55.5 Framsetning á veldishrörnun

5.5.2 Vísishnignun

5.5.2 • Vísishnignun

Verkefni

Á hverju ári eftir að nýr bíll er keyptur tapar hann þriðjungi af virði sínu. Önnur leið til að hugsa um þetta er að bíllinn heldur tveimur þriðju af virði sínu á hverju ári. Segjum að nýr bíll kosti $18.000.

$\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$

1. Kaupandi hefur áhyggjur af því að bíllinn verði verðlaus eftir þrjú ár. Ertu sammála? Vertu tilbúin(n) að sýna rökstuðning þinn.

Lausn

Svör geta verið mismunandi, en hér er dæmi:

Ekki sammála. Ef bíllinn tapar þriðjungi af virði sínu á hverju ári, þá er virðið eftir eitt ár tveir þriðju af $18.000, eða $12.000. Eftir tvö ár er virðið tveir þriðju af $12.000, eða $8.000. Eftir þrjú ár er virðið tveir þriðju af $8.000, eða um $5.333. Kaupandinn gæti hafa haldið að „að tapa þriðjungi af virði sínu á hverju ári“ þýddi að tapa $6.000 á ári, svo bíllinn yrði verðlaus eftir 3 ár, því $3 \cdot 6.000 = 18.000$ . Hann áttar sig kannski ekki á því að eftir eitt ár er virði bílsins ekki lengur $18.000.

2. Ritaðu stæðu sem sýnir hvernig finna má virði bílsins fyrir hvert ár í töflunni.

Ár	Virði bíls (dollarar)
0	$18.000
1
2
3
6
$t$

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Ár	Virði bíls (dollarar)
0	$18.000
1	$18.000 \cdot$ $\frac{2}{3}$
2	$18.000 \cdot$ $\frac{2}{3}$ $\cdot$ $\frac{2}{3}$ eða $18.000 \cdot$ ${(\frac{2}{3})}^{2}$
3	$18.000 \cdot$ $\frac{2}{3}$ $\cdot$ $\frac{2}{3}$ eða $18.000 \cdot$ ${(\frac{2}{3})}^{3}$
6	$18.000 \cdot$ ${(\frac{2}{3})}^{6}$
$t$	$18.000 \cdot$ ${(\frac{2}{3})}^{t}$

3. Ritaðu jöfnu sem tengir virði bílsins í dollurum, $v$ , við fjölda ára, $t$ .

Lausn

v = 18.000 \cdot

{(\frac{2}{3})}^{t}

4. Notaðu jöfnuna til að finna $v$ þegar $t$ er 0. Hvað þýðir þetta gildi á $v$ í þessum aðstæðum?

Lausn

v = 18.000

Þetta er virði bílsins þegar $t = 0$ , það er þegar bíllinn er keyptur.

5. Annar bíll tapar virði á öðrum hraða. Virði hans í dollurum, $d$ , eftir $t$ ár má lýsa með jöfnunni:

d = 10.000 \cdot {(\frac{4}{5})}^{t}

Útskýrðu hvað tölurnar 10.000 og $\frac{4}{5}$ merkja í þessum aðstæðum.

Lausn

10.000 er upphafsvirði bílsins í dollurum og bíllinn heldur $\frac{4}{5}$ af virði sínu á hverju ári.

Viltu meira?

Að víkka hugsunina

Byrjaðu með jafnhliða þríhyrning með flatarmál 1 ferningseiningu. Skiptu honum í 4 eins hluta eins og á myndinni og fjarlægðu miðhlutann. Endurtaktu síðan ferlið með hverjum hluta sem eftir er. Myndin sýnir fyrstu tvö skrefin.

Hvaða brot af flatarmálinu er fjarlægt í hverju skrefi? Hversu mikið flatarmál er fjarlægt eftir $n$ -ta skrefið? Notaðu reiknivél til að finna hve mikið flatarmál er eftir í þríhyrningnum eftir 50 slík skref.

