99.5 Annars stigs jöfnur með óræðum lausnum

9.5.2 Lausnir ritaðar sem ferningsrætur

9.5.2 • Lausnir ritaðar sem ferningsrætur

Verkefni

Leystu hverja jöfnu. Notaðu plús-mínusrithátt þegar það á við og ritaðu rætur á einfaldasta formi.

$x^{2} - 13 = - 12$
Lausn
Berðu saman svarið þitt: $x = \pm 1$
$(x - 6)^{2} = 0$
Lausn
Berðu saman svarið þitt: $x = 6$
$x^{2} + 9 = 0$
Lausn
Berðu saman svarið þitt:
Engin rauntölulausn.

Hingað til í þessu verkefni hefur þú fengist við rótarlausnir sem auðvelt var að einfalda. Stundum færðu rótarlausnir eins og $\sqrt{12}$ . Rifjum upp hvernig má einfalda erfiðari rætur með ferningstölum.

Skref 1 - Skoðaðu mismunandi leiðir til að þátta töluna undir rótarmerkinu.

Til dæmis má þátta 12 undir rótarmerkinu í $\sqrt{12}$ .

12 = 6 \cdot 2 og 12 = 4 \cdot 3

Skref 2 - Veldu þá þáttun tölunnar sem inniheldur ferningstölu. Ritaðu töluna undir rótarmerkinu með þeirri þáttun.

\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3}

Skref 3 - Rifjaðu upp þessa reglu:

\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}

\sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3}

Skref 4 - Einfaldaðu ferningstölurnar.

\sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}

Því er:

\sqrt{12} = 2 \sqrt{3}

$x^{2} = 18$
Lausn
Berðu saman svarið þitt: $x = \pm 3 \sqrt{2}$
$x^{2} + 1 = 18$
Lausn
Berðu saman svarið þitt: $x = \pm \sqrt{17}$
$(x + 1)^{2} = 18$
Lausn
Berðu saman svarið þitt: $x = - 1 \pm 3 \sqrt{2}$
(eða jafngild lausn)

Sjálfspróf

Leystu $x^{2} - 3 = 19$ .

$x = \pm 22$
$x = \pm \sqrt{22}$
$x = \pm \sqrt{19}$ + 3
$x = - 4$ , $x = 4$

Viðbótarefni

Annars stigs jöfnur leystar með rótarlausnum

Þegar annars stigs jöfnur eru leystar er mikilvægt að muna að:

Sérhver jákvæð tala hefur tvær ferningsrætur, eina jákvæða og eina neikvæða, því til eru tvær tölur sem gefa þessa tölu þegar þær eru settar í annað veldi. Til dæmis eru $6^{2}$ og $(- 6)^{2}$ báðar 36.
Rótarmerkið $\sqrt{}$ má nota til að tákna jákvæðu ferningsrót tölu. Til dæmis er ferningsrótin af 36 jöfn 6, en hana má einnig rita $\sqrt{36}$ því $\sqrt{36} \cdot \sqrt{36} = 36$ .
Til að tákna neikvæðu ferningsrót tölu, til dæmis 36, getum við ritað -6 eða $- \sqrt{36}$ .
Þegar tala er ekki ferningstala, til dæmis 40, getum við táknað ferningsrætur hennar þannig: $\sqrt{40}$ og $- \sqrt{40}$ .

Hvernig gætum við ritað lausnir jöfnu eins og þessari?

(x + 4)^{2} = 11

Jafnan segir að „eitthvað í öðru veldi sé 11.“ Til að jafnan sé sönn verður þetta eitthvað að vera $\sqrt{11}$ eða $- \sqrt{11}$ .

Við getum ritað:

\begin{aligned} x + 4 & = \sqrt{11} eða x + 4 = - \sqrt{11} \\ x & = - 4 + \sqrt{11} eða x = - 4 - \sqrt{11} \end{aligned}

Þéttari leið til að rita lausnirnar tvær á jöfnunni er:

x = - 4 \pm \sqrt{11}

Reyndu

Annars stigs jöfnur leystar með rótarlausnum

Leystu:

$(x - 2)^{2} = 17$

Lausn

Svona má leysa þessa annars stigs jöfnu:

Skref 1 - Gakktu úr skugga um að annars stigs stæðan sé einangruð öðrum megin.

(x - 2)^{2} = 17

Skref 2 - Taktu ferningsrót af báðum hliðum.

\sqrt{(x - 2)^{2}} = \pm \sqrt{17}

Skref 3 - Einfaldaðu.

x - 2 = \pm \sqrt{17}

Skref 4 - Leystu jöfnuna. Í þessu dæmi skaltu leggja 2 við báðar hliðar.

x - 2 + 2 = 2 \pm \sqrt{17}

Skref 5 - Einfaldaðu.

x = 2 - \sqrt{17}, x = 2 + \sqrt{17}