6.5.4 Þáttun þríliða með ac-aðferðinni og innsetningu

Í síðustu verkefnum var forystustuðullinn oft 1. Ac-aðferðin virkar líka þegar forystustuðullinn er önnur tala, ef þríliðurinn er á forminu hér fyrir neðan. $a{x}^2+bx+c$

Hugmyndin er að skipta miðliðnum í tvo liði þannig að hægt sé að þátta með hópun.

1. Taktu fyrst út stærsta samdeili, ef hann er til staðar.
2. Margfaldaðu stuðlana a og c og finndu margfeldið ac. $ac$
3. Finndu tvær tölur, m og n, sem hafa margfeldið ac og summuna b. $m\cdot n=a\cdot c$ $m+n=b$
4. Skiptu miðliðnum bx í mx og nx. $a{x}^2+bx+c=a{x}^2+mx+nx+c$
5. Hópaðu liðina og þáttaðu með hópun.
6. Athugaðu svarið með því að margfalda þættina aftur saman.

Dæmi 1.

Þáttaðu stæðuna. $16x^2-32x+12$

Allir liðirnir hafa 4 sem stærsta samdeili, svo byrjað er á að taka 4 út fyrir sviga.

Fyrir þríliðinn inni í sviganum er a = 4, b = -8 og c = 3, þannig að ac = 12. $a\cdot c=4\cdot 3=12$

Tölurnar -6 og -2 hafa margfeldið 12 og summuna -8. $(-6)(-2)=12$ $-6+(-2)=-8$

Skiptu miðliðnum og þáttaðu með hópun.

Margföldun þáttanna gefur upphaflegu stæðuna aftur.

Dæmi 2.

Þáttaðu stæðuna. $6y^2+y-15$

Hér er a = 6, b = 1 og c = -15, þannig að ac = -90. $a\cdot c=6\cdot (-15)=-90$

Tölurnar 10 og -9 hafa margfeldið -90 og summuna 1. $10(-9)=-90$ $10+(-9)=1$

Dæmi 3.

Þáttaðu stæðuna. $48z^3-102z^2-45z$

Byrjaðu á því að taka 3z út fyrir sviga sem stærsta samdeili.

Fyrir þríliðinn inni í sviganum er ac = -240. $16\cdot (-15)=-240$

Tölurnar 6 og -40 hafa margfeldið -240 og summuna -34. $6(-40)=-240$ $6+(-40)=-34$

Stundum lítur stæðan ekki strax út eins og þríliður á forminu ax í öðru veldi plús bx plús c. Þá má nota innsetningu. Algengt er að láta u standa fyrir þann hluta stæðunnar sem endurtekur sig. $a{u}^2+bu+c$

Stærðin u getur til dæmis verið veldi eins og x í öðru veldi eða svigi eins og x mínus 3. $u=x^2$ $u=x-3$

Dæmi 4.

Þáttaðu með innsetningu. $y^4-y^2-20$

Láttu u = y í öðru veldi. Þá verður y í fjórða veldi jafnt u í öðru veldi.

$u=y^2$

Dæmi 5.

Þáttaðu með innsetningu. ${(x-5)}^2+6(x-5)+8$

Láttu u = x - 5. $u=x-5$

Dæmi 6.

Þáttaðu með innsetningu. $x^4-3x^2-28$

Láttu u = x í öðru veldi. $u=x^2$

Ac-aðferðin er skipuleg leið til að þátta þríliði. Hún er líka oft tengd þáttun með hópun, því miðliðnum er skipt áður en liðunum er hópað.

Dæmi 1: Þáttaðu með ac-aðferðinni. $6x^2+7x+2$

Innsetning hjálpar þegar sama stæða kemur fyrir tvisvar, til dæmis sem liður og síðan í öðru veldi. Þá má þátta einfaldari þrílið fyrst og setja upprunalegu stæðuna aftur inn í lokin.

Dæmi 2: Þáttaðu með innsetningu. $x^4-4x^2-5$