66.2 Margföldun margliða

6.2.4 Margföldun sérstakra margfelda

6.2.4 • Margföldun sérstakra margfelda

Verkefni

Margfaldaðu hverja stæðu. Greindu hvort stæðan er ferningur tvíliðu eða margfeldi samoka tvíliða, sem gefur mismun ferninga.

1. ${(3 x - 7)}^{2}$

Lausn

9 x^{2} - 42 x + 49

ferningur tvíliðu

2. $(6 z + 4) (6 z - 4)$

Lausn

36 z^{2} - 16

margfeldi samoka

3. $(4 a + 2 b) (4 a + 2 b)$

Lausn

16 a^{2} + 16 a b + 4 b^{2}

ferningur tvíliðu

4. $(3 w - 9 p) (3 w + 9 p)$

Lausn

9 w^{2} - 81 p^{2}

margfeldi samoka

5. $(2 y - 8 n) (2 y + 8 n)$

Lausn

4 y^{2} - 64 n^{2}

margfeldi samoka

6. $(5 k + 2) (5 k + 2)$

Lausn

25 k^{2} + 20 k + 4

ferningur tvíliðu

Viðbótarefni

Ferningur tvíliðu

Stærðfræðingar leita að mynstrum sem gera útreikninga einfaldari. Gott dæmi er ferningur tvíliðu. Það er alltaf hægt að skrifa tvíliðuna tvisvar og margfalda tvíliðina saman, en mynstrið sparar vinnu.

Skoðaðu þessar niðurstöður. Sérðu mynstur?

Tafla sýnir þrjá tvíliðuferninga efst, útvíkkaðar stæður í miðjunni og einfaldaðar niðurstöður neðst: (x+9)^2, (y-7)^2 og (2x+3)^2 með samsvarandi skrefum.

Í hverju dæmi er tvíliða sett í annað veldi og niðurstaðan er þríliða.

{(a + b)}^{2} =___+___+___

Fyrsti liðurinn í niðurstöðunni fæst með því að setja fyrsta lið tvíliðunnar í annað veldi.

{(a + b)}^{2} = a^{2} +___+___

Síðasti liðurinn fæst með því að setja síðasta lið tvíliðunnar í annað veldi.

{(a + b)}^{2} =___+___+ b^{2}

Miðliðurinn kemur frá ytri og innri liðunum. Þeir eru eins, svo miðliðurinn er tvöfalt margfeldi liðanna tveggja.

{(a + b)}^{2} =___+ 2 a b +___

Til að fá miðlið margfeldisins margfaldarðu liðina saman og tvöfaldar margfeldið.

{(a + b)}^{2} =___+ 2 a b +___

Setjum þetta saman.

Skýringarmynd fyrir tvíliðuferninga: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 og (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, þar sem fyrstu og síðustu liðirnir og margfeldi liðanna eru merkt.

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Reyndu þetta: ferningur tvíliðu

1. Margfaldaðu.

{(x + 5)}^{2}

Lausn

Svarið má setja fram á fleiri en einn hátt. Hér er sýnilausn.

{(a + b)}^{2}

{(x + 5)}^{2}

Skref 1 - Settu fyrsta liðinn í annað veldi.

x^{2} +___+___

Skref 2 - Settu síðasta liðinn í annað veldi.

x^{2} +___+ 5^{2}

Skref 3 - Tvöfaldaðu margfeldi liðanna tveggja.

x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}

Skref 4 - Einfaldaðu.

x^{2} + 10 x + 25

2. Margfaldaðu.

{(2 x - 3 y)}^{2}

Lausn

Skrifaðu svarið þitt og berðu það síðan saman við sýnilausnina.

{(a - b)}^{2}

{(2 x - 3 y)}^{2}

Skref 1 - Notaðu mynstrið.

{(2 x)}^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot 3 y + {(3 y)}^{2}

Skref 2 - Einfaldaðu.

4 x^{2} - 12 x y + 9 y^{2}

Samokar

Við sáum mynstur fyrir ferning tvíliðu. Á sama hátt er til mynstur fyrir annað margfeldi tvíliða.

Samokar eru tvíliðir með sömu liði, þar sem annað formerkið milli liðanna er plús og hitt mínus.

(a - b)

(a + b)

Þannig eru tvíliðarnir í parinu með sama fyrsta lið og sama síðasta lið, en annar er summa og hinn mismunur.

Við getum notað FOIL til að sjá mynstrið, en mynstrið sjálft gerir útreikninginn styttri.

Mynd sýnir samoka tvíliði og útvíkkuð margfeldi þeirra, til dæmis (x+9)(x-9), (y-8)(y+8) og (2x-5)(2x+5), með niðurstöðum neðst.

Hvað tekurðu eftir við margfeldin?

Margfeldi samoka tvíliða er tvíliða. Ytri og innri liðirnir eyðast hvor á móti öðrum.

(a + b) (a - b) = a^{2} -___

Fyrsti liðurinn fæst með því að setja fyrsta liðinn í annað veldi.

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Síðasti liðurinn fæst með því að setja síðasta liðinn í annað veldi.

a^{2} - b^{2}

Þetta kallast mismunur ferninga.

Regla um margfeldi samoka

Ef a og b eru rauntölur gildir:

Skýringarmynd sýnir margfeldi samoka tvíliða: (a-b)(a+b)=a^2-b^2. Örvar merkja samokana og niðurstöðuna sem mismun ferninga.

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

Samanburður á sérstökum margfeldum

Við höfum nú tvö mynstur fyrir sérstök margfeldi: ferning tvíliðu og margfeldi samoka. Mynstrin líta svipuð út, svo mikilvægt er að sjá hvenær hvort mynstur á við.

Ferningur tvíliðu	Margfeldi samoka
${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$	$(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$
${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

Reyndu þetta: samokar

1. Margfaldaðu.

(2 x + 5) (2 x - 5)

Lausn

Svarið má setja fram á fleiri en einn hátt. Hér er sýnilausn.

Skref 1 - Athugaðu að tvíliðarnir eru samokar.

(2 x + 5) (2 x - 5)

Skref 2 - Settu fyrsta liðinn, 2x, í annað veldi.

{(2 x)}^{2} -___

Skref 3 - Settu síðasta liðinn, 5, í annað veldi.

{(2 x)}^{2} - 5^{2}

Skref 4 - Einfaldaðu. Margfeldið er mismunur ferninga.

4 x^{2} - 25

2. Margfaldaðu.

(5 m - 9 n) (5 m + 9 n)

Lausn

Svarið má setja fram á fleiri en einn hátt. Hér er sýnilausn.

Skref 1 - Stæðan passar við mynstrið fyrir margfeldi samoka.

(5 m - 9 n) (5 m + 9 n)

Skref 2 - Notaðu mynstrið.

{(5 m)}^{2} - {(9 n)}^{2}

Skref 3 - Einfaldaðu.

25 m^{2} - 81 n^{2}