33 Heildunaraðferðir

3.4 Stofnbrotaliðun

Námsmarkmið

3.4.1 Heilda rætt fall með stofnbrotaliðun.
3.4.2 Þekkja einfalda línulega þætti í ræðu falli.
3.4.3 Þekkja endurtekna línulega þætti í ræðu falli.
3.4.4 Þekkja annars stigs þætti í ræðu falli.

Við höfum séð nokkrar aðferðir sem gera okkur kleift að heilda tiltekin ræð föll. Við vitum til dæmis að

\int \frac{d u}{u} = ln | u | + C og \int \frac{d u}{u^{2} + a^{2}} = \frac{1}{a} {tan}^{−1} (\frac{u}{a}) + C .

Við höfum þó enn enga aðferð til að fást við hvaða kvóta af þessu tagi sem er. Því er ekki strax ljóst hvernig reikna eigi $\int \frac{3 x}{x^{2} - x - 2} d x .$ Af því efni sem þegar hefur verið fjallað um vitum við hins vegar að

\int (\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x - 2}) d x = ln | x + 1 | + 2 ln | x - 2 | + C .

Með því að samnefna brotin sjáum við raunar að

\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x - 2} = \frac{3 x}{x^{2} - x - 2} .

Þar af leiðandi er

\int \frac{3 x}{x^{2} - x - 2} d x = \int (\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x - 2}) d x .

Í þessum hluta skoðum við stofnbrotaliðun. Með henni má liða ræð föll í summur einfaldari ræðra falla sem auðveldara er að heilda. Með þessari aðferð getum við til dæmis endurritað segðina $\frac{3 x}{x^{2} - x - 2}$ á forminu $\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x - 2} .$

Lykillinn að stofnbrotaliðun er að geta séð fyrir hvaða form liðun ræða fallsins tekur. Eins og við munum sjá er formið fyrirsjáanlegt og ræðst að verulegu leyti af þáttun nefnara ræða fallsins. Einnig er afar mikilvægt að hafa í huga að aðeins má stofnbrotaliða rætt fall $\frac{P (x)}{Q (x)}$ ef $deg (P (x)) < deg (Q (x)) .$ Þegar $deg (P (x)) \geq deg (Q (x)),$ verðum við fyrst að beita langdeilingu og endurrita kvótann $\frac{P (x)}{Q (x)}$ á forminu $A (x) + \frac{R (x)}{Q (x)},$ þar sem $deg (R (x)) < deg (Q (x)) .$ Síðan stofnbrotaliðum við $\frac{R (x)}{Q (x)} .$ Eftirfarandi dæmi krefst ekki stofnbrotaliðunar en sýnir hvernig við förum að þegar heilda á ræð föll af forminu $\int \frac{P (x)}{Q (x)} d x,$ þar sem $deg (P (x)) \geq deg (Q (x)) .$

Dæmi 3.28

Heildun ∫ P ( x )/Q ( x ) d x , þegar deg ( P ( x ) ) ≥ deg ( Q ( x ) )

Reiknið $\int \frac{x^{2} + 3 x + 5}{x + 1} d x .$

Lausn

Þar sem $deg (x^{2} + 3 x + 5) \geq deg (x + 1),$ beitum við langdeilingu og fáum

\frac{x^{2} + 3 x + 5}{x + 1} = x + 2 + \frac{3}{x + 1} .

Því fæst

\begin{matrix} \int \frac{x^{2} + 3 x + 5}{x + 1} d x & = \int (x + 2 + \frac{3}{x + 1}) d x \\ = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 3 ln | x + 1 | + C . \end{matrix}

Til að heilda $\int \frac{P (x)}{Q (x)} d x,$ þar sem $deg (P (x)) < deg (Q (x)),$ verðum við að byrja á að þátta $Q (x) .$

Einfaldir línulegir þættir

Ef þátta má $Q (x)$ sem $(a_{1} x + b_{1}) (a_{2} x + b_{2}) … (a_{n} x + b_{n}),$ þar sem allir línulegu þættirnir eru ólíkir, má finna fasta $A_{1}, A_{2},… A_{n}$ þannig að

\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{A_{1}}{a_{1} x + b_{1}} + \frac{A_{2}}{a_{2} x + b_{2}} + \dots + \frac{A_{n}}{a_{n} x + b_{n}} .

