99.9 Ritun annars stigs jafna á mismunandi formum

9.9.2 Mismunandi form annars stigs stæðna

9.9.2 • Mismunandi form annars stigs stæðna

Verkefni

Fyrir spurningar 1-5 skaltu rita hvert fall á topppunktsformi.

$y = x^{2} - 4 x + 7$
Lausn
Berðu saman svarið þitt:
$y = (x - 2)^{2} + 3$
$y = (x - 1) (x + 3)$
Lausn
Berðu saman svarið þitt:
$y = (x + 1)^{2} - 4$
$y = (x - 2) (x + 2)$
Lausn
Berðu saman svarið þitt:
$y = (x - 0)^{2} - 4$
$y = - x^{2} - 2 x - 6$
Lausn
Berðu saman svarið þitt:
$y = - (x + 1)^{2} - 5$
$y = 2 x^{2} - 12 x + 22$
Lausn
Berðu saman svarið þitt:
$y = 2 (x - 3)^{2} + 4$
$y = (x - 2)^{2} + 7$
Lausn
Berðu saman svarið þitt:
$y = x^{2} - 4 x + 11$
$y = (x + 3)^{2} - 2$
Lausn
Berðu saman svarið þitt:
$y = x^{2} + 6 x + 7$

Fyrir spurningar 6 og 7 skaltu rita hvert fall á staðalformi.

Viltu prófa meira?

Að hugsa lengra

Bolta er kastað upp frá þaki 40 feta hárrar byggingar með upphafshraðanum 80 fet á sekúndu. Hæð boltans yfir jörðu má setja fram með jöfnunni hér að neðan. Hver er hámarkshæðin?

H (t) = - 16 t^{2} + 80 t + 40

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Til að finna hámarkshæðina skaltu finna topppunktinn. Ritaðu fallið á topppunktsformi.

H (t) = - 16 t^{2} + 80 t + 40

Skref 1 - Taktu $- 16$ út fyrir sviga í fyrstu tveimur liðunum.

H (t) = - 16 (t^{2} - 5 t) + 40

Skref 2 - Fylltu í ferninginn.

{(\frac{- 5}{2})}^{2} = \frac{25}{4}

Skref 3 - Bættu fastanum við til að fylla í ferninginn og leiðréttu fastaliðinn til að jafna stæðuna. Þar sem $- 16$ er utan svigans verður fastinn sem bætist í raun:

- 16 \cdot \frac{25}{4} = - 100

Þar sem $- 100$ bættist við þarf að bæta 100 við til að jafna stæðuna.

\begin{array}{rcl} H (t) & = & - 16 (t^{2} - 5 t + \frac{25}{4}) + 40 - (- 100) \\ H (t) & = & - 16 (t^{2} - 5 t + \frac{25}{4}) + 40 + 100 \end{array}

Skref 4 - Þáttaðu og einfaldaðu.

H (t) = - 16 {(t - \frac{5}{2})}^{2} + 140

Skref 5 - Finndu topppunktinn.

(\frac{5}{2}, 140)

Þess vegna er hámarkshæðin 140 fet. Boltinn nær þessum hæsta punkti eftir 2,5 sekúndur.

Sjálfspróf

Hvert eftirfarandi sýnir fallið á staðalformi?

f (x) = (x - 2)^{2} + 15

$f (x) = x^{2} + 4 x + 19$
$f (x) = x^{2} - 4 x + 19$
$f (x) = x^{2} - 4 x + 11$
$f (x) = x^{2} + 19$

Viðbótarefni

Að rita annars stigs föll á mismunandi formum

Þrjú algeng form annars stigs falla:

Staðalform annars stigs falls er $f (x) = a x^{2} + b x + c$ þar sem $a$ , $b$ og $c$ eru rauntölur og $a \neq 0$ .

Topppunktsform annars stigs falls er $f (x) = a (x - h)^{2} + k$ þar sem $(h, k)$ er topppunkturinn.

Þáttað form annars stigs falls er $f (x) = (x - a) (x - b)$ þar sem $a$ og $b$ eru rætur fallsins.

Dæmi 1

Ritaðu fallið á staðalformi.

f (x) = (x - 2) (x + 8)

Skref 1 - Margfaldaðu tvíliðurnar með dreifireglunni (FOIL).

\begin{array}{rcl} f (x) & = & (x - 2) (x + 8) \\ f (x) & = & x^{2} - 2 x + 8 x - 16 \end{array}

Skref 2 - Einfaldaðu.

f (x) = x^{2} + 6 x - 16

Dæmi 2

Ritaðu fallið á topppunktsformi.

f (x) = (x - 2) (x + 8)

Vísbending: Byrjaðu á því að nota svarið úr dæmi 1.

Skref 1 - Fylltu í ferninginn.

{(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{6}{2})}^{2} = 9

Skref 2 - Jafnaðu stæðuna. Bættu fastanum við annars stigs stæðuna til að fylla í ferninginn og dragðu hann frá upprunalega fastaliðnum.

f (x) = x^{2} + 6 x + 9 - 16 - 9

Að lokum skaltu þátta þríliðuna og einfalda.

f (x) = (x + 3)^{2} - 25

Dæmi 3

Endurritaðu fallið á staðalformi.

f (x) = 6 (x - 2)^{2} + 4

Skref 1 - Leystu veldið upp.

\begin{array}{rcl} = & 6 (x - 2)^{2} + 4 \\ = & 6 (x^{2} - 4 x + 4) + 4 \end{array}

Skref 2 - Dreifðu stuðlinum.

6 x^{2} - 24 x + 24 + 4

Skref 3 - Einfaldaðu líka liði.

f (x) = 6 x^{2} - 24 x + 28

Dæmi 4

Endurritaðu fallið á staðalformi.

f (x) = 5 (x - 3)^{2} + 2

Skref 1 - Leystu veldið upp.

\begin{array}{rcl} = & 5 (x - 3)^{2} + 2 \\ = & 5 (x^{2} - 6 x + 9) + 2 \end{array}

Skref 2 - Dreifðu stuðlinum.

5 x^{2} - 30 x + 45 + 2

Skref 3 - Einfaldaðu líka liði.

f (x) = 5 x^{2} - 30 x + 47

Prófaðu

Að rita annars stigs föll á jafngildum formum

Ritaðu fallið á topppunktsformi.

f (x) = (x + 5) (x + 3)

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Fyrst skaltu margfalda tvíliðurnar með dreifireglunni (FOIL).

\begin{array}{rcl} f (x) & = & (x + 5) (x + 3) \\ f (x) & = & x^{2} + 5 x + 3 x + 15 \end{array}

Einfaldaðu síðan.

f (x) = x^{2} + 8 x + 15

Ritaðu nú þetta fall á topppunktsformi. Byrjaðu á því að fylla í ferninginn.

{(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{8}{2})}^{2} = 16

Jafnaðu stæðuna. Bættu fastanum við annars stigs stæðuna til að fylla í ferninginn og dragðu hann frá upprunalega fastaliðnum.

f (x) = x^{2} + 8 x + 16 + 15 - 16

Að lokum skaltu þátta þríliðuna og einfalda.

f (x) = (x + 4)^{2} - 1