8.10.3 Notkun tækni til að finna ræða þætti

Verkfræðingur er að hanna gosbrunn sem skýtur upp vatnsdropum. Stúturinn sem vatnið kemur úr er 3 metra yfir jörðu. Vatnsdropi fer úr stútnum með lóðréttan upphafshraða 9 metra á sekúndu.

Fallið h lýsir hæð vatnsdropans í metrum, h, t sekúndum eftir að hann fer úr stútnum. Fallið er skilgreint með jöfnunni:

Hve margar sekúndur líða þar til vatnsdropinn lendir á jörðinni?

1. 1. Skrifaðu jöfnu sem hægt er að leysa til að svara spurningunni.

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   $$-5t^2+9t+3=0$$

2. 2. Reyndu að leysa jöfnuna með því að skrifa stæðuna á þáttuðu formi og nota núllþáttaregluna. Ef ekki er hægt að þátta stæðuna skaltu útskýra hvernig þú komst að þeirri niðurstöðu.

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   Engin samsetning heiltöluþátta forystustuðulsins, −5, og fastaliðarins, 3, gefur miðliðinn 9. Því er stæðan óþættanleg yfir heiltölum og ekki hægt að skrifa hana á þáttuðu formi með heiltölum.

3. 3. Leysdu jöfnuna með því að teikna graf fallsins.

   Notaðu grafteikniverkfæri á borð við Desmos eða aðra tækni utan námskerfisins.

   Útskýrðu hvernig þú fannst lausnina.

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   Um það bil 2 sekúndur. Grafið sýnir tvo skurðpunkta við x-ás, annan með jákvæðu x-hniti og hinn með neikvæðu x-hniti. Neikvæði skurðpunkturinn á ekki við hér, því tími í sekúndum getur ekki verið neikvæður.

   $$(\mathrm{2,087},0)$$

   Þetta þýðir að vatnsdropinn er um það bil 2 sekúndur að lenda á jörðinni.

   

Notkun tækni til að finna ræða þætti

Við skulum nota grafteiknitækni til að leysa dæmi um annars stigs fall sem ekki er hægt að leysa með þáttun.

Þykkur burðarvír úr stáli á byggingarsvæði myndar boga. Hann er festur efst á súlu, liggur upp í gegnum lykkju á háum punkti og liggur síðan aftur niður að jörðu.

Hæð vírsins í metrum er táknuð með fallinu:

Hér táknar x lárétta fjarlægð frá súlunni, í metrum.

Hve langt frá súlunni festist vírinn við jörðina?

Fyrsta skrefið væri að setja fallið jafnt og 0 og reyna að þátta. Þar sem ekki er hægt að þátta þessa jöfnu notum við grafteiknitækni.

Teiknum graf fallsins með jöfnunni:

Við sjáum að fallið hefur núllstöð við $x=\mathrm{4,291}$. Skurðpunkturinn við x-ás er $(\mathrm{4,291},0)$.

Þetta þýðir að vírinn festist við jörðina 4,291 metra frá súlunni.

Hvað annað segir grafið okkur um stálvírskerfið?

Grafið sýnir einnig að vírinn festist við súluna 5 metra yfir jörðu við skurðpunktinn við y-ás og að lykkjan er um það bil 21 metra há í topppunkti fleygbogans.

Prófaðu

Hæð eldflaugar í metrum eftir skot er lýst með fallinu hér fyrir neðan, þar sem t er fjöldi sekúndna eftir skot.

Hve margar sekúndur líða þar til eldflaugin nær jörðu?

Lausn

Svona má leysa dæmið með grafteiknitækni:

Þar sem ekki er hægt að þátta stæðuna ætti að teikna graf hennar.

Fallið hefur núllstöð við $x=\mathrm{7,14}$. Skurðpunkturinn við x-ás er $(\mathrm{7,14},0)$.

Þetta þýðir að eldflaugin er á flugi í 7,14 sekúndur áður en hún nær jörðu.