66.2 Margföldun margliða

6.2.2 Margföldun tvíliða

6.2.2 • Margföldun tvíliða

Verkefni

Tvíliðirnir í stæðunni hér fyrir neðan eru margfaldaðir saman á þrjá vegu. Lýstu því hvernig tvíliðirnir eru margfaldaðir í hverri aðferð.

(x - 7) (2 x + 4)

Lausn	Lýsing á lausn
$(x - 7) (2 x + 4)$ $x (2 x + 4) - 7 (2 x + 4)$ $2 x^{2} + 4 x - 14 x - 28$ $2 x^{2} - 10 x - 28$	Fyrst er aftari tvíliðnum dreift á báða liði fremri tvíliðsins. Síðan eru einstakir liðir margfaldaðir. Að lokum eru líkir liðir dregnir saman.
$\begin{aligned} x & - 7 \\ \underset{―}{\times 2 x} & \underset{―}{+ 4} \\ 4 x & - 28 \\ \underset{―}{2 x^{2} - 14 x} & \underset{―}{} \\ 2 x^{2} - 10 x & - 28 \end{aligned}$	Sama margföldun má skrifa lóðrétt, svipað og uppsetta margföldun með heilum tölum. Fyrst er neðri liðurinn 4 margfaldaður með hvorum lið í efri tvíliðnum. Síðan er 2x margfaldað með hvorum lið og líkum liðum raðað undir hvern annan. Að lokum eru hlutmargfeldin lögð saman.
$2 x^{2} + 4 x - 14 x - 28$ $2 x^{2} - 10 x - 28$	Í FOIL-aðferðinni eru fyrstu, ytri, innri og síðustu liðirnir margfaldaðir. Síðan eru líkir liðir dregnir saman.

Lausn

Lýsing á lausn

$(x - 7) (2 x + 4)$

$x (2 x + 4) - 7 (2 x + 4)$

$2 x^{2} + 4 x - 14 x - 28$

$2 x^{2} - 10 x - 28$

Fyrst er aftari tvíliðnum dreift á báða liði fremri tvíliðsins. Síðan eru einstakir liðir margfaldaðir. Að lokum eru líkir liðir dregnir saman.

$\begin{aligned} x & - 7 \\ \underset{―}{\times 2 x} & \underset{―}{+ 4} \\ 4 x & - 28 \\ \underset{―}{2 x^{2} - 14 x} & \underset{―}{} \\ 2 x^{2} - 10 x & - 28 \end{aligned}$

Sama margföldun má skrifa lóðrétt, svipað og uppsetta margföldun með heilum tölum.

Fyrst er neðri liðurinn 4 margfaldaður með hvorum lið í efri tvíliðnum. Síðan er 2x margfaldað með hvorum lið og líkum liðum raðað undir hvern annan. Að lokum eru hlutmargfeldin lögð saman.

Mynd sem sýnir margföldun tvíliða með örvum á milli liðanna.

$2 x^{2} + 4 x - 14 x - 28$

$2 x^{2} - 10 x - 28$

Í FOIL-aðferðinni eru fyrstu, ytri, innri og síðustu liðirnir margfaldaðir. Síðan eru líkir liðir dregnir saman.

Margfaldaðu hvert margfeldi tvíliða.

Margfaldaðu.

[Sýna/fela lausn]

(a + 6) (a - 4)

Berðu saman svarið þitt:

a^{2} + 2 a - 24

Margfaldaðu.

[Sýna/fela lausn]

(5 b + 9) (4 b + 3)

Berðu saman svarið þitt:

20 b^{2} + 51 b + 27

Margfaldaðu.

[Sýna/fela lausn]

(5 x^{2} - 1) (2 x - 8)

Berðu saman svarið þitt:

10 x^{3} - 40 x^{2} - 2 x + 8

Margfaldaðu.

[Sýna/fela lausn]

(7 m n + 1) (11 m n - 3)

Berðu saman svarið þitt:

77 m^{2} n^{2} - 10 m n - 3

Meira fyrir þá sem vilja

Margfaldaðu tvíliðina og dragðu saman líka liði til að einfalda stæðuna.

(5 x^{2} y - x y) (3 x + y) + (6 x + 4 y) (- 3 x^{2} y + 2 x y)

Berðu saman svarið þitt:

(5 x^{2} y - x y) (3 x + y) + (6 x + 4 y) (- 3 x^{2} y + 2 x y)

15 x^{3} y + 5 x^{2} y^{2} - 3 x^{2} y - x y^{2} - 18 x^{3} y + 12 x^{2} y - 12 x^{2} y^{2} + 8 x y^{2}

- 3 x^{3} y + 9 x^{2} y - 7 x^{2} y^{2} + 7 x y^{2}

Viðbótarefni

Margföldun tvíliða með dreifireglunni

Rétt eins og hægt er að sýna margföldun talna á ólíka vegu er hægt að sýna margföldun tveggja tvíliða á nokkra vegu með dreifireglu margföldunar yfir samlagningu.

