99.5 Annars stigs jöfnur með óræðum lausnum

9.5.3 Óræðar lausnir fundnar með því að fylla í ferninginn

9.5.3 • Óræðar lausnir fundnar með því að fylla í ferninginn

Verkefni

Skoðaðu Desmos-leiðbeiningarnar í PDF-skjali til að fá ráð um að leysa verkefni með Desmos-grafreiknivélinni.

Hér er dæmi um jöfnu sem er leyst bæði með grafi og með því að fylla í ferninginn.

Graf fleygboga í hnitakerfi. Punktarnir (−4,414; 0) og (−1,586; 0) eru merktir á fleygboganum. Kvarði x-ássins er 1 og hann nær frá −8 til 4. y-ásinn nær frá −4 til 4 með kvarðanum 1.

\begin{aligned} x^{2} + 6 x + 7 & = 0 \\ x^{2} + 6 x + 9 & = 2 \\ (x + 3)^{2} & = 2 \\ x + 3 & = \pm \sqrt{2} \\ x & = - 3 \pm \sqrt{2} \end{aligned}

Staðfestu:

\sqrt{2} \approx 1.414

- 3 + \sqrt{2} \approx - 1.586

- 3 - \sqrt{2} \approx - 4.414

Fyrir hverja jöfnu skaltu finna nákvæmar lausnir með því að fylla í ferninginn og nálgaðar lausnir með því að teikna graf. Staðfestu síðan að lausnirnar sem fást með aðferðunum tveimur séu nálægt hvor annarri. Ef þú festist skaltu íhuga að skoða dæmið aftur.

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$
1. Finndu nákvæmar lausnir með því að fylla í ferninginn.
2. Teiknaðu graf jöfnunnar til að finna nálgaðar lausnir.
  Notaðu Desmos-grafreiknivélina eða annað grafteikniverkfæri utan námskeiðsins.
3. Eru lausnirnar sem þú fannst með aðferðunum tveimur nálægt hvor annarri?
Lausn
a. Berðu saman svarið þitt:
$\begin{aligned} x^{2} + 4 x + 1 & = 0 \\ x^{2} + 4 x & = - 1 \\ x^{2} + 4 x + 4 & = - 1 + 4 \\ x^{2} + 4 x + 4 & = 3 \\ (x + 2)^{2} & = 3 \\ \sqrt{(x + 2)^{2}} & = \sqrt{3} \\ x + 2 & = \pm \sqrt{3} \\ x & = - 2 \pm \sqrt{3} \end{aligned}$
b. Berðu saman svarið þitt:
c. Já. Lausnirnar voru þær sömu: $x \approx - 0.268$ og $x \approx - 3.732$ .
$x^{2} - 10 x + 18 = 0$
1. Finndu nákvæmar lausnir með því að fylla í ferninginn.
2. Teiknaðu graf jöfnunnar til að finna nálgaðar lausnir.
  Notaðu Desmos-grafreiknivélina eða annað grafteikniverkfæri utan námskeiðsins.
3. Eru lausnirnar sem þú fannst með aðferðunum tveimur nálægt hvor annarri?
Lausn
a. Berðu saman svarið þitt:
$\begin{aligned} x^{2} - 10 x + 18 & = 0 \\ x^{2} - 10 x & = - 18 \\ x^{2} - 10 x + 25 & = - 18 + 25 \\ x^{2} - 10 x + 25 & = 7 \\ (x - 5)^{2} & = 7 \\ \sqrt{(x - 5)^{2}} & = \sqrt{7} \\ x - 5 & = \pm \sqrt{7} \\ x & = 5 \pm \sqrt{7} \end{aligned}$
b. Berðu saman svarið þitt:
c. Já. Lausnirnar voru þær sömu: $x \approx 7.646$ og $x \approx 2.354$ .
$x^{2} + 5 x + \frac{1}{4} = 0$
1. Finndu nákvæmar lausnir með því að fylla í ferninginn.
2. Teiknaðu graf jöfnunnar til að finna nálgaðar lausnir.
  Notaðu Desmos-grafreiknivélina eða annað grafteikniverkfæri utan námskeiðsins.
3. Eru lausnirnar sem þú fannst með aðferðunum tveimur nálægt hvor annarri?
Lausn
a. Berðu saman svarið þitt:
$\begin{aligned} x^{2} + 5 x + \frac{1}{4} & = 0 \\ x^{2} + 5 x & = - \frac{1}{4} \\ x^{2} + 5 x + {(\frac{5}{2})}^{2} & = - \frac{1}{4} + {(\frac{5}{2})}^{2} \\ x^{2} + 5 x + \frac{25}{4} & = - \frac{1}{4} + \frac{25}{4} \\ x^{2} + 5 x + \frac{25}{4} & = \frac{24}{4} \\ x^{2} + 5 x + \frac{25}{4} & = 6 \\ {(x + \frac{5}{2})}^{2} & = 6 \\ x + \frac{5}{2} & = \pm \sqrt{6} \\ x & = - \frac{5}{2} \pm \sqrt{6} \end{aligned}$
b. Berðu saman svarið þitt:
c. Já. Lausnirnar voru þær sömu: $x \approx - 4.949$ og $x \approx - 0.051$ .
$x^{2} + \frac{8}{3} x + \frac{14}{9} = 0$
1. Finndu nákvæmar lausnir með því að fylla í ferninginn.
2. Teiknaðu graf jöfnunnar til að finna nálgaðar lausnir.
  Notaðu Desmos-grafreiknivélina eða annað grafteikniverkfæri utan námskeiðsins.
3. Eru lausnirnar sem þú fannst með aðferðunum tveimur nálægt hvor annarri?
Lausn
a. Berðu saman svarið þitt:
$\begin{aligned} x^{2} + \frac{8}{3} x + \frac{14}{9} & = 0 \\ x^{2} + \frac{8}{3} x & = - \frac{14}{9} \\ x^{2} + \frac{8}{3} x + {(\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3})}^{2} & = - \frac{14}{9} + {(\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3})}^{2} \\ x^{2} + \frac{8}{3} x + {(\frac{4}{3})}^{2} & = - \frac{14}{9} + {(\frac{4}{3})}^{2} \\ x^{2} + \frac{8}{3} x + \frac{16}{9} & = - \frac{14}{9} + \frac{16}{9} \\ x^{2} + \frac{8}{3} x + \frac{16}{9} & = \frac{2}{9} \\ {(x + \frac{4}{3})}^{2} & = \frac{2}{9} \\ x + \frac{4}{3} & = \pm \frac{\sqrt{2}}{3} \\ x & = - \frac{4}{3} \pm \frac{\sqrt{2}}{3} \end{aligned}$
b. Berðu saman svarið þitt:
c. Já. Lausnirnar voru þær sömu: $x \approx - 0.862$ og $x \approx - 1.805$ .