Sönnun þess að slíkir fastar séu til er utan við efni þessa námskeiðs.

Í næsta dæmi sjáum við hvernig stofnbrot eru notuð til að heilda rætt fall af þessu tagi.

Dæmi 3.29

Stofnbrot með einföldum línulegum þáttum

Reiknið $\int \frac{3 x + 2}{x^{3} - x^{2} - 2 x} d x .$

Lausn

Þar sem $deg (3 x + 2) < deg (x^{3} - x^{2} - 2 x),$ byrjum við á að þátta nefnara $\frac{3 x + 2}{x^{3} - x^{2} - 2 x} .$ Við sjáum að $x^{3} - x^{2} - 2 x = x (x - 2) (x + 1) .$ Því eru til fastar $A,$ $B,$ og $C$ þannig að

\frac{3 x + 2}{x (x - 2) (x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x + 1} .

Nú verðum við að finna þessa fasta. Við byrjum á að samnefna brotin í hægri hliðinni. Þá fæst

\frac{3 x + 2}{x (x - 2) (x + 1)} = \frac{A (x - 2) (x + 1) + B x (x + 1) + C x (x - 2)}{x (x - 2) (x + 1)} .

Nú látum við teljarana vera jafna og fáum

3 x + 2 = A (x - 2) (x + 1) + B x (x + 1) + C x (x - 2) .

(3.8)

Tvær ólíkar aðferðir má nota til að finna stuðlana $A,$ $B,$ og $C .$ Við köllum þær stuðlasamanburð og markvissa innsetningu.

Regla: Markviss innsetning

Markviss innsetning byggist á þeirri forsendu að liðunin hafi verið sett rétt fram. Ef það hefur verið gert verða að vera til gildi $A,$ $B,$ og $C$ sem uppfylla jöfnu 3.8 fyrir öll gildi $x .$ Jafnan verður með öðrum orðum að gilda fyrir sérhvert það gildi $x$ sem við setjum inn. Með því að velja gildi $x$ af kostgæfni og setja þau inn í jöfnuna getum við því fundið $A,$ $B,$ og $C$ á auðveldan hátt. Ef $x = 0,$ er til dæmis sett inn einfaldast jafnan í $2 = A (−2) (1) .$ Þegar leyst er fyrir $A$ fæst $A = −1 .$ Næst, þegar $x = 2,$ einfaldast jafnan í $8 = B (2) (3),$ eða jafngilt $B = 4 / 3 .$ Að lokum setjum við $x = −1$ inn í jöfnuna og fáum $−1 = C (−1) (−3) .$ Þegar leyst er fæst $C = - \frac{1}{3} .$

Hafa þarf í huga að ef reynt er að nota þessa aðferð þegar liðunin hefur ekki verið sett rétt fram er engu að síður hægt að finna gildi fastanna, en þau hafa þá enga merkingu. Ef markviss innsetning er notuð er því skynsamlegt að sannreyna niðurstöðuna með því að samnefna liðina aftur.

Nú þegar við höfum fundið gildi $A,$ $B,$ og $C,$ endurritum við upphaflega heildið:

\int \frac{3 x + 2}{x^{3} - x^{2} - 2 x} d x = \int (− \frac{1}{x} + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{(x - 2)} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{(x + 1)}) d x .

Þegar heildið er reiknað fæst

\int \frac{3 x + 2}{x^{3} - x^{2} - 2 x} d x = − ln | x | + \frac{4}{3} ln | x - 2 | - \frac{1}{3} ln | x + 1 | + C .

