66.5 Þáttun þríliða

6.5.2 Þáttun þríliða þar sem forystustuðullinn er 1

6.5.2 • Þáttun þríliða þar sem forystustuðullinn er 1

Verkefni

Við skulum þátta þennan þrílið: $t^{2} + 14 t + 24$

Hugsaðu:

Hvaða tölur eru þættir tölunnar 24?
Hvaða þáttapar hefur summuna 14?

Hér er taflan sem var búin til í fyrra verkefni:

Þáttapar	Summa þátta
$1, 24; 1 + 24 = 25$	$1, 24; 1 + 24 = 25$
$2, 12; 2 + 12 = 14$	$2, 12; 2 + 12 = 14$
$3, 8; 3 + 8 = 11$	$3, 8; 3 + 8 = 11$
$4, 6; 4 + 6 = 10$	$4, 6; 4 + 6 = 10$

Berðu saman svörin þín

$2 \cdot 12 = 24$

$2 + 12 = 14$

Þess vegna eru 2 og 12 síðustu liðir tvíliðanna.

$(t + 2) (t + 12)$

Þáttaðu hvern þrílið. Ef ekki er hægt að þátta þríliðinn, skrifaðu „óþættanlegur“.

$m^{2} + 9 m + 18$
Berðu saman svarið þitt
$(m + 3) (m + 6)$
$a^{2} - 11 a b + 10 b^{2}$
Berðu saman svarið þitt
$(a - b) (a - 10 b)$
$u^{2} - 9 u v - 12 v^{2}$
Berðu saman svarið þitt
Óþættanlegur.
$p^{2} + 5 p - 6$
Berðu saman svarið þitt
$(p - 1) (p + 6)$
$m^{2} - 64 m n - 65 n^{2}$
Berðu saman svarið þitt
$(m + n) (m - 65 n)$

Viðbótarefni

Hvernig þátta má þrílið á forminu x² + bx + c

Til að sjá hvernig þáttun á þrílið á forminu x² + bx + c virkar skulum við byrja með tvo almenna tvíliði.

(x + m) (x + n)

Margfaldaðu tvíliðina með FOIL-aðferðinni.
$x^{2} + m x + n x + m n$
Taktu x út fyrir sviga úr miðliðunum.
$x^{2} + (m + n) x + m n$

Þríliðurinn er á forminu x² + bx + c. Til að þátta slíkan þrílið þarf að finna tvær tölur, m og n, þannig að margfeldi þeirra sé c og summa þeirra sé b.

m \cdot n = c

m + n = b

Dæmi 1. Þáttaðu: $x^{2} + 11 x + 24$

Skref 1: Skrifaðu tvo tvíliði með x sem fyrsta lið.

$(x) (x)$

Skref 2: Finndu tvær tölur sem margfaldast í 24 og leggjast saman í 11.

Þáttapar	Summa þátta
$1, 24; 1 + 24 = 25$	$1, 24; 1 + 24 = 25$
$2, 12; 2 + 12 = 14$	$2, 12; 2 + 12 = 14$
$3, 8; 3 + 8 = 11 ✓$	$3, 8; 3 + 8 = 11 ✓$
$4, 6; 4 + 6 = 10$	$4, 6; 4 + 6 = 10$

Skref 3: Notaðu 3 og 8 sem síðustu liði tvíliðanna.

$(x + 3) (x + 8)$

Skref 4: Athugaðu með margföldun.

\begin{array}{rcl} (x + 3) (x + 8) \\ x^{2} + 8 x + 3 x + 24 \\ x^{2} + 11 x + 24 ✓ \end{array}

Aðferðin dregin saman.

1. Skrifaðu þættina sem tvo tvíliði með x sem fyrsta lið. $x^{2} + b x + c \to (x) (x)$
2. Finndu tölur m og n þannig að þær margfaldist í c og leggist saman í b. $m \cdot n = c$ $m + n = b$
3. Notaðu m og n sem síðustu liði tvíliðanna. $(x + m) (x + n)$
4. Athugaðu með margföldun.

