77.15 Topppunktsform

7.15.3 Hnit topppunktsins

Verkefni

Í spurningum 1-2 skaltu nota Desmos-grafteikniverkfærið eða annað tæknitæki utan námskeiðsins.

1. Teiknaðu grafið $y = x^{2}$ . Bættu síðan mismunandi tölum við x áður en stæðan er sett í annað veldi, til dæmis $y = {(x + 4)}^{2}$ og $y = {(x - 3)}^{2}$ , og athugaðu hvernig grafið breytist.

Lausn

Þegar tala er lögð við x hliðrast grafið til vinstri. Þegar tala er dregin frá x, eða neikvæð tala lögð við x, hliðrast grafið til hægri. Topppunkturinn helst á x-ásnum.

2. Teiknaðu grafið $y = {(x - 1)}^{2}$ . Prófaðu síðan hverja af eftirfarandi breytingum á fallinu og skoðaðu hvernig þær hafa áhrif á grafið og topppunktinn.

a. Bættu mismunandi fastaliðum við ${(x - 1)}^{2}$ , til dæmis $y = {(x - 1)}^{2} + 5$ og $y = {(x - 1)}^{2} - 9$ .

Lausn

Þegar fastalið er lagt við hliðrast grafið upp; þegar fastaliður er dreginn frá hliðrast grafið niður. x-hnit topppunktsins breytist ekki.

b. Margfaldaðu ${(x - 1)}^{2}$ með mismunandi stuðlum, til dæmis $y = 3 {(x - 1)}^{2}$ , $y = - 2 {(x - 1)}^{2}$ og $y = 0,5 {(x - 1)}^{2}$ .

Lausn

Stuðullinn fyrir framan ferningsliðinn breytir ekki topppunktinum, en hann breytir opnun grafsins: grafið verður breiðara eða mjórra, eða opnast upp eða niður.

3. Finndu hnit topppunktsins fyrir $y = {(x + 10)}^{2}$ án þess að teikna grafið og ákvarðaðu hvort grafið opnast upp eða niður.

a. Hvert er x-hnit topppunktsins?

b. Hvert er y-hnit topppunktsins?

c. Opnast grafið upp eða niður?

Lausn

x-hnit topppunktsins er -10.

y-hnit topppunktsins er 0.

Grafið opnast upp. Ferningsliðurinn hefur jákvæðan stuðul, 1.

4. Finndu hnit topppunktsins fyrir $y = {(x - 4)}^{2} + 8$ án þess að teikna grafið og ákvarðaðu hvort grafið opnast upp eða niður.

a. Hvert er x-hnit topppunktsins?

b. Hvert er y-hnit topppunktsins?

c. Opnast grafið upp eða niður?

Lausn

x-hnit topppunktsins er 4.

y-hnit topppunktsins er 8.

Grafið opnast upp. Ferningsliðurinn hefur jákvæðan stuðul, 1.

Hvaða mynstur sérðu? Geturðu notað þessar hugmyndir til að finna topppunkt næstu jöfnu? Hvað veistu um hvort grafið opnast upp eða niður?

5. Finndu hnit topppunktsins fyrir $y = - {(x - 4)}^{2} + 8$ án þess að teikna grafið og ákvarðaðu hvort grafið opnast upp eða niður.

a. Hvert er x-hnit topppunktsins?

b. Hvert er y-hnit topppunktsins?

c. Opnast grafið upp eða niður?

Lausn

x-hnit topppunktsins er 4.

y-hnit topppunktsins er 8.

Grafið opnast niður. Ferningsliðurinn hefur neikvæðan stuðul, -1.

6. Næsta jafna, $y = x^{2} - 7$ , lítur aðeins öðruvísi út en þær fyrri. Notaðu það sem þú hefur lært til að finna hnit topppunktsins og ákvarða hvort grafið opnast upp eða niður.

a. Hvert er x-hnit topppunktsins?

b. Hvert er y-hnit topppunktsins?

c. Opnast grafið upp eða niður?

Lausn

x-hnit topppunktsins er 0.

y-hnit topppunktsins er -7.

Grafið opnast upp. Ferningsliðurinn hefur jákvæðan stuðul, 1.

7. Halda mynstrin sem þú sást áfram að virka? Prófaðu að beita þeim á eftirfarandi jöfnur.

a. Fyrir jöfnuna $y = \frac{1}{2} {(x + 3)}^{2} - 5$ , hvert er x-hnit topppunktsins?

b. Fyrir sömu jöfnu, hvert er y-hnit topppunktsins?

c. Opnast grafið upp eða niður?

Lausn

x-hnit topppunktsins er -3.

y-hnit topppunktsins er -5.

Grafið opnast upp. Ferningsliðurinn hefur jákvæðan stuðul, ½.

d. Fyrir jöfnuna $y = - {(x + 100)}^{2} + 50$ , hvert er x-hnit topppunktsins?

e. Fyrir sömu jöfnu, hvert er y-hnit topppunktsins?

f. Opnast grafið upp eða niður?