Í næsta dæmi heildum við rætt fall þar sem stig teljarans er ekki lægra en stig nefnarans.

Dæmi 3.30

Deilt áður en stofnbrotaliðun er beitt

Reiknið $\int \frac{x^{2} + 3 x + 1}{x^{2} - 4} d x .$

Lausn

Þar sem $stig (x^{2} + 3 x + 1) \geq stig (x^{2} - 4),$ verðum við að langdeila margliðunum. Við það fæst

\frac{x^{2} + 3 x + 1}{x^{2} - 4} = 1 + \frac{3 x + 5}{x^{2} - 4} .

Næst stofnbrotaliðum við $\frac{3 x + 5}{x^{2} - 4} = \frac{3 x + 5}{(x + 2) (x - 2)} .$ Við höfum

\frac{3 x + 5}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2} .

Því fæst

3 x + 5 = A (x + 2) + B (x - 2) .

Þegar leyst er fyrir $A$ og $B$ með hvorri aðferðinni sem er fæst $A = 11 / 4$ og $B = 1 / 4 .$

Þegar upphaflega heildið er endurritað fæst

\int \frac{x^{2} + 3 x + 1}{x^{2} - 4} d x = \int (1 + \frac{11}{4} \cdot \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x + 2}) d x .

Þegar heildið er reiknað fæst

\int \frac{x^{2} + 3 x + 1}{x^{2} - 4} d x = x + \frac{11}{4} ln | x - 2 | + \frac{1}{4} ln | x + 2 | + C .

Eins og næsta dæmi sýnir má stundum beita stofnbrotaliðun á fall sem er ekki rætt. Bragðið er að breyta fallinu í rætt fall með innsetningu.

Dæmi 3.31

Stofnbrotaliðun beitt eftir innsetningu

Reiknið $\int \frac{cos x}{{sin}^{2} x - sin x} d x .$

Lausn

Byrjum á að setja $u = sin x .$ Þar af leiðandi er $d u = cos x d x .$ Eftir þessar innsetningar fæst

\int \frac{cos x}{{sin}^{2} x - sin x} d x = \int \frac{d u}{u^{2} - u} = \int \frac{d u}{u (u - 1)} .

Með stofnbrotaliðun á $1 / u (u - 1)$ fæst $\frac{1}{u (u - 1)} = - \frac{1}{u} + \frac{1}{u - 1} .$

Því fæst

\begin{matrix} \int \frac{cos x}{{sin}^{2} x - sin x} d x & = − ln | u | + ln | u - 1 | + C \\ = − ln | sin x | + ln | sin x - 1 | + C . \end{matrix}

Endurteknir línulegir þættir

Í sumum verkefnum þurfum við að heilda ræðar segðir sem hafa nefnara með endurteknum línulegum þáttum, það er ræð föll sem hafa að minnsta kosti einn þátt af forminu ${(a x + b)}^{n},$ þar sem $n$ er jákvæð heiltala sem er að minnsta kosti $2 .$ Ef nefnarinn inniheldur endurtekna línulega þáttinn ${(a x + b)}^{n},$ verður liðunin að innihalda

\frac{A_{1}}{a x + b} + \frac{A_{2}}{{(a x + b)}^{2}} + \dots + \frac{A_{n}}{{(a x + b)}^{n}} .

Eins og næsta dæmi sýnir er grunnaðferðin við að finna stuðlana sú sama, en meiri algebru þarf til að ákvarða teljara stofnbrotanna.

Dæmi 3.32

Stofnbrot með endurteknum línulegum þáttum

Reiknið $\int \frac{x - 2}{{(2 x - 1)}^{2} (x - 1)} d x .$

Lausn

Við höfum $stig (x - 2) < stig ({(2 x - 1)}^{2} (x - 1)),$ og getum því stofnbrotaliðað. Þar sem ${(2 x - 1)}^{2}$ er endurtekinn línulegur þáttur þarf $\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{{(2 x - 1)}^{2}}$ að koma fyrir í liðuninni. Því fæst

\frac{x - 2}{{(2 x - 1)}^{2} (x - 1)} = \frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{C}{x - 1} .

