33 Heildunaraðferðir

3.5 Aðrar heildunaraðferðir

Námsmarkmið

3.5.1 Nota heildatöflu til að leysa heildunarverkefni.
3.5.2 Nota tölvualgebrukerfi (CAS) til að leysa heildunarverkefni.

Auk heildunaraðferðanna sem við höfum þegar séð eru ýmis önnur hjálpartæki víða tiltæk. Þar á meðal eru heildatöflur sem finna má í mörgum bókum, meðal annars í viðaukum þessarar bókar. Tölvualgebrukerfi (CAS) eru einnig víða tiltæk. Þau má finna í reiknivélum og í tölvuverum margra háskóla, auk þess sem nota má þau ókeypis á netinu.

Heildatöflur

Heildatöflur geta verið handhæg leið til að reikna heildi hratt eða sannreyna það, séu þær notaðar rétt. Þegar tafla er notuð til að sannreyna svar þarf að hafa í huga að tvær fullkomlega réttar lausnir geta litið mjög ólíkt út. Í hlutanum Innsetning með hornaföllum komumst við til dæmis að niðurstöðunni með innsetningunni $x = tan θ,$

\int \frac{d x}{\sqrt{1 + x^{2}}} = ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) + C .

Með innsetningunni $x = sinh θ,$ fengum við hins vegar aðra lausn, það er

\int \frac{d x}{\sqrt{1 + x^{2}}} = {sinh}^{−1} x + C .

Síðar sýndum við með algebru að lausnirnar tvær væru jafngildar. Við sýndum sem sagt að ${sinh}^{−1} x = ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) .$ Í þessu tilviki voru stofnföllin tvö sem við fundum í raun jöfn, en það þarf ekki alltaf að vera svo. Þau eru jafngild svo lengi sem mismunur þeirra er fasti.

Dæmi 3.36

Formúla úr töflu notuð til að reikna heildi

Notið töfluformúluna

\int \frac{\sqrt{a^{2} - u^{2}}}{u^{2}} d u = - \frac{\sqrt{a^{2} - u^{2}}}{u} - {sin}^{−1} \frac{u}{a} + C

til að reikna $\int \frac{\sqrt{16 - e^{2 x}}}{e^{x}} d x .$

Lausn

Í heildatöflum sjáum við að nokkrar formúlur innihalda segðir af forminu $\sqrt{a^{2} - u^{2}} .$ Þessi segð líkist raunar $\sqrt{16 - e^{2 x}},$ þar sem $a = 4$ og $u = e^{x} .$ Við innsetninguna þarf jafnframt að gilda að $d u = e^{x} dx .$ Með því að margfalda bæði teljara og nefnara heildisins með $e^{x}$ má koma heildinu á hentugt form. Nú fæst því

\int \frac{\sqrt{16 - e^{2 x}}}{e^{x}} d x = \int \frac{\sqrt{16 - e^{2 x}}}{e^{2 x}} e^{x} d x .

Þegar $u = e^{x}$ og $d u = e^{x} dx$ eru sett inn fæst $\int \frac{\sqrt{a^{2} - u^{2}}}{u^{2}} d u .$ Samkvæmt heildatöflunni (formúla nr. 88 í viðauka A) er

\int \frac{\sqrt{a^{2} - u^{2}}}{u^{2}} d u = - \frac{\sqrt{a^{2} - u^{2}}}{u} - {sin}^{−1} \frac{u}{a} + C .

Því fæst

\begin{matrix} \int \frac{\sqrt{16 - e^{2 x}}}{e^{x}} d x & = \int \frac{\sqrt{16 - e^{2 x}}}{e^{2 x}} e^{x} d x & Setjum inn u = e^{x} og d u = e^{x} d x . \\ = \int \frac{\sqrt{4^{2} - u^{2}}}{u^{2}} d u & Beitum formúlunni með a = 4 . \\ = - \frac{\sqrt{4^{2} - u^{2}}}{u} - {sin}^{−1} \frac{u}{4} + C & Setjum inn u = e^{x} . \\ = - \frac{\sqrt{16 - e^{2 x}}}{e^{x}} - {sin}^{−1} (\frac{e^{x}}{4}) + C . \end{matrix}

Tölvualgebrukerfi

Ef tölvualgebrukerfi er tiltækt er það fljótlegri kostur en tafla til að leysa heildunarverkefni. Mörg slík kerfi eru aðgengileg og almennt fremur auðveld í notkun.