Lausn

Í hverju skrefi er fjórðungur af flatarmálinu sem eftir er fjarlægður. Því er flatarmálið sem eftir er margfaldað með þremur fjórðu í hverju skrefi.

1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

{(\frac{3}{4})}^{n}

Eftir 50 skref er flatarmálið aðeins um 0,000000566321656 ferningseiningar, þannig að næstum ekkert er eftir. Ef þú getur ímyndað þér að ferlið haldi áfram endalaust kallast formið sem myndast Sierpinski-þríhyrningur.

Sjálfspróf

Hver eftirfarandi jafna gæti lýst bakteríustofni, $b$ , sem minnkar um $\frac{1}{8}$ á hverri klukkustund, $h$ ? Upphaflega eru bakteríurnar 100.

$b = 100 \cdot$ ${(\frac{1}{8})}^{h}$
$b = 100 \cdot$ ${(\frac{7}{8})}^{h}$

Viðbótarefni

Að greina vísishnignun

Í byrjun apríl var maurabú með 5.000 maurum.

Maurabúið minnkar um 1/5 í apríl. Ritaðu stæðu sem sýnir fjölda maura í lok apríl.
Í maí minnkar maurabúið aftur um 1/5 af stærð sinni. Ritaðu stæðu sem sýnir fjölda maura í lok maí.
Maurabúið heldur áfram að minnka um 1/5 af stærð sinni í hverjum mánuði. Ritaðu stæðu sem sýnir fjölda maura eftir 6 mánuði.
Ritaðu jöfnu sem sýnir fjölda maura, p, eftir m mánuði.

Þegar vísishnignun er greind og gefið er brot eða prósenta sem stærðin minnkar um, þarf að muna að einn mínus þetta brot eða prósenta er vaxtarstuðullinn. Þar sem maurabúið minnkar um $\frac{1}{5}$ er vaxtarstuðullinn:

1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}

Fyrir lok apríl má nota nokkrar jafngildar stæður:

$5000 - (\frac{1}{5} \cdot 5000)$
$5000 \cdot \frac{4}{5}$
$4000$

Í maí er aftur tekið 4/5 af fjöldanum frá apríl:

5000 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5}

4000 \cdot \frac{4}{5}

Í maí er einnig hægt að rita:

4000 - (\frac{1}{5} \cdot 4000)

3200

Eftir 6 mánuði er upphafsgildið margfaldað með vaxtarstuðlinum sex sinnum, eða vaxtarstuðullinn hafinn í sjötta veldi:

5000 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5}

5000 \cdot {(\frac{4}{5})}^{6}

Eftir 6 mánuði er stofninn því um það bil 1.311 maurar.

Almenna jafnan er á veldisforminu:

y = a \cdot b^{x}

Hér er $a$ upphafsgildið og $b$ vaxtarstuðullinn. Með breytunum í verkefninu fæst:

p = 5000 \cdot {(\frac{4}{5})}^{m}

Reyndu þetta

Að greina vísishnignun

Læknir ávísar 125 milligrömmum af lyfi sem missir virkni um 3/10 á hverri klukkustund.

Ritaðu stæðu sem sýnir hve mikið er eftir eftir 1 klukkustund.
Ritaðu stæðu sem sýnir hve mikið er eftir eftir 3 klukkustundir.
Ritaðu jöfnu sem sýnir magn lyfsins, d, sem er eftir eftir h klukkustundir.

Lausn

Þar sem lyfið missir $\frac{3}{10}$ af virkni sinni helst $\frac{7}{10}$ eftir í hverri klukkustund.

125 \cdot \frac{7}{10} = 87,5

125 \cdot \frac{7}{10} \cdot \frac{7}{10} \cdot \frac{7}{10}

125 \cdot {(\frac{7}{10})}^{3} = 42,875

d = 125 \cdot {(\frac{7}{10})}^{h}