Þegar þáttað er skiptir formerki liðanna máli. Ef síðasti liðurinn er jákvæður hafa síðustu liðir tvíliðanna sama formerki. Ef miðliðurinn er neikvæður eru báðar tölurnar neikvæðar.

Dæmi 2. Þáttaðu: $y^{2} - 11 y + 28$

Síðasti liðurinn er jákvæður og miðliðurinn er neikvæður, svo við þurfum tvær neikvæðar tölur.

Þáttapar	Summa þátta
$- 1, - 28; - 1 + (- 28) = - 29$	$- 1, - 28; - 1 + (- 28) = - 29$
$- 2, - 14; - 2 + (- 14) = - 16$	$- 2, - 14; - 2 + (- 14) = - 16$
$- 4, - 7; - 4 + (- 7) = - 11 ✓$	$- 4, - 7; - 4 + (- 7) = - 11 ✓$

$(y - 4) (y - 7)$

\begin{array}{rcl} (y - 4) (y - 7) = y^{2} - 11 y + 28 ✓ \end{array}

Ef síðasti liður þríliðsins er neikvæður hafa síðustu liðir tvíliðanna gagnstæð formerki. Þá þarf að velja formerkin þannig að summa þáttanna gefi rétt formerki á miðliðnum.

Dæmi 3. Þáttaðu: $2 x + x^{2} - 48$

Skref 1: Raðaðu liðunum eftir lækkandi stigi.

$x^{2} + 2 x - 48$

Skref 2: Finndu tvær tölur sem margfaldast í -48 og leggjast saman í 2.

Þáttapar	Summa þátta
$- 1, 48; - 1 + 48 = 47$	$- 1, 48; - 1 + 48 = 47$
$- 2, 24; - 2 + 24 = 22$	$- 2, 24; - 2 + 24 = 22$
$- 3, 16; - 3 + 16 = 13$	$- 3, 16; - 3 + 16 = 13$
$- 4, 12; - 4 + 12 = 8$	$- 4, 12; - 4 + 12 = 8$
$- 6, 8; - 6 + 8 = 2 ✓$	$- 6, 8; - 6 + 8 = 2 ✓$

$(x - 6) (x + 8)$

\begin{array}{rcl} (x - 6) (x + 8) = x^{2} + 2 x - 48 ✓ \end{array}

Stundum þarf að þátta þríliði með tveimur breytum, til dæmis á forminu x² + bxy + cy². Fyrsti liðurinn kemur úr fyrsta lið hvors tvíliðs, og y² í síðasta liðnum segir að síðustu liðir tvíliðanna innihaldi y. $x^{2} + b x y + c y^{2}$

Dæmi 4. Þáttaðu: $r^{2} - 8 r s - 9 s^{2}$

Fyrstu liðirnir eru r og síðustu liðirnir innihalda s. Síðasti liðurinn er neikvæður, svo formerkin verða gagnstæð.

Þáttapar	Summa þátta
$- 1, 9; - 1 + 9 = 8$	$- 1, 9; - 1 + 9 = 8$
$1, - 9; 1 + (- 9) = - 8 ✓$	$1, - 9; 1 + (- 9) = - 8 ✓$
$3, - 3; 3 + (- 3) = 0$	$3, - 3; 3 + (- 3) = 0$

$(r + s) (r - 9 s)$

\begin{array}{rcl} (r + s) (r - 9 s) = r^{2} - 8 r s - 9 s^{2} \end{array}

Sumir þríliðir eru óþættanlegir. Til að vera viss þarf að skoða öll möguleg þáttapör og sjá að ekkert þeirra uppfyllir skilyrðin.

Aðferð fyrir þríliði á forminu x² + bx + c

Ef c er jákvætt hafa m og n sama formerki.
Ef b er jákvætt eru m og n jákvæð; ef b er neikvætt eru m og n neikvæð.
Ef c er neikvætt hafa m og n gagnstæð formerki.
Þegar formerkin eru gagnstæð hefur talan með stærra tölugildi sama formerki og b.

$x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$ $x^{2} - 6 x + 8 = (x - 4) (x - 2)$

$x^{2} + x - 12 = (x + 4) (x - 3)$ $x^{2} - 2 x - 15 = (x - 5) (x + 3)$