77.15 Topppunktsform

7.15.2 Topppunktsformið

Verkefni

Hér eru tvö sett af jöfnum fyrir annars stigs föll sem þú hefur séð áður. Í hverju setti eru stæðurnar sem ákvarða úttakið jafngildar. Með öðrum orðum skilgreina allar jöfnurnar í setti 1 sama fallið. Sama gildir um sett 2: allar jöfnurnar skilgreina sama fall, en þær eru ritaðar á mismunandi formum.

Sett 1:

\begin{array}{rcl} f (x) & = & x^{2} + 4 x \\ g (x) & = & x (x + 4) \\ h (x) & = & (x + 2)^{2} - 4 \end{array}

Sett 2:

\begin{array}{rcl} p (x) & = & - x^{2} + 6 x - 5 \\ q (x) & = & (5 - x) (x - 1) \\ r (x) & = & - 1 (x - 3)^{2} + 4 \end{array}

Stæðan sem skilgreinir $h$ er rituð á topppunktsformi. Við getum sýnt að hún sé jafngild stæðunni sem skilgreinir $f$ með því að margfalda upp úr svigum og einfalda stæðuna:

\begin{array}{rcl} (x + 2)^{2} - 4 & = & (x + 2) (x + 2) - 4 \\ = & x^{2} + 2 x + 2 x + 4 - 4 \\ = & x^{2} + 4 x \end{array}

Ef þessi einfaldaða stæða er þáttuð, fáum við stæðuna sem skilgreinir fallið $g$ : $x^{2} + 4 x = x (x + 4)$ . Stæðan sem skilgreinir $g$ er rituð á þáttuðu formi. Einfaldaða stæðan sem skilgreinir fallið $f$ er rituð á staðalformi.

1. Sýndu að stæðurnar sem skilgreina $r$ og $p$ séu jafngildar.

Lausn

Þegar margfaldað er upp úr svigum og fallið $r$ einfaldað fæst:

\begin{array}{rcl} - 1 (x - 3)^{2} + 4 & = & - 1 (x^{2} - 6 x + 9) + 4 \\ = & - x^{2} + 6 x - 9 + 4 \\ = & - x^{2} + 6 x - 5 \end{array}

Í spurningum 2-3 skaltu skoða gröfin sem tákna annars stigs föllin.

Graf fallsins h með topppunktinn (-2, -4).

2. Skoðaðu graf fallsins $h$ .

a. Hvert er x-hnit topppunktsins á grafi $h$ ?

Lausn

$- 2$

b. Hvert er y-hnit topppunktsins á grafi $h$ ?

Lausn

$- 4$

Graf fallsins r með topppunktinn (3, 4).

3. Skoðaðu graf fallsins $r$ .

a. Hvert er x-hnit topppunktsins á grafi $r$ ?

Lausn

$3$

b. Hvert er y-hnit topppunktsins á grafi $r$ ?

Lausn

$4$

4. Hvers vegna heldur þú að stæður eins og þær sem skilgreina $h$ og $r$ séu sagðar vera ritaðar á topppunktsformi?

Lausn

Tölurnar í topppunktsforminu virðast gefa hnit topppunkts grafsins. Þegar jákvæð tala er lögð við x inni í sviganum virðist x-hnit topppunktsins vera neikvætt, það er gagnstæð tala. Þegar tala er dregin frá x virðist x-hnit topppunktsins vera jákvætt, líka gagnstætt því sem stæðan sýnir við fyrstu sýn.

Af hverju skiptir þetta máli?

Hönd heldur á spjaldtölvu sem sýnir skýringarmynd af kasthreyfingu: fallbyssa skýtur kúlu undir horninu θ eftir bogadreginni braut. Lárétta vegalengdin er merkt s og hæð kúlunnar frá jörðu er merkt h.

Þegar hlutur er skotinn eða honum kastað fer hann ekki eftir beinni línu. Í staðinn fylgir hann bogadreginni braut sem kallast fleygbogi. Þess vegna þarf að taka tillit til vegalengdar, hæðar og horns ef markmiðið er að hitta í skotmark. Nota má annars stigs jöfnur til að finna þessar stærðir.

Næst þegar þú kastar bolta skaltu hugsa um fleygbogabrautina sem hann fylgir.

Sjálfspróf

Hvaða jafna er jafngild $y = (x - 3)^{2} - 9$ ?

$y = x^{2} + 6 x - 9$
$y = x^{2} - 6 x$
$y = x^{2} - 3 x - 9$
$y = x^{2} - 18$

Viðbótarefni

Jafngild form annars stigs falla

Annars stigs föll má rita á mismunandi jafngildum formum:

Staðalform: $y = a x^{2} + b x + c$
Þáttað form: $y = (x + a) (x + b)$
Topppunktsform: $y = a (x - h)^{2} + k$

Dæmi

Ritaðu $y = (x + 2)^{2} - 9$ á staðalformi og þáttuðu formi.

Svona finnur þú jafngilt staðalform:

Skref 1 - Margfaldaðu upp úr topppunktsforminu til að margfalda tvíliðurnar.

y = (x + 2) (x + 2) - 9

Skref 2 - Margfaldaðu tvíliðurnar.

y = x^{2} + 2 x + 2 x + 4 - 9

Skref 3 - Dragðu saman líka liði.

y = x^{2} + 4 x - 5

Svona finnur þú þáttaða formið:

Skref 1 - Út frá staðalforminu skaltu finna þætti þríliðunnar $y = x^{2} + 4 x - 5$ .

Skref 2 - Skoðaðu þríliðuna.

x^{2} + 4 x - 5

Skref 3 - Þáttaðu þríliðuna.

(x + 5) (x - 1)

Þáttaða formið er $y = (x + 5) (x - 1)$ .

Reyndu þetta

Jafngild form annars stigs falla

Finndu jöfnuna á staðalformi sem er jafngild $y = (x - 2)^{2} + 4$ .

Lausn

Svona finnur þú jafngilt staðalform:

Skref 1 - Margfaldaðu upp úr topppunktsforminu til að margfalda tvíliðurnar.

y = (x - 2) (x - 2) + 4

Skref 2 - Margfaldaðu tvíliðurnar.

y = x^{2} - 2 x - 2 x + (4 + 4)

Skref 3 - Dragðu saman líka liði.

y = x^{2} - 4 x + 8