8.9.3 Ritun jöfnu sem lýsir annars stigs falli með aðeins eina lausn

Í fyrri kennslustundum sáum við að annars stigs jafna getur haft enga, eina eða tvær lausnir.

1. Rissaðu gröf sem sýna þrjú annars stigs föll: eitt sem hefur engar núllstöðvar, eitt sem hefur eina núllstöð og eitt sem hefur tvær núllstöðvar.

   Lausn

   Berðu saman svörin þín:

   Engar núllstöðvar:

   

   Ein núllstöð:

   

   Tvær núllstöðvar:

   

2. Teiknaðu graf fallsins sem er skilgreint með $f\left(x\right)=x^2-2x+1$. Skoðaðu skurðpunkta grafsins við x-ásinn. Notaðu Desmos eða annað grafteikniverkfæri.

   Útskýrðu hvað skurðpunktarnir við x-ásinn segja um fallið.

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   Grafið sker x-ásinn aðeins í einum punkti: $(1,0)$. Fallið hefur því aðeins eina núllstöð.

3. Leystu jöfnuna $x^2-2x+1=0$ með því að nota þáttað form og núllþáttaregluna. Hvaða lausn færðu?

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   Umritaðu staðalformið á þáttað form: $(x-1)(x-1)=0$. Lausnirnar eru $x=1$ og $x=1$. Þar sem gildin tvö eru eins segjum við að jafnan hafi eina lausn og að x = 1 sé tvöföld rót jöfnunnar.

4. Reyndu að finna annað annars stigs fall sem þú heldur að hafi aðeins eina núllstöð. Teiknaðu grafið til að athuga spána þína og skráðu síðan lokasvarið.

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   Til dæmis: $f\left(x\right)=(x+4)(x+4)$. Þegar graf fallsins er teiknað hefur það aðeins eina núllstöð, við $x=-4$.

Að bera kennsl á fjölda núllstöðva

Hversu margar núllstöðvar hefur graf fallsins $f\left(x\right)=x^2+5x-14$? Hvernig geturðu komist að því án þess að teikna grafið?

Við finnum þáttað form fallsins og leysum það.

Skref 1 - Settu fallið jafnt og 0.

Skref 2 - Finndu þáttaða formið.

Skref 3 - Settu hvorn þátt jafnan 0 og leystu.

Þar sem lausnirnar eru tvær vitum við að fallið hefur núllstöðvar við x = −7 og x = 2. Með öðrum orðum eru skurðpunktar fallsins við x-ásinn $(-7,0),(2,0)$.

Fyrir hvaða fall sem er jafngildir fjöldi lausna fjölda núllstöðva þegar grafið er teiknað.

Að rita jöfnu fyrir annars stigs fall með einni lausn

Við getum líka fundið annars stigs fall ef við þekkjum núllstöðvarnar. Ef við viljum rita annars stigs fall með eina núllstöð eða eina lausn, notum við endurtekinn þátt.

Sérhvert þáttað form með endurteknum þætti hefur aðeins eina lausn eða eina núllstöð, til dæmis $(x-3)(x-3)$.

Við getum teiknað graf fallsins $f\left(x\right)=(x-3)(x-3)$ til að athuga spána okkar.

Við vitum að lausnin er $x=3$. Umritum fallið á staðalform.

Þáttað form:

Margföldum til að finna staðalform:

Graf fallsins hefur eina núllstöð við x = 3. Skurðpunktur fallsins við x-ásinn er $(3,0)$. Sagt er að jafnan hafi tvöfalda rót í þessum punkti, þannig að spáin okkar var rétt.

Prófaðu

1. Ritaðu annars stigs fall á staðalformi þar sem grafið hefur tvær núllstöðvar.

   Lausn

   Þættirnir í þáttuðu formi eru þá ekki eins. Við gætum notað $f\left(x\right)=(x+5)(x+2)$.

   Margföldum til að finna staðalform:

   $$f\left(x\right)=x^2+7x+10$$

   Graf fallsins hefur tvær núllstöðvar. Skurðpunktarnir við x-ásinn verða $(-5,0),(-2,0)$.

2. Ritaðu annars stigs fall á staðalformi þar sem grafið hefur eina núllstöð.

   Lausn

   Þættirnir í þáttuðu formi eru þá eins. Við gætum notað $f\left(x\right)=(x+10)(x+10)$.

   Margföldum til að finna staðalform:

   $$f\left(x\right)=x^2+20x+100$$

   Graf fallsins hefur eina núllstöð. Skurðpunkturinn við x-ásinn verður $(-10,0)$.