55.5 Framsetning á veldishrörnun

5.5.3 Að nota gröf til að sýna vísishnignun

5.5.3 • Að nota gröf til að sýna vísishnignun

Verkefni

Til að halda þörungablóma í stöðuvatni í skefjum nota vísindamenn meðferðarefni.

Stöðuvatn þar sem þörungar hafa breiðst út á yfirborðinu.

Þegar meðferðin hefst er flatarmálið sem þörungarnir þekja, $A$ , í ferjördum gefið með jöfnunni hér fyrir neðan. Tíminn, $t$ , er mældur í vikum.

A = 240 \cdot {(\frac{1}{3})}^{t}

1. Hvað segir 240 okkur um þörungana í jöfnunni?

Lausn

Í upphafi þekja þörungarnir 240 ferjarda.

2. Hvað segir brotið $\frac{1}{3}$ okkur?

Lausn

Í hverri viku er flatarmálið sem þörungarnir þekja einn þriðji af flatarmálinu vikuna á undan.

3. Búðu til graf sem sýnir jöfnuna þegar $t$ er 0, 1, 2, 3 og 4. Veldu kvarða ásanna vandlega. Ef þú festist getur þú búið til gildistöflu fyrst.

A = 240 \cdot {(\frac{1}{3})}^{t}

Lausn

Punktarit sem sýnir minnkandi flatarmál í ferjördum eftir tíma í vikum. Punktarnir eru um það bil (0, 240), (1, 80), (2, 27), (3, 9) og (4, 3).

t (vikur)	A (ferjardar)
0	240
1	80
2	27 (námundað)
3	9
4	3

4. Um það bil hve marga ferjarda þekja þörungarnir eftir 2,5 vikur? Vertu tilbúin(n) að sýna rökstuðning þinn.

Lausn

Svör geta verið mismunandi, en hér er dæmi:

Þörungarnir þekja minna en 27 ferjarda og meira en 9 ferjarda, því flatarmálið minnkar. Góð ágiskun er tala á bilinu 15 til 20.

Sjálfspróf

Hvaða graf hér fyrir neðan sýnir fallið?

y = 12 \cdot {(\frac{1}{2})}^{x}

Viðbótarefni

Tengsl taflna og grafa í vísishnignun

Stofn farfiðrilda, $p$ , uppfyllir jöfnuna hér fyrir neðan, þar sem $w$ er fjöldi vikna frá því að þau hófu far sitt.

p = 100.000 \cdot {(\frac{4}{5})}^{w}

Svaraðu spurningunum til að fylla út töfluna og búa til graf sem sýnir stofninn eftir fjölda vikna frá upphafi farsins.

$w$	0	1	2	3	4
$p$

Fjöldi fiðrilda þegar þau hófu far sitt.
Fjöldi fiðrilda 1 viku eftir að þau hófu far sitt.
Fjöldi fiðrilda 3 vikum eftir að þau hófu far sitt.
Búðu til graf sem sýnir stofninn best.
Hver er skurðpunktur grafsins við y-ásinn? Hvað segir hann um fiðrildastofninn?
Hvenær nær fiðrildastofninn um það bil 50.000?
Hver er aðfella grafsins? Hvað segir hún um fiðrildastofninn með tímanum?

Þegar jafna aðstæðnanna er þekkt má setja gildi inn fyrir breytuna og nota röð reikniaðgerða til að finna gildin í töflunni.

$w$	0	1	2	3	4
$p$	100.000	80.000	64.000	51.200	40.960

Graf sem sýnir tengsl fjölda vikna og fiðrildastofns. Merktir punktar eru (0, 100000), (1, 80000), (2, 64000), (3, 51200) og (4, 40960).

Skurðpunkturinn við y-ásinn er 100.000. Hann segir að þegar fiðrildin hefja far sitt, það er þegar $w = 0$ , sé stofninn 100.000.

p = 100.000 \cdot 1 = 100.000

Fiðrildastofninn nær um það bil 50.000 eftir um 3 vikur.

Graf minnkandi vísisfalls sem sýnir fiðrildastofn sem fall af fjölda vikna. Merktir punktar eru (0, 100000), (1, 80000), (2, 64000), (3, 51200) og (4, 40960).

Aðfella er lína sem graf falls nálgast en sker ekki. Þegar $w$ verður stærra minnkar veldisliðurinn sífellt meira. Því nálgast stofninn $p$ núll. Lárétta aðfellan er x-ásinn, eða línan $y = 0$ .

Reyndu þetta

Tengsl taflna og grafa í vísishnignun

Á útgáfuári bókar seldust 600.000 eintök. Á hverju ári eftir það minnkaði fjöldi seldra eintaka um helming.

1. Fylltu út töfluna sem sýnir fjölda seldra eintaka á hverju ári.

$y$	0	1	2	3	$y$
seld eintök

Lausn

Settu 600.000 í fyrstu línuna, því það er upphafsgildið. Fyrir hvert gildi á eftir margfaldar þú með $\frac{1}{2}$ .

ár	seld eintök
0	600.000
1	300.000
2	150.000
3	75.000
$y$	600.000 · ${(\frac{1}{2})}^{y}$

2. Ritaðu jöfnu sem sýnir fjölda seldra eintaka, $c$ , $y$ árum eftir að bókin kom út.

Lausn

c = 600.000 \cdot {(\frac{1}{2})}^{y}

3. Notaðu grafteikniverkfæri eða aðra tækni. Teiknaðu graf jöfnunnar sem sýnir aðstæðurnar.

Lausn

Notaðu punktana í töflunni til að búa til graf.

Graf minnkandi vísisfalls sem sýnir fjölda seldra bóka eftir árum frá útgáfu. Grafið hefur skurðpunkt við y-ás í 600.000 og fer meðal annars um punktana (1, 300000) og (2, 150000).

4. Notaðu jöfnuna eða grafið til að finna $c$ þegar $y = 6$ . Hvað þýðir það fyrir bóksöluna?

Lausn

c = 600.000 \cdot {(\frac{1}{2})}^{6}

Niðurstaðan 9.375 þýðir að sex árum eftir útgáfu bókarinnar seldust 9.375 eintök.

5. Hver er skurðpunktur grafsins við y-ásinn? Hvað segir hann um fjölda seldra eintaka?

Lausn

f (0) = 600.000

Skurðpunkturinn við y-ásinn er 600.000. Það þýðir að á útgáfuárinu, þegar $y = 0$ , seldust 600.000 eintök.

6. Hver er aðfella grafsins? Hvað segir hún um fjölda seldra eintaka með tímanum?

Lausn

Þegar $y$ stækkar nálgast fallið 0. Lárétta aðfellan er því $y = 0$ . Það segir að þegar árin líða nálgast fjöldi seldra eintaka núll.