Viltu meira?

Útvíkkaðu hugsun þína

Hvaða annars stigs jafna á þessu formi hefði eftirfarandi lausnir?

a x^{2} + b x + c = 0

x = 5 - \sqrt{2} og x = 5 + \sqrt{2}

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

$x^{2} - 10 x + 23 = 0$

Ef unnið er aftur á bak eru þetta lausnir á:

$(x - 5)^{2} = 2$

Á staðalformi er jafnan:

$x^{2} - 10 x + 23 = 0$

Sjálfspróf

Hverjar af eftirfarandi eru lausnir jöfnunnar, námundaðar að næsta þúsundasta?

(x - 2)^{2} = 12

$x \approx 3.162$
$x = 14$
$x \approx - 1.464, x \approx 5.464$
$x \approx - 3.162, x \approx 3.162$

Viðbótarefni

Að nota reiknivél fyrir nálgaðar lausnir

Skoðum lausnir jöfnunnar úr viðbótarefninu í 9.5.2:

Þéttari leið til að rita lausnirnar tvær á þessari jöfnu:

(x + 4)^{2} = 11

er:

x = - 4 \pm \sqrt{11}

Hversu stórar eða litlar eru þessar tölur? Eru þær jákvæðar eða neikvæðar? Við getum notað reiknivél til að reikna nálguð gildi beggja stæðna:

- 4 + \sqrt{11} \approx - 0.683

- 4 - \sqrt{11} \approx - 7.317

Við getum einnig nálgað lausnirnar með því að teikna graf. Jafnan

(x + 4)^{2} = 11

er jafngild:

(x + 4)^{2} - 11 = 0

svo við getum teiknað graf fallsins

y = (x + 4)^{2} - 11

og fundið núllstöðvarnar með því að finna skurðpunkta grafsins við x-ás.

Graf fleygboga í hnitakerfi. Punktarnir (−7,317; 0) og (−0,683; 0) eru merktir á fleygboganum. x-ásinn nær frá −14 til 6 með kvarðanum 2. y-ásinn nær frá −14 til 4 með kvarðanum 2.

Reyndu

Að nota reiknivél fyrir nálgaðar lausnir

Finndu nálgaðar lausnir fyrir:

x = 3 \pm \sqrt{19}

Lausn

Svona má nálga lausnirnar:

Skref 1 - Ritaðu tvær stæður.

x = 3 + \sqrt{19}, x = 3 - \sqrt{19}

Skref 2 - Notaðu reiknivél til að nálga lausnirnar að þremur aukastöfum.

x \approx - 1.359, x \approx 7.359