Dæmi 3.37

Tölvualgebrukerfi notað til að reikna heildi

Notið tölvualgebrukerfi til að reikna $\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} - 4}} .$ Berið niðurstöðuna saman við $ln | \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{2} + \frac{x}{2} | + C,$ niðurstöðu sem við hefðum einnig getað fengið með innsetningu með hornaföllum.

Lausn

Með Wolfram Alpha fæst

\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} - 4}} = ln | \sqrt{x^{2} - 4} + x | + C .

Takið eftir að

ln | \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{2} + \frac{x}{2} | + C = ln | \frac{\sqrt{x^{2} - 4} + x}{2} | + C = ln | \sqrt{x^{2} - 4} + x | - ln 2 + C .

Þar sem munurinn á stofnföllunum tveimur er fasti eru lausnirnar jafngildar. Við hefðum einnig getað sýnt að bæði stofnföllin væru rétt með því að deilda þau.

Dæmi 3.38

Tölvualgebrukerfi notað til að reikna heildi

Notið tölvualgebrukerfi til að reikna $\int^{} {sin}^{3} x d x$ . Berið niðurstöðuna saman við $\frac{1}{3} {cos}^{3} x - cos x + C,$ niðurstöðu sem við hefðum getað fengið með aðferðinni við heildun oddavelda af $sin x$ sem fjallað var um fyrr í þessum kafla.

Lausn

Með Wolfram Alpha fæst

\int {sin}^{3} x d x = \frac{1}{12} (cos (3 x) - 9 cos x) + C .

Þetta lítur töluvert öðruvísi út en $\frac{1}{3} {cos}^{3} x - cos x + C .$ Til að sjá að stofnföllin eru jafngild getum við notað nokkrar samsemdir hornafalla:

\begin{matrix} \frac{1}{12} (cos (3 x) - 9 cos x) & = \frac{1}{12} (cos (x + 2 x) - 9 cos x) \\ = \frac{1}{12} (cos (x) cos (2 x) - sin (x) sin (2 x) - 9 cos x) \\ = \frac{1}{12} (cos x (2 {cos}^{2} x - 1) - sin x (2 sin x cos x) - 9 cos x) \\ = \frac{1}{12} (2 {cos}^{3} x - cos x - 2 cos x (1 - {cos}^{2} x) - 9 cos x) \\ = \frac{1}{12} (4 {cos}^{3} x - 12 cos x) \\ = \frac{1}{3} {cos}^{3} x - cos x . \end{matrix}

Stofnföllin tvö eru því eins.

Við getum einnig notað tölvualgebrukerfi til að bera saman gröf fallanna tveggja eins og sýnt er á næstu mynd.

Myndin sýnir graf lotubundins falls. Bylgjurnar hafa útslag um það bil 0,7 og lotu um það bil 10. Grafið sýnir föllin y = cos³(x)/3 − cos(x) og y = (cos(3x) − 9cos(x))/12. Grafið er eins fyrir bæði föllin. — **Mynd 3.12.** Gröf y = 1/3 cos 3 x − cos x og y = 1/12 ( cos ( 3 x ) − 9 cos x ) eru eins.

Æfingar úr hluta 3.5

Notið heildatöflu til að reikna eftirfarandi heildi.

244.

$\int_{0}^{4} \frac{x}{\sqrt{1 + 2 x}} d x$

245.

$\int \frac{x + 3}{x^{2} + 2 x + 2} d x$

246.

$\int x^{3} \sqrt{1 + 2 x^{2}} d x$

247.

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 6 x}} d x$

248.

$\int \frac{x}{x + 1} d x$

249.

$\int x \cdot 2^{x^{2}} d x$

250.

$\int \frac{1}{4 x^{2} + 25} d x$

251.

$\int \frac{d y}{\sqrt{4 - y^{2}}}$

252.

$\int {sin}^{3} (2 x) cos (2 x) d x$

253.

$\int csc (2 w) cot (2 w) d w$

254.

$\int 2^{y} d y$

255.

$\int_{0}^{1} \frac{3 x d x}{\sqrt{x^{2} + 8}}$

256.

$\int_{−1 / 4}^{1 / 4} {sec}^{2} (π x) tan (π x) d x$

257.

$\int_{0}^{π / 2} {tan}^{2} (\frac{x}{2}) d x$

258.

$\int {cos}^{3} x d x$

259.

$\int {tan}^{5} (3 x) d x$

260.

$\int {sin}^{2} y {cos}^{3} y d y$

Notið tölvualgebrukerfi til að reikna eftirfarandi heildi. Einnig má nota töflur til að sannreyna svörin.

261.

[T] $\int \frac{d w}{1 + sec (\frac{w}{2})}$

262.