Eftir að brotin hafa verið samnefnd og teljararnir látnir vera jafnir fæst

x - 2 = A (2 x - 1) (x - 1) + B (x - 1) + C {(2 x - 1)}^{2} .

(3.9)

Síðan notum við stuðlasamanburð til að finna gildi $A,$ $B,$ og $C .$

x - 2 = (2 A + 4 C) x^{2} + (−3 A + B - 4 C) x + (A - B + C) .

Stuðlasamanburður gefur $2 A + 4 C = 0,$ $−3 A + B - 4 C = 1,$ og $A - B + C = −2 .$ Lausn þessa jöfnuhneppis er $A = 2,$ $B = 3,$ og $C = −1 .$

Einnig má nota markvissa innsetningu. Þegar $x = 1$ og $x = 1 / 2$ eru sett inn í jöfnu 3.9 fást auðveldlega gildin $B = 3$ og $C = −1 .$ Nú kann að virðast sem engin hentug gildi $x,$ séu eftir. Við höfum hins vegar þegar fundið gildi $B$ og $C,$ og getum því sett þau inn og valið hvaða gildi $x$ sem er sem ekki hefur þegar verið notað. Gildið $x = 0$ hentar vel. Þá fæst jafnan $−2 = A (−1) (−1) + 3 (−1) + (−1) {(−1)}^{2}$ eða jafngilt $A = 2 .$

Nú þegar við höfum fundið gildi $A,$ $B,$ og $C,$ endurritum við upphaflega heildið og reiknum það:

\begin{matrix} \int \frac{x - 2}{{(2 x - 1)}^{2} (x - 1)} d x & = \int (\frac{2}{2 x - 1} + \frac{3}{{(2 x - 1)}^{2}} - \frac{1}{x - 1}) d x \\ = ln | 2 x - 1 | - \frac{3}{2 (2 x - 1)} - ln | x - 1 | + C . \end{matrix}

Almenna aðferðin

Nú þegar við sjáum betur hvernig stofnbrotaliðun virkar skulum við draga grunnaðferðina saman í eftirfarandi lausnarleið.

Lausnarleið

Stofnbrotaliðun

Notið eftirfarandi skref til að stofnbrotaliða ræða fallið $P (x) / Q (x),$

Gangið úr skugga um að $stig (P (x)) < stig (Q (x)) .$ Ef svo er ekki skal langdeila margliðunum.
Þáttið $Q (x)$ í margfeldi línulegra og núllstöðvalausra annars stigs þátta. Núllstöðvalaus annars stigs margliða hefur engar raunnúllstöðvar.
Að því gefnu að deg(P(x))<deg(Q(x)), ákvarða þættir Q(x) form liðunarinnar P(x)/Q(x). Ef þátta má
1. $Q (x)$ sem $(a_{1} x + b_{1}) (a_{2} x + b_{2}) … (a_{n} x + b_{n}),$ þar sem allir línulegu þættirnir eru ólíkir, má finna fasta $A_{1}, A_{2}, . . . A_{n}$ þannig að
  $\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{A_{1}}{a_{1} x + b_{1}} + \frac{A_{2}}{a_{2} x + b_{2}} + \dots + \frac{A_{n}}{a_{n} x + b_{n}} .$
2. $Q (x)$ inniheldur endurtekna línulega þáttinn ${(a x + b)}^{n},$ verður liðunin að innihalda
  $\frac{A_{1}}{a x + b} + \frac{A_{2}}{{(a x + b)}^{2}} + \dots + \frac{A_{n}}{{(a x + b)}^{n}} .$
3. $a x^{2} + b x + c$ sem $Q (x)$ inniheldur verður liðunin að innihalda
  $\frac{A x + B}{a x^{2} + b x + c} .$
4. ${(a x^{2} + b x + c)}^{n},$ verður liðunin að innihalda
  $\frac{A_{1} x + B_{1}}{a x^{2} + b x + c} + \frac{A_{2} x + B_{2}}{{(a x^{2} + b x + c)}^{2}} + \dots + \frac{A_{n} x + B_{n}}{{(a x^{2} + b x + c)}^{n}} .$

