8.9.2 Notkun þáttaðs forms og núllþáttareglu til að leysa annars stigs jöfnur

Til að leysa jöfnuna $n^2-2n=99$ skrifaði Tyler eftirfarandi skref. Greindu vinnu Tylers með því að útskýra hvað hann gerði í hverju skrefi.

Upphafleg jafna:

1. Skref 1:

   $$n^2-2n-99=0$$
   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   Tyler dró 99 frá báðum hliðum.

2. Skref 2:

   $$(n-11)(n+9)=0$$
   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   Tyler umritaði vinstri hliðina á þáttað form.

3. Skref 3:

   $n-11=0$ eða $n+9=0$

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   Tyler beitti núllþáttareglunni, sem leiðir til tveggja aðskilinna jafna.

4. Skref 4:

   $n=11$ og $n=-9$

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   Tyler leysti hvora jöfnu fyrir sig með því að framkvæma sömu aðgerð á báðum hliðum.

Fyrir spurningar 5–9 skaltu leysa hverja jöfnu með því að umrita hana á þáttað form og nota núllþáttaregluna.

5. 5.

   $$x^2+8x+15=0$$
   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   Lausnirnar eru $x=-3$ og $x=-5$, vegna þess að þáttaða jafnan er $(x+3)(x+5)=0$.

6. 6.

   $$x^2-8x+12=5$$
   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   Lausnirnar eru $x=7$ og $x=1$, vegna þess að þáttaða jafnan er $(x-7)(x-1)=0$.

7. 7.

   $$x^2-10x-11=0$$
   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   Lausnirnar eru $x=11$ og $x=-1$, vegna þess að þáttaða jafnan er $(x-11)(x+1)=0$.

8. 8.

   $$49-x^2=0$$
   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   Lausnirnar eru $x=7$ og $x=-7$, vegna þess að þáttaða jafnan er $(7-x)(7+x)=0$.

9. 9.

   $$(x+4)(x+5)-30=0$$
   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   Lausnirnar eru $x=-10$ og $x=1$, vegna þess að þáttaða jafnan er $(x+10)(x-1)=0$.

Að dýpka hugsunina

Leystu þessa jöfnu og útskýrðu eða sýndu rökstuðning þinn.

Lausn

Berðu saman svarið þitt. Lausnirnar eru $x=5$, $x=-4$ og $x=\frac{9}{7}$.

Þáttun hverrar annars stigs stæðu gefur:

$$(x-5)(x+4)(x-1)(x+3)=(x+4)(x-2)(x-5)(x-3)$$

Skref 1 - Skrifum jöfnuna þannig að hún sé jöfn 0:

$$(x-5)(x+4)(x-1)(x+3)-(x+4)(x-2)(x-5)(x-3)=0$$

Skref 2 - Þættirnir $x-5$ og $x+4$ koma fyrir í báðum liðum. Við getum því tekið þá út fyrir sviga fremst í stæðunni:

$$(x-5)(x+4)\left[\right(x-1\left)\right(x+3)-(x-2\left)\right(x-3\left)\right]=0$$

Skref 3 - Nú notum við núllþáttaregluna, setjum hvern þátt jafnan 0 og leysum.

$$(x-5)=0,x=5$$

$$(x+4)=0,x=-4$$

$$\left[\right(x-1\left)\right(x+3)-(x-2\left)\right(x-3\left)\right]=0$$

Síðasta jafnan krefst aðeins meiri vinnu:

$$\begin{array}{rcl}{x}^2+2x-3-(x^2-5x+6)& =& 0\\ x^2+2x-3-x^2+5x-6& =& 0\\ 7x-9& =& 0\\ 7x& =& 9\\ x& =& \frac{9}{7}\end{array}$$

Lausn fyrstu stigs jöfnunnar er því $x=\frac{9}{7}$.

Við höfum séð annars stigs jöfnur á mörgum mismunandi formum. Skoðum dæmi þar sem við finnum þáttað form og notum síðan núllþáttaregluna til að leysa jöfnuna.

Dæmi 1

Leystu jöfnuna:

Skref 1 - Stilltu jöfnuna þannig að hún sé jöfn 0 með því að leggja 10 við báðar hliðar.

Skref 2 - Finndu þáttaða formið. Hvaða tölur hafa margfeldið −40 og summuna 3?

Skref 3 - Notaðu núllþáttaregluna. Settu hvorn þátt jafnan 0 og leystu.

$$\begin{array}{rcl}(x+8)& =& 0\\ x& =& -8\\ (x-5)& =& 0\\ x& =& 5\end{array}$$

Lausnirnar eru $x=-8,x=5$.

Dæmi 2

Leystu jöfnuna:

Skref 1 - Stilltu jöfnuna þannig að hún sé jöfn 0 með því að leggja 15 við báðar hliðar.

Skref 2 - Finndu þáttaða formið. Hvaða tölur hafa margfeldið 36 og summuna 12?

Skref 3 - Notaðu núllþáttaregluna. Þættirnir eru eins, þannig að aðeins ein lausn fæst.

$$\begin{array}{rcl}(x+6)& =& 0\\ x& =& -6\end{array}$$

Eina lausnin er $x=-6$.

Prófaðu

1. Leystu jöfnuna:

   $$z^2-5z-48=-12$$
   Lausn

   Leystu hana með þáttuðu formi og núllþáttareglunni:

   $$\begin{array}{rcl}{z}^2-5z-36& =& 0\\ (z-9)(z+4)& =& 0\\ z& =& 9,-4\end{array}$$

2. Leystu jöfnuna:

   $$p^2-3p-108=-20$$
   Lausn

   Leystu hana með þáttuðu formi og núllþáttareglunni:

   $$\begin{array}{rcl}{p}^2-3p-88& =& 0\\ (p-11)(p+8)& =& 0\\ p& =& 11,-8\end{array}$$