55.4 Framsetning á veldisvexti

5.4.3 Veldisbreyting: vaxtarstuðullinn

5.4.3 • Veldisbreyting: vaxtarstuðullinn

Verkefni

Í veldisfalli er úttakið margfaldað með sama þætti í hvert sinn sem inntakið eykst um einn. Þessi margfaldari kallast vaxtarstuðull.

1. Á líffræðirannsóknarstofu eru 500 bakteríur sem fjölga sér með skiptingu. Á hverri klukkustund skiptir hver baktería sér í tvær bakteríur. Fylltu út töfluna með stæðu sem sýnir fjölda baktería eftir hverja klukkustund.

klukkustund	fjöldi baktería
0	500
1	a. _____
2	b. _____
3	c. _____
6	d. _____
$t$	e. _____

a. _____

Lausn

500 \cdot 2

b. _____

Lausn

500 \cdot 2 \cdot 2

c. _____

Lausn

500 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Svarið má einnig rita:

500 \cdot 2^{3}

d. _____

Lausn

500 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Svarið má einnig rita:

500 \cdot 2^{6}

e. _____

Lausn

500 \cdot 2^{t}

2. Hvaða jafna tengir n, fjölda baktería, við t, fjölda klukkustunda?

$n = 500 + 2 t$
$n = 500 + 2^{t}$
$n = 500 \cdot 2^{t}$
$n = 500 \cdot 2 \cdot t$

Lausn

Svar: C.

n = 500 \cdot 2^{t}

3. Notaðu jöfnuna til að finna n þegar t er 0. Hvað þýðir þetta gildi n í þessum aðstæðum?

Lausn

Svar: 500. Þegar t er 0 fæst:

n = 500 \cdot 2^{0}

2^{0} = 1

n = 500 \cdot 1 = 500

Talan 500 er fjöldi baktería í upphafi, það er við klukkustund 0.

4. Á annarri líffræðirannsóknarstofu fjölgar stofni einfruma sníkjudýra einnig á klukkustundarfresti. Jafna sem gefur fjölda sníkjudýra, p, eftir t klukkustundir er: $p = 100 \cdot 3^{t}$ Útskýrðu hvað tölurnar 100 og 3 merkja í þessum aðstæðum.

Lausn

Svar: 100 er fjöldi sníkjudýra við klukkustund 0, því:

100 \cdot 3^{0} = 100

Talan 3 er vaxtarstuðullinn; hún þýðir að fjöldi sníkjudýra þrefaldast á hverri klukkustund.

Viðbótarefni

Að finna fasta kvótann í veldisfalli

Hver er fasti kvótinn, einnig kallaður vaxtarstuðull, í veldisfallinu sem taflan sýnir? Ritaðu hvern lið þannig að upphafsgildið og endurtekin notkun fasta kvótans komi fram.

$x$	0	1	2	3	4
$f (x)$	4	12	36	108	324

Upphafsgildið er 4. Hvert gildi í töflunni er 3 sinnum gildið á undan, svo fasti kvótinn og vaxtarstuðullinn er 3.

Skilgreining á veldisvexti

Úttak veldisfalla getur aukist mjög hratt. Þess vegna er orðið veldisvöxtur oft notað í daglegu tali um eitthvað sem vex hratt. Í stærðfræði er merkingin nákvæmari: fall lýsir veldisvexti þegar breytingarhraðinn er í hlutfalli við það magn sem er til staðar.

Í næstu töflu er upphafsgildið 4, því það er gildi fallsins þegar x er 0.

Fasti kvótinn b er 3, því hvert gildi í töflunni er 3 sinnum gildið á undan.

f (x) = 4 \cdot 3^{x}

$x$	0	1	2	3	4
$f (x)$	4	4 · $3^{1}$	4 · $3^{2}$	4 · $3^{3}$	4 · $3^{4}$