formengið er tími frá upphafi mælingar og áfram:

0 \leq t < +∞

Myndmengið byrjar í 500, því tilraunin hefst með 500 bakteríum:

500 \leq n < +∞

4. Teiknaðu punktana (t; n) þegar t er 0, 1, 2, 3 og 4.

Lausn

Strjált graf fyrir bakteríufjölda með punktum fyrir t = 0, 1, 2, 3 og 4.

5. Hvar á grafinu fyrir n sérðu tölurnar sem koma fyrir í jöfnunni?

Lausn

Svar: 500 sést sem skurðpunktur við y-ás, það er gildi n þegar t er 0. Talan 2 er vaxtarstuðullinn: n-gildið tvöfaldast í hvert sinn sem t eykst um 1.

6. Teiknaðu punktana (t; p) þegar t er 0, 1, 2, 3 og 4. Ef þú festist geturðu búið til töflu.

Lausn

Strjált graf fyrir fjölda sníkjudýra með punktum fyrir t = 0, 1, 2, 3 og 4.

7. Hvar á grafinu fyrir p sérðu tölurnar sem koma fyrir í jöfnunni?

Lausn

Svar: 100 sést sem skurðpunktur við y-ás, það er gildi p þegar t er 0. Talan 3 er vaxtarstuðullinn: p-gildið þrefaldast í hvert sinn sem t eykst um 1.

Video: Graphing Exponential Functions

Viðbótarefni

Að teikna gröf veldisfalla

Teiknaðu graf fallsins:

y = 4^{x}

Þegar graf falls er teiknað hjálpar oft að byrja á gildistöflu. Taflan ætti að innihalda að minnsta kosti þrjú til fimm gildi. Eftirfarandi upplýsingar eiga við um flest veldisföll af gerðinni:

f (x) = a^{x}, a > 1

eiginleiki	gildi
formengi	$(-∞, +∞)$
myndmengi	$(0, +∞)$
skurðpunktur við x-ás	enginn
skurðpunktur við y-ás	$(0; 1)$
lárétt aðfella	$y = 0$
punktar sem grafið inniheldur	$(1; a) o g (- 1; 1 / a)$

Graf sem sýnir punkta við (-1; 1/a), (0; 1) og (1; a).

Þessar upplýsingar má nota til að teikna grafið og tengja punktana með mjúkum ferli.

Þegar gildistafla liggur fyrir merkirðu punktana í hnitakerfi. Veldisföll mynda yfirleitt mjúkan feril. Sumir punktar geta lent utan sýnilega gluggans, en þeir hjálpa samt til við að sjá hvernig grafið heldur áfram.

y = 4^{x}

x	y	$(x; y)$
0	$4^{0} = 1$	$(0; 1)$
1	$4^{1} = 4$	$(1; 4)$
2	$4^{2} = 16$	$(2; 16)$
3	$4^{3} = 64$	$(3; 64)$
4	$4^{4} = 256$	$(4; 256)$
5	$4^{5} = 1.024$	$(5; 1.024)$

Graf með punktum við (0; 1), (1; 4), (2; 16) og (3; 64).

Graf veldisfallsins y = 4ˣ með vaxandi ferli.

Aðfella er lína eða ferill sem fall nálgast án þess að skera eða snerta. Aðfellur hjálpa til við að lýsa hegðun falls og mörkum þess.

Fyrir veldisfallið hér skoðum við hegðun fallsins þegar x stefnir á plús eða mínus óendanleika.

y = 4^{x}

Þegar x stefnir á plús óendanleika stækka gildi fallsins án takmarka.

Þegar x stefnir á mínus óendanleika verða gildin mjög lítil en ná aldrei núlli.

Þess vegna hefur grafið lárétta aðfellu við x-ásinn:

y = 0

Reyndu þetta

Að teikna gröf veldisfalla

Teiknaðu graf fallsins:

f (x) = 3^{x}

Lausn

Svona má búa til grafið fyrir:

y = 3^{x}

x	y	$(x; y)$
0	$3^{0} = 1$	$(0; 1)$
1	$3^{1} = 3$	$(1; 3)$
2	$3^{2} = 9$	$(2; 9)$
3	$3^{3} = 27$	$(3; 27)$
4	$3^{4} = 81$	$(4; 81)$
5	$3^{5} = 243$	$(5; 243)$

Graf með punktum við (0; 1), (1; 3), (2; 9), (3; 27) og (4; 81).

Graf veldisfalls með skurðpunkt við y-ás í 1 og punktum við (1; 3), (2; 9), (3; 27) og (4; 81).