99.11 Notkun annars stigs stæðna á topppunktsformi til að leysa verkefni

9.11.3 Samanburður á hágildum annars stigs falla

9.11.3 • Samanburður á hágildum annars stigs falla

Verkefni

Fallið A, skilgreint með $p (600 - 75 p)$ , lýsir tekjum af miðasölu fyrir sýningu A, söngleik.

Grafið sýnir fallið B sem lýsir tekjum af miðasölu fyrir sýningu B, gamanleik eftir Shakespeare.

A parabola on a coordinate grid representing function B. The x-axis represents the ticket price in dollars and the y-axis represents the revenue in dollars. The x-axis scale is 1 and extends from 0 to 8. The y-axis scale is 100 and extends from 0 to 1,400.

Í báðum föllum táknar $p$ verð eins miða, og bæði tekjur og verð eru mæld í dollurum.

Án þess að teikna graf af A skaltu ákvarða hvor sýningin gefur hærri hágildistekjur þegar hver miði kostar $p$ dollara. Útskýrðu eða sýndu röksemdafærsluna.

Lausn

Sýning A gefur hærri hágildistekjur.

Hágildistekjur fyrir sýningu B eru 900 dollarar samkvæmt topppunkti grafsins. Fyrir sýningu A er stæðan $p (600 - 75 p)$ á þáttuðu formi. Hún sýnir að skurðpunktarnir við $x$ -ás eru $(0, 0)$ og $(8, 0)$ .

$p$ -hnit topppunktsins er mitt á milli 0 og 8, eða 4. Þegar 4 er sett inn fyrir $p$ í $p (600 - 75 p)$ fæst 1200, svo topppunkturinn er $(4, 1200)$ . Talan 1200 er stærri en 900.

Einnig má endurrita $p (600 - 75 p)$ á topppunktsformi sem $- 75 (p - 4)^{2} + 1200$ . Þá sést að topppunktur grafsins er $(4, 1200)$ og hágildistekjurnar eru 1200 dollarar.

Sjálfspróf

Fall, skilgreint með $p (600 - 60 p)$ , lýsir tekjum af miðasölu á tónleika þar sem $p$ er verð eins miða. Finndu hágildistekjurnar í dollurum.

1500
10
5
600

Viðbótarefni

Tekjur dagblaðs eru líkan af fallinu $R = p (- 2500 p + 159000)$ . Finndu hágildistekjurnar, þar sem $R$ táknar tekjur og $p$ táknar verð áskriftar að dagblaðinu.

Skref 1

Finndu skurðpunktana við $x$ -ás, það er þar sem $p = 0$ .

Fyrri skurðpunkturinn fæst þegar $p = 0$ , eða í punktinum $(0, 0)$ .

Seinni skurðpunkturinn fæst með því að leysa $- 2500 p + 159000 = 0$ . Þá er $- 2500 p = - 159000$ og $p = 63.6$ .

Skref 2

Finndu $p$ -hnit topppunktsins mitt á milli skurðpunktanna við $x$ -ás.

Topppunkturinn er mitt á milli $p = 0$ og $p = 63.6$ . Það gerist þegar $p = 31.8$ .

Skref 3

Skrifaðu fallið á staðalformi og settu $p = 31.8$ inn í það.

R = - 2500 p^{2} + 159000 p

R = - 2500 (31.8)^{2} + 159000 (31.8)

Hágildistekjurnar eru 2.528.100 dollarar þegar áskriftarverðið er 31,80 dollarar. Á grafinu samsvarar þetta topppunktinum $(31.8, 2528.1)$ , þar sem tekjur eru mældar í þúsundum dollara.

A parabola on a coordinate grid. The vertex (31.80, 2,528.1) has been labeled on the parabola. The x-axis represents the price, p, in dollars and the y-axis represents the revenue in thousands of dollars. The x-axis scale is 1 and extends from 0 to 8. The y-axis scale is 500 and extends from 0 to 3,000.

Að finna hágildistekjur

Gerum ráð fyrir að einingaverð farsímaframleiðslu í dollurum sé líkan af fallinu $p = 45 - 0.0125 x$ , þar sem $x$ er fjöldi framleiddra síma í þúsundum. Tekjur í þúsundum dollara eru táknaðar með $R = x p$ .

Svona má finna hágildistekjurnar:

Lausn

Skref 1

Finndu skurðpunktana við $x$ -ás.

$x = 0$ og $p = 45 - 0.0125 x$ gefur $x = 3600$ .

Skref 2

Finndu $x$ -hnit topppunktsins mitt á milli skurðpunktanna við $x$ -ás. Þetta er fjöldi framleiddra síma sem gefur hágildistekjur.

x = 1800

Skref 3

Finndu jöfnu fyrir $R$ og settu $x = 1800$ inn í hana til að finna hágildistekjurnar.

R = - 0.0125 x^{2} + 45 x

R = - 0.0125 (1800)^{2} + 45 (1800)

R = 40500