5.7.2 Að bera saman gröf

Verðmæti sumra farsíma breytist samkvæmt vísisfalli eftir að þeir koma fyrst á markað. Hér eru gröf sem sýna verðrýrnun tveggja síma 1, 2 og 3 árum eftir að þeir komu á markað.

Sími A

Sími B

1. Hvor síminn er dýrari þegar hann kemur fyrst á markað?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Sími A kostar $1.000 og sími B kostar $840, þannig að sími A er dýrari.

2. Hvort grafið sýnir að farsíminn rýrnar hraðar í verði? Útskýrðu hvernig þú sérð það.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Sími A rýrnar hraðar í verði en sími B. Það sést með því að bera saman verðmæti símanna á hverju ári. Eftir eitt ár er sími A aðeins $600 virði en sími B $630. Eftir þrjú ár er sími A $216 virði en sími B $354,38.

3. Hvernig breytist verðmæti síma A með hverju ári sem líður?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Sími A tapar $400 fyrsta árið, sem er 2/5, eða 0,4 eða 40%, af upphaflegu verðmæti. Hann tapar $240 annað árið, sem er aftur 2/5 af $600.

$\frac{2}{5}$

4. Hvernig breytist verðmæti síma B með hverju ári sem líður?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Sími B tapar $210 fyrsta árið, sem er 1/4, eða 0,25 eða 25%, af upphaflegu verðmæti, og $157,50 annað árið, sem er 1/4 af $630.

$\frac{1}{4}$

5. Ef símarnir halda áfram að rýrna með sama stuðli á hverju ári, hvert verður verðmæti hvors síma 4 árum eftir að hann kom fyrst á markað?

Lausn

1. a. Svar fyrir síma A:

   $\frac{3}{5}·\$216=\$\mathrm{129,60}$

2. b. Svar fyrir síma B:

   $\frac{3}{4}·(\$\mathrm{354,38})\approx \$\mathrm{265,79}$

6. Skrifaðu jöfnu fyrir hvorn farsíma sem tengir verðmæti símans í dollurum við fjölda ára frá því að hann kom á markað, t. Notaðu v fyrir verðmæti síma A og w fyrir verðmæti síma B.

Lausn

1. a. Sími A:

   $v=1.000·{\left(}^{\frac{3}{5}}$

2. b. Sími B:

   $w=840·{\left(}^{\frac{3}{4}}$

Meira til umhugsunar

Þegar gögn eru gefin er ekki alltaf ljóst hvernig best er að búa til líkan fyrir þau. Hér var sagt að verðmæti farsímanna breyttist samkvæmt vísisfalli. Hugsum okkur samt að við hefðum aðeins fengið upphafsverðmæti símanna og verðmæti þeirra eftir hvert af fyrstu þremur árunum.

1. Notaðu tæknitól til að finna línu sem fellur best að gögnunum fyrir hvorn farsíma. Námundaðu tölur að næsta dollar.

Lausn

a. Sími A:

$v=933-259t$

b. Sími B:

$w=816-161t$

2. Útskýrðu hvers vegna líkan með vísisfalli gæti hentað betur en línulega líkanið sem þú bjóst til.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Línulegt líkan myndi fljótt gefa neikvætt verðmæti fyrir símana. Til dæmis myndi sími A kosta um −$103 fjórum árum eftir að hann kom fyrst á markað. Það er skynsamlegra að síminn tapi ákveðnu broti af verðmæti sínu á hverju ári.

Að greina a og b í vísisfalli $y=a·b^x$

1. Hvaða graf hefur stærsta gildið á b?

2. Hvaða graf hefur minnsta gildið á b?

3. Hvaða graf hefur stærsta gildið á a?

4. Hvaða graf hefur minnsta gildið á a?

Þegar formið er notað er mikilvægt að muna að a er upphafsgildið, eða skurðpunkturinn við y-ás, og b er vaxtarstuðullinn.

$y=a·b^x$

Vaxtarstuðullinn lýsir veldisvexti þegar gildið er stærra en 1. Hann lýsir vísishnignun þegar gildið er á milli 0 og 1.

Fyrir spurningu 1 er leitað að stærsta vaxtarstuðlinum, sem samsvarar vísisfalli sem vex hraðast. Fyrst finnur þú gröfin sem sýna veldisvöxt, D, E og F, og ákveður síðan hvert þeirra er brattast. Graf D vex mun hraðar en gröf E og F.

Fyrir spurningu 2 er leitað að bröttustu vísishnignuninni, þannig að þú þarft grafið með minnsta b-gildið. Gröfin sem sýna vísishnignun eru A, B og C. Grafið með b-gildi næst 0 er graf C. Graf C hefur bröttustu vísishnignunina vegna þess að b-gildið er næst 0 og því minnst.

Fyrir spurningu 3 er leitað að stærsta upphafsgildinu, eða skurðpunkti við y-ás. Fallið getur sýnt vöxt eða hnignun; það þarf bara að skera y-ásinn hærra en hin gröfin. Graf C hefur hæsta a-gildið.

Fyrir spurningu 4 er leitað að minnsta upphafsgildinu, eða skurðpunkti við y-ás. Fallið getur sýnt vöxt eða hnignun; það þarf bara að skera y-ásinn lægra en hin gröfin. Graf F hefur lægsta a-gildið.

Reyndu þetta

Að greina a og b í vísisfalli $y=a·b^x$

1. Hvaða gröf sýna veldisvöxt?

Lausn

1. Gröf sýna veldisvöxt ef þau hækka frá vinstri til hægri. Gröf D, E og F sýna veldisvöxt.

2. Hvaða gröf sýna vísishnignun?

Lausn

2. Gröf sýna vísishnignun ef þau lækka frá vinstri til hægri. Gröf A, B og C sýna vísishnignun.

3. Hvaða graf hefur hæsta gildið á b?

Lausn

3. Graf E hefur hæsta gildið á b, eða stærsta vaxtarhraðann, því það vex hraðar en gröf D og F.

4. Hvaða graf hefur hæsta gildið á a?

Lausn

4. Gröf C og D hafa hæsta gildið á a vegna þess að þau hafa sama skurðpunkt við y-ás.