Einfaldir annars stigs þættir

Skoðum nú heildun ræðrar segðar þar sem nefnarinn inniheldur núllstöðvalausan annars stigs þátt. Rifjum upp að annars stigs margliðan $a x^{2} + b x + c$ er óþáttanleg yfir rauntölunum ef $a x^{2} + b x + c = 0$ hefur engar raunnúllstöðvar, það er ef $b^{2} - 4 a c < 0 .$

Dæmi 3.33

Ræðar segðir með núllstöðvalausum annars stigs þætti

Reiknið $\int \frac{2 x - 3}{x^{3} + x} d x .$

Lausn

Þar sem $deg (2 x - 3) < deg (x^{3} + x),$ þáttum við nefnarann og stofnbrotaliðum. Þar sem $x^{3} + x = x (x^{2} + 1)$ inniheldur núllstöðvalausa annars stigs þáttinn $x^{2} + 1,$ þarf liðurinn $\frac{A x + B}{x^{2} + 1}$ að koma fyrir í liðuninni ásamt $\frac{C}{x}$ fyrir línulega þáttinn $x .$ Liðunin er því á forminu

\frac{2 x - 3}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A x + B}{x^{2} + 1} + \frac{C}{x} .

Eftir að brotin hafa verið samnefnd og teljararnir látnir vera jafnir fæst jafnan

2 x - 3 = (A x + B) x + C (x^{2} + 1) .

Þegar leyst er fyrir $A, B,$ og $C,$ fæst $A = 3,$ $B = 2,$ og $C = −3 .$

Því fæst

\frac{2 x - 3}{x^{3} + x} = \frac{3 x + 2}{x^{2} + 1} - \frac{3}{x} .

Þegar sett er aftur inn í heildið fæst

\begin{matrix} \int \frac{2 x - 3}{x^{3} + x} d x & = \int (\frac{3 x + 2}{x^{2} + 1} - \frac{3}{x}) d x \\ = 3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x + 2 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x - 3 \int \frac{1}{x} d x & Skiptum heildinu í liði. \\ = \frac{3}{2} ln | x^{2} + 1 | + 2 {tan}^{−1} x - 3 ln | x | + C . & Reiknum hvert heildi. \end{matrix}

Athugið: Við megum endurrita $ln | x^{2} + 1 | = ln (x^{2} + 1),$ ef við viljum, því $x^{2} + 1 > 0 .$

Dæmi 3.34

Stofnbrot með núllstöðvalausum annars stigs þætti

Reiknið $\int \frac{d x}{x^{3} - 8} .$

Lausn

Við byrjum á að þátta $x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) .$ Við sjáum að annars stigs þátturinn $x^{2} + 2 x + 4$ er núllstöðvalaus, því $2^{2} - 4 (1) (4) = −12 < 0 .$ Með liðunarforminu úr lausnarleiðinni fæst

\frac{1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B x + C}{x^{2} + 2 x + 4} .

Eftir að brotin hafa verið samnefnd og teljararnir látnir vera jafnir fæst

1 = A (x^{2} + 2 x + 4) + (B x + C) (x - 2) .

Með hvorri aðferðinni sem er fæst $A = \frac{1}{12}, B = - \frac{1}{12}, og C = - \frac{1}{3} .$

Með því að endurrita $\int \frac{d x}{x^{3} - 8},$ fæst

\int \frac{d x}{x^{3} - 8} = \frac{1}{12} \int \frac{1}{x - 2} d x - \frac{1}{12} \int \frac{x + 4}{x^{2} + 2 x + 4} d x .