Dæmi 1

(y + 5) (y + 8)

Skref 1: Dreifðu tvíliðnum (y + 8).
$y (y + 8) + 5 (y + 8)$
Skref 2: Dreifðu einstökum liðum.
$y^{2} + 8 y + 5 y + 40$
Skref 3: Dragðu saman líka liði.
$y^{2} + 13 y + 40$

Two binomials, (y + 5) and (y + 8), with red arrows indicating distribution from each y in the parentheses, and a red bracket grouping both terms.

Dæmi 2

(4 y^{2} + 3) (2 y^{2} - 5)

Skref 1: Dreifðu tvíliðnum (2y^2 − 5).
$4 y^{2} (2 y^{2} - 5) + 3 (2 y^{2} - 5)$
Skref 2: Dreifðu einstökum liðum.
$8 y^{4} - 20 y^{2} + 6 y^{2} - 15$
Skref 3: Dragðu saman líka liði.
$8 y^{4} - 14 y^{2} - 15$

Margföldun tvíliða með FOIL-aðferðinni

Þegar tvíliðir eru margfaldaðir kemur oft fram mynstur. Fyrsti liður niðurstöðunnar fæst með því að margfalda fyrstu liði tvíliðanna. Næstu liðir koma frá ytri og innri liðunum, og síðasti liðurinn frá síðustu liðunum.

Skammstöfunin FOIL stendur fyrir First, Outer, Inner, Last. Í þessari bók notum við hana sem minnisreglu fyrir fyrstu, ytri, innri og síðustu liði.

A comparison of the distributive property and FOIL method to multiply (x + 3)(x + 7), showing step-by-step expansion and simplification to get x squared plus 10x plus 21. Arrows illustrate FOILs steps.

An algebraic expression (a + b)(c + d) is labeled to show the FOIL method: First, Outer, Inner, Last, with a note to Say it as you multiply! FOIL: First, Outer, Inner, Last.

Skref 1: Margfaldaðu fyrstu liðina.
Skref 2: Margfaldaðu ytri liðina.
Skref 3: Margfaldaðu innri liðina.
Skref 4: Margfaldaðu síðustu liðina.
Skref 5: Dragðu saman líka liði, þegar það er hægt.

Dæmi 3

(y - 7) (y + 4)

An equation showing (y -7)(y + 4) with an arrow pointing each y and a partially filled expansion: y² + _ + _ + _, labeled with F, O, I, L underneath the blanks.

An equation showing (y -7)(y + 4) with arrows pointing each y, the y and the 4, and a partially filled expansion: y² + 4y + _ + _, labeled with F, O, I, L underneath the blanks.

An equation showing (y -7)(y + 4) with arrows pointing each y, the y and the 7, and a partially filled expansion: y² + 4y - 7y + _, labeled with F, O, I, L underneath the blanks.

An equation showing (y -7)(y + 4) with arrows pointing each y, the -7 and the 4, and a filled expansion: y² + 4y - 7y -28, labeled with F, O, I, L underneath the blanks.

y^{2} - 3 y - 28

Dæmi 4

(4 x + 3) (2 x - 5)

The image shows the expression (4x + 3)(2x - 5) with four curved arrows illustrating the FOIL method for multiplying binomials: first, outer, inner, and last terms.

Margfaldaðu fyrstu liðina.
$4 x \cdot 2 x$
Margfaldaðu ytri liðina.
$4 x \cdot (- 5)$
Margfaldaðu innri liðina.
$3 \cdot 2 x$
Margfaldaðu síðustu liðina.
$3 \cdot (- 5)$
Dragðu saman líka liði.
$8 x^{2} - 14 x - 15$

FOIL-aðferðin er oft fljótlegasta aðferðin við að margfalda tvo tvíliði, en hún virkar aðeins fyrir tvíliði. Dreifiregluna má nota til að finna margfeldi hvaða tveggja margliða sem er.

Margföldun tvíliða með lóðréttri uppstillingu

Lóðrétt uppstilling virkar fyrir allar margliður og líkist uppsettri margföldun heilla talna.

23 \times 46

138

920

1058

Byrjaðu á að margfalda 23 með 6 og fá 138. Síðan er 23 margfaldað með 4 tugum, hlutmargfeldið sett í rétta dálka og hlutmargfeldin lögð saman.

Dæmi 5

Margfaldaðu með lóðréttri uppstillingu. Það skiptir ekki máli hvor tvíliðurinn er efst.

(3 y - 1) (2 y - 6)

Skref 1: Margfaldaðu 3y − 1 með −6.
$- 18 y + 6$
Skref 2: Margfaldaðu 3y − 1 með 2y.
$6 y^{2} - 2 y$
Skref 3: Leggðu saman líka liði.
$6 y^{2} - 20 y + 6$

Nú hefurðu séð þrjár leiðir til að margfalda tvíliði. Æfðu hverja aðferð og prófaðu að ákveða hvaða aðferð hentar þér best.