[T] $\int \frac{d w}{1 - cos (7 w)}$

263.

[T] $\int_{0}^{t} \frac{d t}{4 cos t + 3 sin t}$

264.

[T] $\int \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{3 x} d x$

265.

[T] $\int \frac{d x}{x^{1 / 2} + x^{1 / 3}}$

266.

[T] $\int \frac{d x}{x \sqrt{x - 1}}$

267.

[T] $\int x^{3} sin x d x$

268.

[T] $\int x \sqrt{x^{4} - 9} d x$

269.

[T] $\int \frac{x}{1 + e^{− x^{2}}} d x$

270.

[T] $\int \frac{\sqrt{3 - 5 x}}{2 x} d x$

271.

[T] $\int \frac{d x}{x \sqrt{x - 1}}$

272.

[T] $\int e^{x} {cos}^{−1} (e^{x}) d x$

Notið reiknivél eða tölvualgebrukerfi til að reikna eftirfarandi heildi.

273.

[T] $\int_{0}^{π / 4} cos (2 x) d x$

274.

[T] $\int_{0}^{1} x \cdot e^{− x^{2}} d x$

275.

[T] $\int_{0}^{8} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 36}} d x$

276.

[T] $\int_{0}^{2 / \sqrt{3}} \frac{1}{4 + 9 x^{2}} d x$

277.

[T] $\int \frac{d x}{x^{2} + 4 x + 13}$

278.

[T] $\int \frac{d x}{1 + sin x}$

Notið töflur til að reikna heildin. Nauðsynlegt getur verið að fylla í ferninginn eða skipta um breytu til að koma heildinu á form sem er að finna í töflunni.

279.

$\int \frac{d x}{x^{2} + 2 x + 10}$

280.

$\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} - 6 x}}$

281.

$\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{2 x} - 4}} d x$

282.

$\int \frac{cos x}{{sin}^{2} x + 2 sin x} d x$

283.

$\int \frac{arctan (x^{3})}{x^{4}} d x$

284.

$\int \frac{ln | x | arcsin (ln | x |)}{x} d x$

Notið töflur til að reikna heildin.

285.

$\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + 16}}$

286.

$\int \frac{3 x}{2 x + 7} d x$

287.

$\int \frac{d x}{1 - cos (4 x)}$

288.

$\int \frac{d x}{\sqrt{4 x + 1}}$

289.

Finnið flatarmál svæðisins sem afmarkast af $y = \frac{5}{4 + 25 x^{2}}, x = 0, y = 0, og x = 4 .$ Notið heildatöflu eða tölvualgebrukerfi.

290.

Svæðinu sem afmarkast af ferlinum $y = \frac{1}{\sqrt{1 + cos x}}, 0.3 \leq x \leq 1.1,$ og x-ásnum er snúið um x-ásinn og við það myndast snúður. Notið heildatöflu til að finna rúmmál snúðsins. (Námundið svarið að tveimur aukastöfum.)

291.

Notið innsetningu og heildatöflu til að finna yfirborðsflatarmál snúðflatarins sem myndast þegar ferlinum $y = e^{x}, 0 \leq x \leq 3,$ er snúið um x-ásinn. (Námundið svarið að tveimur aukastöfum.)

292.

[T] Notið heildatöflu og reiknivél til að finna yfirborðsflatarmál snúðflatarins sem myndast þegar ferlinum $y = \frac{x^{2}}{2}, 0 \leq x \leq 1,$ er snúið um x-ásinn. (Námundið svarið að tveimur aukastöfum.)

293.

[T] Notið tölvualgebrukerfi eða töflur til að finna yfirborðsflatarmál snúðflatarins sem myndast þegar ferlinum $y = cos x, 0 \leq x \leq \frac{π}{2},$ er snúið um x-ásinn. (Námundið svarið að tveimur aukastöfum.)

294.

Finnið bogalengd ferilsins $y = \frac{x^{2}}{4}$ á bilinu $[0, 8] .$

295.

Finnið bogalengd ferilsins $y = e^{x}$ á bilinu $[0, ln (2)] .$

296.

Finnið yfirborðsflatarmál snúðflatarins sem myndast þegar grafi $y = 2 \sqrt{x}$ á bilinu $[0, 9]$ er snúið um x-ásinn.

297.

Finnið meðalgildi fallsins $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ á bilinu $[−3, 3] .$

298.

Nálgið bogalengd ferilsins $y = tan (π x)$ á bilinu $[0, \frac{1}{4}] .$ (Námundið svarið að þremur aukastöfum.)