Lausn

x-hnit topppunktsins er -100.

y-hnit topppunktsins er 50.

Grafið opnast niður. Ferningsliðurinn hefur neikvæðan stuðul, -1.

Berðu svörin við spurningum 3-7 saman í töflunni.

Jafna	Hnit topppunkts	Opnast grafið upp eða niður?
$y = {(x + 10)}^{2}$	(-10, 0)	Upp
$y = {(x - 4)}^{2} + 8$	(4, 8)	Upp
$y = - {(x - 4)}^{2} + 8$	(4, 8)	Niður
$y = x^{2} - 7$	(0, -7)	Upp
$y = \frac{1}{2} {(x + 3)}^{2} - 5$	(-3, -5)	Upp
$y = - {(x + 100)}^{2} + 50$	(-100, 50)	Niður
$y = a {(x + m)}^{2} + n$	a. ___, b. ___	c. ___

Taflan inniheldur nú allar jöfnurnar úr spurningum 3-7, auk einnar raðar til viðbótar. Notaðu upplýsingarnar til að svara spurningu 8. Hjálpa mynstrin þér að fylla út síðustu röðina?

8. Notaðu útfylltu raðir töflunnar til að setja fram tilgátu um hnit topppunktsins í síðustu röðinni og hvort fleygboginn opnast upp eða niður.

a. Fyrir jöfnuna $y = a {(x + m)}^{2} + n$ , hvert er x-hnit topppunktsins?

b. Fyrir sömu jöfnu, hvert er y-hnit topppunktsins?

c. Er hægt að ákvarða út frá þessum upplýsingum hvort grafið opnast upp eða niður?

Lausn

x-hnit topppunktsins er -m.

y-hnit topppunktsins er n.

Nei. Opnunarstefnan veltur á því hvort a er jákvætt eða neikvætt.

Viltu prófa meira?

Að víkka hugsunina

Skoðaðu grafið hér að neðan og notaðu það til að svara spurningum 1-3.

Graf fleygboga með punktunum (0, 14), (2, -2) og (5, 4).

1. Hvert er x-hnit topppunktsins á þessu grafi?

Lausn

2. Hvert er y-hnit topppunktsins á þessu grafi?

Lausn

-4

3. Hvaða annars stigs jafna passar best við fallið á grafinu?

Lausn

Svar: $y = 2 {(x - 3)}^{2} - 4$ . Jafnan $y = {(x - 3)}^{2}$ - 4 hefur topppunkt í (3, -4). Grafið sem sýnt er hefur skurðpunkt við y-ás í (0, 14), sem gengur ekki upp fyrir jöfnuna $y = {(x - 3)}^{2}$ - 4. Jafnan $y = 2 {(x - 3)}^{2} - 4$ virðist passa. Þegar $x = 0$ er y-gildið $2 {(0 - 3)}^{2} - 4 = 14$ .

Myndband: topppunktsform annars stigs falls

Horfðu á myndbandið í upprunalega efninu til að læra meira um topppunktsform annars stigs falls.

Sjálfspróf

Finndu topppunktinn fyrir $y = 3 {(x - 2)}^{2} - 5$ .

(2,5)
(-2,-5)
(2,-5)
(3,-5)

Viðbótarefni

Að nota topppunktsform

Topppunktsform annars stigs falls er sýnt hér:

y = a {(x - h)}^{2} + k

Topppunktsform annars stigs falls merkt með hlutverkum a, h og k.

Taktu eftir að gildi h birtist með gagnstæðu formerki inni í sviganum. Þetta getur virst einkennilegt: þegar k er lagt við færist topppunktur fleygbogans upp um k einingar. En þegar h er dregið frá inni í ferningsliðnum færist topppunkturinn til hægri um h einingar, ekki til vinstri.

Skoðum hvers vegna. Við vitum að y-hnit topppunktsins er $y = k$ . Til að fá það gildi í jöfnunni þarf $a {(x - h)}^{2}$ að vera núll, því þá verður $y = k$ . Setjum $a {(x - h)}^{2} = 0$ . Þetta gerist þegar $x - h = 0$ , það er þegar $x = h$ . Þess vegna er h x-hnit topppunktsins.

\begin{array}{rcl} y & = & k \\ a {(x - h)}^{2} & = & 0 \\ x - h & = & 0 \\ x & = & h \end{array}

Dæmi

Finndu topppunktinn fyrir $y = 3 {(x - 4)}^{2} - 2$ .

Fleygboginn hliðrast til hægri um 4 og niður um 2. Lárétta hliðrunin er gagnstæð því sem stæðan virðist sýna í fyrstu.

Topppunkturinn er því í (4, -2).

Reyndu þetta

Að nota topppunktsform

Finndu topppunktinn fyrir $y = {(x - 2)}^{2} + 5$ .

Lausn

Svona finnur þú topppunktinn:

Annars stigs fallið hliðrast til hægri um 2 og upp um 5. Topppunkturinn er í (2, 5).