Við sjáum að

$\int \frac{1}{x - 2} d x = ln | x - 2 | + C,$ en $\int \frac{x + 4}{x^{2} + 2 x + 4} d x$ krefst aðeins meiri vinnu. Byrjum á að fylla í ferninginn í $x^{2} + 2 x + 4$ og fá

x^{2} + 2 x + 4 = {(x + 1)}^{2} + 3 .

Setjum $u = x + 1$ ; þá er $d u = d x,$ þannig að

\begin{matrix} \int \frac{x + 4}{x^{2} + 2 x + 4} d x & = \int \frac{x + 4}{{(x + 1)}^{2} + 3} d x & \begin{matrix} Fyllum í ferninginn í \\ nefnaranum. \end{matrix} \\ = \int \frac{u + 3}{u^{2} + 3} d u & \begin{matrix} Setjum inn u = x + 1, x = u - 1, \\ og d u = d x . \end{matrix} \\ = \int \frac{u}{u^{2} + 3} d u + \int \frac{3}{u^{2} + 3} d u & Skiptum teljaranum í liði. \\ = \frac{1}{2} ln | u^{2} + 3 | + \frac{3}{\sqrt{3}} {tan}^{−1} \frac{u}{\sqrt{3}} + C & Reiknum hvert heildi. \\ = \frac{1}{2} ln | x^{2} + 2 x + 4 | + \sqrt{3} {tan}^{−1} (\frac{x + 1}{\sqrt{3}}) + C . & \begin{matrix} Endurritum með x og \\ einföldum. \end{matrix} \end{matrix}

Þegar sett er aftur inn í upphaflega heildið og einfaldað fæst

\int^{​} \frac{d x}{x^{3} - 8} = \frac{1}{12} ln | x - 2 | - \frac{1}{24} ln | x^{2} + 2 x + 4 | - \frac{\sqrt{3}}{12} {tan}^{−1} (\frac{x + 1}{\sqrt{3}}) + C .

Hér getum við aftur sleppt algildismerkjunum ef við viljum, því $x^{2} + 2 x + 4 > 0$ fyrir öll $x .$

Dæmi 3.35

Rúmmál fundið

Finnið rúmmál snúðsins sem myndast þegar svæðinu sem afmarkast af grafi $f (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ og x-ásnum á bilinu $[0, 1]$ er snúið um y-ásinn.

Lausn

Byrjum á að teikna svæðið sem á að snúa (sjá mynd 3.11). Af teikningunni sjáum við að hylkjaaðferðin hentar vel til að leysa verkefnið.

Myndin sýnir graf fallsins f(x) = x²/(x² + 1)². Ferillinn liggur ofan x-ássins. Hann er minnkandi í öðrum fjórðungi, sker ásana í upphafspunktinum og er vaxandi í fyrsta fjórðungi. Svæðið undir ferlinum milli x = 0 og x = 1 er skyggt. — **Mynd 3.11.** Við getum notað hylkjaaðferðina til að finna rúmmál snúðsins sem fæst þegar sýnda svæðinu er snúið um y-ásinn.

Rúmmálið er

V = 2 π \int_{0}^{1} x \cdot \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x = 2 π \int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x .

Þar sem $deg ({(x^{2} + 1)}^{2}) = 4 > 3 = deg (x^{3}),$ getum við stofnbrotaliðað. Takið eftir að ${(x^{2} + 1)}^{2}$ er endurtekinn núllstöðvalaus annars stigs þáttur. Með liðunarforminu úr lausnarleiðinni fæst

\frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{A x + B}{x^{2} + 1} + \frac{C x + D}{{(x^{2} + 1)}^{2}} .

Með því að samnefna brotin og láta teljarana vera jafna fæst

x^{3} = (A x + B) (x^{2} + 1) + C x + D .

