77.3 Að ákvarða hvort fall sé annars stigs

7.3.2 Jöfnur ritaðar fyrir mynstur með ferningum

Verkefni

Þrjú skref í vaxandi mynstri úr ferningum. Í skrefi 1 er einn ferningur í miðju og fjórir ferningar við hornin. Í skrefi 2 eru fjórir ferningar í miðju, tveir og tveir, og fjórir ferningar við hornin. Í skrefi 3 eru níu ferningar í miðju, þrír og þrír, og fjórir ferningar við hornin.

1. Ef mynstrið heldur áfram, hvað sést í skrefi 5 og skrefi 18?

a. Teiknaðu myndina í hvoru skrefi eða lýstu henni með orðum.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Í skrefi 5 eru 25 litlir ferningar í 5 sinnum 5 uppröðun, auk fjögurra lítilla ferninga við hornin. Í skrefi 18 eru litlu ferningarnir í miðjunni í 18 sinnum 18 uppröðun, auk fjögurra lítilla ferninga við hornin. $18 squared$

b. Hversu margir litlir ferningar eru í hvoru þessara skrefa? Útskýrðu hvernig þú veist það.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Skref 5 hefur 29 ferninga, því það er hægt að reikna fjöldann svona: $5 squared plus 4$

$(5 \cdot 5) + 4$

Skref 18 hefur 328 ferninga, því það er hægt að reikna fjöldann svona: $18 squared plus 4$

$(18 \cdot 18) + 4$

2. Ritaðu jöfnu sem sýnir sambandið milli númers skrefsins, $n$ , og fjölda ferninga, $y$ . Gættu þess að geta útskýrt hvernig hver hluti jöfnunnar tengist mynstrinu. Ef þú festist, prófaðu að gera töflu.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: $y = n^{2} + 4$

Jafngild jafna kemur líka til greina. Liðurinn hér að neðan táknar fjölda lítilla ferninga í miðju mynstrinu, þar sem þeir mynda $n$ sinnum $n$ stóran ferning. Talan 4 táknar fjóra litla ferninga sem bætast við hornin. $n^{2}$

3. Teiknaðu fyrstu þrjú skrefin í mynstri sem hægt er að tákna með jöfnunni: $y = n^{2} - 1$

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Ein möguleg lýsing er n sinnum n uppröðun ferninga þar sem einn ferning vantar efst til hægri. Fyrsta skrefið hefur þá enga ferninga, því þar er: $n equals 1$

Mynstur úr ferningum. Skref 1 hefur enga ferninga. Skref 2 hefur tvo ferninga í einum dálki og einn ferning í öðrum dálki. Skref 3 hefur tvo dálka með þremur ferningum hvor og einn dálk með tveimur ferningum.

Meira til umhugsunar

Fyrir upprunalega mynstrið hér að ofan, ritaðu jöfnu sem sýnir sambandið milli númers skrefsins, $n$ , og ummálsins, $P$ . $y = n^{2} + 4$

Lausn

Berðu saman svarið þitt: $P = 4 n + 16$

Fyrir mynstrið sem þú bjóst til í 3. lið, ritaðu jöfnu sem sýnir sambandið milli númers skrefsins, $n$ , og ummálsins, $P$ . $y = n^{2} - 1$

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Ef mynstrið er $n$ sinnum $n$ uppröðun ferninga þar sem ferning vantar í horninu, má lýsa ummálinu svona: $P equals 0$ , $n equals 1$ ; $P equals 4 n$ , $n is greater than 1$ .

Eru þessi ummálsföll línuleg?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Já. Í báðum tilvikum eru ummálsföllin línuleg.

Viðbótarefni

Mynstur táknuð með annars stigs föllum

Skoðaðu skref 1 til 3 í mynstrinu úr ferningum hér fyrir neðan. Ritaðu jöfnu sem sýnir sambandið milli númers skrefsins, $n$ , og fjölda ferninga, $y$ .

Mynstur úr ferningum. Skref 1 hefur einn dálk með þremur ferningum. Skref 2 hefur tvo dálka með sex ferningum í hvorum dálki. Skref 3 hefur þrjá dálka með níu ferningum í hverjum dálki.

Gerðu töflu fyrir fjölda dálka, fjölda raða og fjölda ferninga í hverju skrefi.

Skref	Fjöldi dálka	Fjöldi raða	Fjöldi ferninga
1	1	3	3
2	2	6	12
3	3	9	27
$n$	$n$	$3 n$	$3 n squared$

Fyrst er fjöldi dálka talinn. Í hverju skrefi eru $n$ dálkar.

Næst er fjöldi raða talinn. Í hverju skrefi eru $3 n$ raðir.

Flatarmál myndarinnar er lengd sinnum hæð: $l \times h$

$n times 3 n$

Því verður jafnan: $y equals 3 n squared$

Reyndu þetta

Mynstur táknuð með annars stigs föllum

Skoðaðu skref 1 til 3 í öðru mynstri úr ferningum. Ritaðu jöfnu sem sýnir sambandið milli númers skrefsins, $n$ , og fjölda ferninga, $y$ .

[Sýna/fela lausn]

Lausn

Hér er ein leið til að tákna mynstrið með annars stigs jöfnu.

Skref	Fjöldi dálka	Fjöldi raða	Fjöldi ferninga
1	0	0	0
2	2	2	3
3	3	3	8
$n$	$n$	$n$	$n squared minus 1$

$n squared minus 1$

Fyrir þetta mynstur væri flatarmálið fjöldi dálka sinnum fjöldi raða, en síðan er einn ferningur dreginn frá. Í skrefi 1 hefði verið einn 1 sinnum 1 ferningur, en hann er dreginn frá með jöfnunni. $1 times 1$

Jafnan er því: $y = n^{2} - 1$