Þegar leyst er fæst $A = 1,$ $B = 0,$ $C = −1,$ og $D = 0 .$ Þegar sett er aftur inn í heildið fæst

\begin{matrix} V & = 2 π \int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x \\ = 2 π \int_{0}^{1} (\frac{x}{x^{2} + 1} - \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}) d x \\ = 2 π (\frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}) |_{\begin{matrix} 0 \end{matrix}}^{\begin{matrix} 1 \end{matrix}} \\ = π (ln 2 - \frac{1}{2}) . \end{matrix}

Æfingar úr hluta 3.4

Skrifið ræða fallið sem summu eða mismun tveggja einfaldari ræðra segða.

182.

$\frac{1}{(x - 3) (x - 2)}$

183.

$\frac{x^{2} + 1}{x (x + 1) (x + 2)}$

184.

$\frac{1}{x^{3} - x}$

185.

$\frac{3 x + 1}{x^{2}}$

186.

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + 1}$ (Ábending: Notið langdeilingu fyrst.)

187.

$\frac{2 x^{4}}{x^{2} - 2 x}$

188.

$\frac{1}{(x - 1) (x^{2} + 1)}$

189.

$\frac{1}{x^{2} (x - 1)}$

190.

$\frac{x}{x^{2} - 4}$

191.

$\frac{1}{x (x - 1) (x - 2) (x - 3)}$

192.

$\frac{1}{x^{4} - 1} = \frac{1}{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

193.

$\frac{3 x^{2}}{x^{3} - 1} = \frac{3 x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

194.

$\frac{2 x}{{(x + 2)}^{2}}$

195.

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 20 x^{2} + 3 x + 31}{(x + 1) {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Notið stofnbrotaliðun til að reikna eftirfarandi heildi.

196.

$\int \frac{d x}{(x - 3) (x - 2)}$

197.

$\int \frac{3 x}{x^{2} + 2 x - 8} d x$

198.

$\int \frac{d x}{x^{3} - x}$

199.

$\int \frac{x}{x^{2} - 4} d x$

200.

$\int \frac{d x}{x (x - 1) (x - 2) (x - 3)}$

201.

$\int \frac{2 x^{2} + 4 x + 22}{x^{2} + 2 x + 10} d x$

202.

$\int \frac{d x}{x^{2} - 5 x + 6}$

203.

$\int \frac{2 - x}{x^{2} + x} d x$

204.

$\int \frac{2}{x^{2} - x - 6} d x$

205.

$\int \frac{d x}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

206.

$\int \frac{d x}{x^{4} - 10 x^{2} + 9}$

Reiknið eftirfarandi heildi, sem hafa núllstöðvalausa annars stigs þætti.

207.

$\int \frac{2}{(x - 4) (x^{2} + 2 x + 6)} d x$

208.

$\int \frac{x^{2}}{x^{3} - x^{2} + 4 x - 4} d x$

209.

$\int \frac{x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 6}{x^{3} + 2 x^{2}} d x$

210.

$\int \frac{x}{(x - 1) {(x^{2} + 2 x + 2)}^{2}} d x$

Notið stofnbrotaliðun til að reikna eftirfarandi heildi.

211.

$\int \frac{3 x + 4}{(x^{2} + 4) (3 - x)} d x$

212.

$\int \frac{2}{{(x + 2)}^{2} (2 - x)} d x$

213.

$\int \frac{3 x + 4}{x^{3} - 2 x - 4} d x$ (Ábending: Notið setninguna um ræðar núllstöðvar.)

Notið innsetningu til að breyta heildunum í heildi ræðra falla. Notið síðan stofnbrotaliðun til að reikna heildin.

214.

$\int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{36 - e^{2 x}} d x$ (Gefið nákvæmt svar og tugabrotsnálgun þess. Námundið að fimm aukastöfum.)

215.

$\int \frac{e^{x}}{e^{2 x} - e^{x}} d x$

216.

$\int \frac{sin x d x}{1 - {cos}^{2} x}$

217.

$\int \frac{sin x}{{cos}^{2} x + cos x - 6} d x$

218.

$\int \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} d x$

219.

$\int \frac{d t}{{(e^{t} - e^{− t})}^{2}}$

220.

$\int \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} d x$

221.

$\int \frac{d x}{1 + \sqrt{x + 1}}$

222.

$\int \frac{d x}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}}$

223.

$\int \frac{cos x}{sin x (1 - sin x)} d x$

224.

$\int \frac{e^{x}}{{(e^{2 x} - 4)}^{2}} d x$

225.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}} d x$

226.

$\int \frac{1}{2 + e^{− x}} d x$

227.

$\int \frac{1}{1 + e^{x}} d x$

Notið gefnu innsetninguna til að breyta heildinu í heildi ræða falls og reiknið það síðan.

228.

$\int \frac{1}{t - \sqrt[3]{t}} d t t = x^{3}$

229.

$\int \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}} d x; x = u^{6}$

230.

Teiknið ferilinn $y = \frac{x}{1 + x}$ á bilinu $[0, 5] .$ Finnið síðan flatarmál svæðisins sem afmarkast af ferlinum, x-ásnum og línunni $x = 4 .$

Myndin sýnir graf fallsins y = x/(1 + x). Grafið liggur eingöngu í fyrsta fjórðungi. Það hefst í upphafspunktinum og hækkar inn í fyrsta fjórðung. Ferillinn endar við x = 5.

231.

Finnið rúmmál snúðsins sem myndast þegar svæðinu sem afmarkast af $y = 1 / \sqrt{x (3 - x)},$ $y = 0,$ $x = 1,$ og $x = 2$ er snúið um x-ásinn.

232.

Hraði agnar sem hreyfist eftir línu er gefinn sem fall af tíma með $v (t) = \frac{88 t^{2}}{t^{2} + 1} .$ Finnið vegalengdina sem ögnin hefur farið þegar $t = 5$ .

Leysið upphafsgildisverkefnið fyrir x sem fall af t.

233.

$(t^{2} - 7 t + 12) \frac{d x}{d t} = 1, (t > 4, x (5) = 0)$

234.

$(t + 5) \frac{d x}{d t} = x^{2} + 1, t > − 5, x (1) = tan 1$

235.

$(2 t^{3} - 2 t^{2} + t - 1) \frac{d x}{d t} = 3, x (2) = 0$

236.

Finnið x-hnit þungamiðju svæðisins sem afmarkast af

$y (x^{2} - 9) = 1,$ $y = 0, x = 4, og x = 5 .$ (Námundið svarið að tveimur aukastöfum.)

237.

Finnið rúmmálið sem myndast þegar svæðinu sem afmarkast af $y = \frac{1}{x^{3} + 7 x^{2} + 6 x}, x = 1, x = 7, og y = 0$ er snúið um y-ásinn.

238.

Finnið flatarmálið sem afmarkast af $y = \frac{x - 12}{x^{2} - 8 x - 20},$ $y = 0, x = 2, og x = 4 .$ (Námundið svarið að næsta hundraðshluta.)

239.

Reiknið heildið $\int \frac{d x}{x^{3} + 1} .$

Í eftirfarandi verkefnum skal nota innsetningarnar $tan (\frac{x}{2}) = t,$ $d x = \frac{2}{1 + t^{2}} d t,$ $sin x = \frac{2 t}{1 + t^{2}},$ og $cos x = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} .$

240.

$\int \frac{d x}{3 - 5 sin x}$

241.

Finnið flatarmálið undir ferlinum $y = \frac{1}{1 + sin x}$ milli $x = 0$ og $x = π .$ (Gerið ráð fyrir að lengdir séu mældar í tommum.)

242.

Út frá $tan (\frac{x}{2}) = t,$ skal leiða út formúlurnar $d x = \frac{2}{1 + t^{2}} d t,$ $sin x = \frac{2 t}{1 + t^{2}},$ og $cos x = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} .$

243.

Reiknið $\int \frac{\sqrt[3]{x - 8}}{x} d x .$